2025年湘教新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学下册月考试卷866考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、【题文】设在内单调递增，则是条件.（）A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要2、已知函数则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A.B.C.D.3、设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.4、函数f（x）=||的单调递增区间是（）A.（0，]B.（0，1]C.（0，+∞）D.[1，+∞）5、函数y=tan（x﹣）的定义域是（）A.B.C.D.6、用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax﹣b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax﹣b=0没有实根B.方程x3+ax﹣b=0至多有一个实根C.方程x3+ax﹣b=0至多有两个实根D.方程x3+ax﹣b=0恰好有两个实根7、若且则cosa-sina的值是（）A.B.C.D.8、若某程序框图如图所示；则该程序运行后输出的B等于（）

A.2B.5C.14D.41评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、【题文】如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x,y分别是M到直线l1和l2的距离；则称有序非负实数对（x,y）是点M的“距离坐标”。

已知常数p≥0,q≥0；给出下列三个命题：

①若p=q=0；则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；

②若pq="0,"且p+q≠0；则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有2个；

③若pq≠0则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有3个.

上述命题中，正确的有____.(填上所有正确结论对应的序号)

10、已知定义域为（0；+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是____11、二次函数y=x2+x﹣1，则函数的零点个数是____．12、已知若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是____．13、设0＜α＜π，且sin=则sinα=______．14、已知平面向量=（2，-1），则||=______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．22、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、计算题(共1题，共3分)24、已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2-2）的值为____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B2、C【分析】【解答】∵方程恰有两个不同实数根，∴与有2个交点，∵表示直线的斜率，∴设切点为所以切线方程为而切线过原点，所以所以直线的斜率为直线与平行，所以直线的斜率为所以当直线在和之间时,符合题意，所以实数的取值范围是还有一部分是在的位置向下旋转一直到转平为止都符合题意，这时实数的取值范围是所以综上所述，实数的取值范围是所以选C.

3、D【分析】【分析】单位向量是指模为1的向量，没有明确向量的方向，所以都只是有可能成立，却不一定成立，而故选D.4、D【分析】【解答】解：根据题意得到函数的定义域为（0；+∞）；

f（x）=||

当x＞1时，根据对数定义得：＜0；

所以f（x）=﹣当0＜x＜1时，得到＞0；

所以f（x）=．

根据解析式画出函数的简图；

由图象可知；当x＞1时，函数单调递增．

故选D

【分析】要求函数的单调递增区间，先讨论x的取值把绝对值号去掉得到分段函数，然后画出函数的图象，在图象上得到增区间．5、D【分析】【解答】解：∵y=tan（x﹣）；

∴x﹣≠kπ+（k∈z）；

∴x≠kπ+（k∈z）；

∴函数的定义域是{x|x≠kπ+k∈z}

故选：D．

【分析】由正切函数的定义得，x﹣≠kπ+（k∈z），求出x的取值范围．6、A【分析】【解答】解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax﹣b=0；至少有一个实根”时；

应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+ax﹣b=0没有实根；

故选：A．

【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论．7、C【分析】【解答】

【分析】题目中用到的主要公式8、D【分析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

AB是否继续循环。

循环前11/

第一圈22是。

第二圈35是。

第三圈414是。

第四圈541否。

则输出的结果为41．

故选D．

分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．

本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【解析】

试题分析：距离坐标为（0，0）只有一个点所以①正确；若则“距离坐标”为(p,q)的点在上且到的距离为定值或结合图形可知这样的点有2个，所以②正确；若pq≠0则“距离坐标”为(p,q)的点有4个，分别位于两直线相交分成的四个区域内。

考点：信息给予题。

点评：信息题首先要读懂给定信息，将信息与题目中给定的条件结合起来，将信息类比到题目中，本题中首先由或的取值范围确定点的位置【解析】【答案】①②10、①②④【分析】【解答】解:∵x∈（1；2]时，f（x）=2﹣x．

∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．

∵f（2x）=2f（x）；

∴f（2kx）=2kf（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）==2m﹣1f（2）=0；故正确；

②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．

若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．

一般地当x∈（2m，2m+1）；

则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0；

从而f（x）∈[0；+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0；

∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9；

即2n﹣1=9，∴2n=10；

∵n∈Z；

∴2n=10不成立；故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减；为减函数；

∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”；故正确．

故答案为：①②④．

【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）==2m﹣1f（2）=0；

②分区间分别讨论；得出在定义域内函数的值域；

③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1；再判断是否存在n值；

④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．11、2【分析】【解答】解：令二次函数y=x2+x﹣1=0；

则△=1+4=5＞0；

故函数有两个零点；

故答案为：2．

【分析】令二次函数y=x2+x﹣1=0，根据△＞0，可得结论．12、m【分析】【解答】解：若对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立成立。

只需f（x）min≥g（x）min；

∵x1∈[0，2]，f（x）=x2∈[0，4]，即f（x）min=0

x2∈[1，2]，g（x）=∈[]

∴g（x）min=

∴0

∴m

故答案为：m

【分析】对于任意的x1，总存在x2使f（x1）≥g（x2）成立成立，只需函数可以转化为f（x）min≥g（x）min，从而问题得解．13、略

【分析】解：0＜α＜π，且sin=可得cos==．

sinα=2sincos=2×=．

故答案为：．

利用同角三角函数基本关系式求解余弦函数；然后利用二倍角公式求解即可．

本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．【解析】14、略

【分析】解：平面向量=（2，-1），则||==．

故答案为：．

直接利用向量求模的公式求解即可．

本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，考查计算能力．【解析】三、证明题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．22、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=9