2023年高中数学基础知识及础题型复习：立体几何模块之直线、平面平行的判定及其性质

第三节直线、平面平行的判定及其性质

【知识点11】直线与平面平行的判定

线面平行的判定定理

表示

图形文字符号

定理

平面外一条直线与此平aQa

直线与平面平行的判

面内一条直线平行,则bUa

定定理

该直线与此平面平行allb.

典型例题：

【例1】如果两直线°〃6,且4〃a,则6与a的位置关系是（）

A.相交B.b//aC.bUaD.b"a或bUa

【反思】用判定定理判定直线a和平面a平行时，必须具备三个条件

（1）直线a在平面a外，即aOa;

（2）直线6在平面a内，即bUa;

（3）两直线a,6平行，即a〃6,这三■个条件缺一不可.

【变式1】下列说法正确的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，贝ij/〃a

B.若直线a在平面a外，则a〃a

C.若直线aC6=0,直线6Ua,则。〃a

D.若直线。〃6,bUa,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线

【变式2】有以下四个说法，其中正确的说法是（）

①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；

②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；

③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；

④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

【变式3】过直线/外两点，作与/平行的平面，则这样的平面（）

A.不可能作出B.只能作出一个

C.能作出无数个D.上述三种情况都存在

【例2】如图，S是平行四边形/BCD所在平面外一点，M,N分分别是&4,2。的中点,

试证明MV〃平面SBC.

【变式1】如图，S是平行四边形/BCD所在平面外一点，M,N分别是“，8。上的点,

AMDN

且丽=砺

求证："N〃平面S2C.

【反思】利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用

平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.

【变式2】如图，四边形NBCD是平行四边形，尸是平面A8CO外一点，M,N分别是

PC的中点.求证：ACV〃平面B4D

【例3】在三棱柱48C—中，D,E分别是棱2C,C1的中点，在线段4B上是否存

在一点M,使直线DE〃平面4Me?请证明你的结论.

【变式1】在三棱柱/8。一4斗。]中，若加■为A8的中点，求证：8cl〃平面4cM.

【反思】证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目

中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线.

【变式2】如图，。是长方体48CD—底面对角线NC与的交点，求证：B{O//

平面4C]D

【方法小结】

1.判断或证明线面平行的常用方法

(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).

(2)判定定理法：a(la,bua,a//b^a//a.

(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.

2.证明线线平行的常用方法

(1)利用三角形、梯形中位线的性质.

(2)利用平行四边形的性质.

⑶利用平行线分线段成比例定理.

【思考1】如图所示，尸为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为。，M为尸3的

中点，给出五个结论：

@OM//PD；②(W〃平面尸CD；③〃平面尸£%；④OAf〃平面PA4；⑤(W〃平面P2C.

其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式1】如图，在四面体/BCD中，M,N分别是△/CD,△BCD的重心，则四面体的四

个面中与"N平行的是

【思考2】如图，在三棱台DE尸一N3C中，AB=2DE,G,X分别为ZC,的中点.

求证：平面尸G/7.

【变式2】如图，四边形/BCD为正方形，为等腰直角三角形，AB=AE,P是线段

C3的中点，在直线4E上是否存在一点使得〃平面2CE.若存在，指出点M的位

置，并证明你的结论.

【知识点12】平面与平面平行的判定定理

面面平行的判定定理

表示

六々口_

图形文字付万

定理

一个平面内的两条相

bup

平面与平面平行芭交直线与另一个平面>

aCb=P^p//a

的判定定理平行，则这两个平面

口a//a

平行b//a

例1（概念理解）a，夕是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定a〃4的是（）

A.a,£都平行于直线/,加，

B.a内有三个不共线的点到£的距离相等

C.I,机是a内的两条直线且/〃夕，m//P

D.I,加是异面直线且/〃a,m//a,I//P，m〃§

【反思】（1）在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个

条件，线不在多，相交就行.（2）借助于常见几何体（如正方体）进行分析.

【变式1】如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是（）

A.这两个角相等

B.这两个角互补

C.这两个角所在的两个平面平行

D.这两个角所在的两个平面平行或重合

【变式2】下列四个说法中正确的是()

A.平面a内有无数个点到平面£的距离相等，则a〃4

B.aC\y=a,aC\p=b,且a〃6(a,y分别表示平面，a,6表示直线)，贝。y〃4

C.平面a内一个三角形三边分别平行于平面夕内的一个三角形的三条边，则a〃6

D.平面a内的一个平行四边形的两边与平面夕内的一个平行四边形的两边对应平行，则

a//p

【变式3】已知平面a,£和直线a,b,c,JiLa//b//c,a,^a,b,cU£,则a与£的关系是

例2(平面与平面平行的证明)如图，在多面体48CDE/中，底面/8CO是平行四边形，点

G和点X分别是CE和C尸的中点.

求证：平面BAG“〃平面/EE

【反思】平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点.

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.

(3)转化为线线平行：平面a内的两条相交直线与平面厅内的两条相交直线分别平行，则a//p.

(4)利用平行平面的传递性：若a〃4p//y,则a〃/

【变式1】如图，在四棱锥尸一/BCD中，点£为我的中点，点F为3C的中点，底面

4BCD是平行四边形，对角线NC,BD交于点、O.

求证：平面EFO〃平面尸CD

【变式2】如图，已知在四棱锥尸一/BCD中，底面为平行四边形，点M,N,。分

别在为，BD,PD上，且尸M：MA=BN:ND=PQ:QD求证：平面ACVQ〃平面PBC.

【例3】(线面平行与面面平行的综合应用)如图，在正方体/BCD—44CQ］中，点S是

的中点，点E,F,G分别是BC,DC和SC的中点，求证：

⑴直线EG〃平面BDD/i；

(2)平面EFG〃平面BDD网

【反思】解决线面平行与面面平行的综合问题的策略

(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立

的，而是相互联系、相互转化的.

(2)|线线平行|卫线面平同面面平司

所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三■种平行关系的判定定理.

【变式1】如图所示，P是△N8C所在平面外的一点，点/,9，C'分别是△P3C,

△PCA,△"8的重心.

⑴求证：平面/8C〃平面B'C；

(2)求△/'B'C与△N8C的面积之比.

【变式2】如图，在四棱锥C—/8EZ)中，四边形N8EZ)是正方形，点G,尸分别是线段EC,

5D的中点.

(1)求证：G/〃平面/BC；

(2)若点尸为线段CD的中点，平面G尸尸与平面42C有怎样的位置关系？并证明.

【例4】（思考与能力提升）如图所示，在正方体力BCD—431coi中，E,F,G,〃分别是

棱CC『CQi，Dp,CO的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFG”上及其内部运动，

则M满足什么条件时，有〃平面

【变式1】如图，在正方体/BCD—/#13。]中，点、E,F,初分别是棱8[C],BBygq的

中点，是否存在过点E,M且与平面&FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，

请说明理由.

【知识点13】直线与平面平行的性质

线面平行的性质

一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线

文字语言

与该直线平行

符号语言a//a,au£,aC\B=bna//b

图形语言

Wb/

典型例题：

【例1】（概念理解）在梯形/BCD中，AB//CD,ABU平面a,CZX平面a,则直线CD与平

面a内的直线的位置关系只能是（）

A.平行B.平行或异面

C.平行或相交D.异面或相交

【变式1】若直线/〃平面a,则过/作一组平面与a相交，记所得的交线分别为a,b,c,…，

那么这些交线的位置关系为（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

【例2】（线面平行的性质定理的）如图，用平行于四面体N8CD的一组对棱A8,CZ）的平面

截此四面体，求证：截面MVP。是平行四边形.

N

C

【变式1】如图所示，在四棱锥尸一4BCD中，底面/BCD是平行四边形，AC与BD交于点

O,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：

AP//GH.

【延申】本例条件不变，求证：G8〃平面E4D

【反思】（1）利用线面平行的性质定理解题的步骤

（2）运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相

交的交线，然后确定线线平行.

【例3】（判断形状问题）如图，四边形43CD是矩形，网平面43cD,过2c作平面

交/尸于点E,交DP于点F,求证：四边形3CEE是梯形.

【变式1】如图所示，在空间四边形/BCD中，点E,尸分别为边上的点，且NE：EB

=AF：FD=\：4,又点、H,G分别为BC,CD的中点，则（）

A.BD〃平面EFGH,且四边形E/GH是矩形B.EF〃平面8cD,且四边形EFGH是

梯形

C.8G〃平面”助，且四边形斯G8是菱形D.E/7〃平面ADC,且四边形EFG77是

平行四边形

【例2】如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且E4=3,点尸在棱为

上，且/尸=1,点E在棱尸。上，若CE〃平面2。尸，求PE：£D的值.

【延申】若本例中增加条件是尸5的中点”，试作出平面4DM与四棱锥尸一4BCD的

侧面尸3c和PCD的交线，并说明理由.

【反思】利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点

(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.

(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.

(3)利用所得关系计算求值.

【变式1】如图，在正方体/BCD—44CQ］中，N2=2,点E为40的中点，点厂在C。

上，若斯〃平面/々C,求线段FE的长度.

【变式2】如图，已知£尸分别是菱形/BCD中边2C,CD的中点，EF与4c交于点0,

点尸在平面/2CD之外，M是线段以上一动点，若PC〃平面”石尸，试求尸的值.

BEC

【方法小结】

1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平

行的性质.

2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题

时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.

【思考1】如图，在四面体48CD中，截面尸是正方形，则下列命题中错误的是（）

A.AC±BD

B./C〃截面尸0AW

C.AC=BD

D.异面直线PM与8。所成的角为45。

【思考2】如图，在三棱柱4BC—4纥。1中，点E,尸分别是棱CC『8片上的点，点M是

线段/C上的动点，EC=2FB=2,若Affi〃平面/£尸，试判断点M在何位置.

【知识点14】平面与平面平行的性质

两平面平行的性质定理

文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

符号语言aDp,aCly=a,pAy=bDaDb

夕

图形语言

【例1】（概念理解）2.下列命题：

①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面;

③夹在两个平行平面间的平行线段相等.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

【变式l】a,夕，y为三个不重合的平面，a,b,c为三条不同的直线，则下列命题中不正确

的是（）

a//c]a//y\a//c]

①\^a//b;②\^a//b-,③

b//c\b//y\

a//川a//c]a//yl

④4〃王〃人⑤“卜“Ua；⑥卜今a〃a.

a//c\a//y\

A.④⑥B.②③⑥

C.②③⑤⑥D.②③

【例2】（利用面面平行证明线线平行）如图，在四棱柱48CD—中，底面为

梯形，AD//BC,平面&OCE与々8交于点E.求证：EC〃A〔D.

BC

【反思】(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面

的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.

(2)面面平行今线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面

平行的相互转化

【变式1】如图所示，平面四边形/3CD的四个顶点/，5,C,D均在平行四边形B'CD

外，且44',BB',CC',DD'互相平行，求证：四边形•是平行四边形.

【变式2】如图所示，平面四边形N8CO所在的平面与平面a平行，且四边形/8CO在平面

a内的平行投影4片储。］是一个平行四边形，则四边形的形状一定是

B,

【变式3】如图，在三棱锥P—N3C中，D,E,尸分别是刃，PB,尸C的中点，M是N8

上一点，连接MC,N是尸M与。£的交点，连接NF,求证：NF//CM.

B

【例3】（面面平行的性质定理的应用）（1）如图，平面a〃夕，/,CEa,B,D^/3,直线

与CD交于点S,且/S=3,BS=9,0）=34,求CS的长.

（2）如图所示，尸是三角形4BC所在平面外一点，平面a〃平面NBC,a分别交线段B4,

PB,PC于⑷，B',C',若R4'：AA'=2：3,则S”,”,：「等于（）

△AD△AtH

A.2：25B.4：25

C.2：5D.4：5

【反思】应用平面与平面平行性质定理的基本步躲

【变式1】将例1改为：如图，平面a〃平面力〃平面y,两条直线a,6分别与平面a,

p,y相交于点Z,B,C和点。，E,尸.已知/C=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,求N5,

BC,E尸的长.

【变式2】如图所示，平面a〃平面.，△4BC,△/'B'C分别在a,4内，线段44',

BB