2023年高中数学基础知识及础题型复习：立体几何模块之空间向量与立体几何

第六节空间向量与立体几何

一、空间向量的线性运算

【知识点1】空间向量的概念

（1）在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模,向量〃的起点是力，终点

是8,则向量。也可记作石，其模记为⑷或|的

（2）几类特殊的空间向量

定义及表示

起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0

模为1的向量称为单位向量

aE度相等而方向相反的向量,称为〃的相反向量，记为一4

同」L模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表

向E片或相等向量

段,f在的直线叫做向量的基线.如果空间中一些向量的基线

行51重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

【例1】（有关空间向量的概念的理解）给出以下结论：

①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量。，b满足|M=I外则。

=6；③在正方体/BCD—中，必有就=47；④若空间向量如n,p满足加=

n,n=p,则/n=p.其中不正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【反思】在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，

两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是

大小相等，方向相反.

【训练1】在平行六面体中，下列四对向量:①就与不?；②否*与瓦彳;

③4D1与C0；④//与B[C.其中互为相反向量的有n对，则n等于（）

A.1B.2C.3

【训I练2】如图，在长方体/BCD—HB'CD'中，AB=3,AD=2,AA'=1,则分别

以长方体的顶点为起点和终点的向量中:

①单位向量共有多少个?

②试写出模为木的所有向量.

③试写出与向量感相等的所有向量.

④试写出向量44'的所有相反向量.

【知识点2】空间向量的加减运算及运算律

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

(^=OA+AB=a+b,CA=O4-0C=a-b.

(2)空间向量加法交换律a+b=b+a,

空间向量加法结合律(a+b)+c=a+(6+c).

【例2】(空间向量的加减运算)如图，已知长方体B'CD',化简下列向量表

达式，并在图中标出化简结果的向量.

(l)AA'-CB-,

(2)AT+AB+B'C'

(3)化简4r+A'B'+B'C'+C7*/.

［反思］空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应

用相反向量可使向量间首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向

量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

【训练3】在如图所示的平行六面体中，求证：AC+AB'+AD'=2AC'.

【知识点3】数乘向量运算

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数2与空间向量a的乘积Xa仍然是一个向量，称为向量的数乘运

算，记作痴，其长度和方向规定如下：

①|阿=|即矶

②当A0时，痴与向量q方向相同；当时，(与向量a方向相反;当2=0时，Xa

=0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①从ua)=a〃)a;

②/(〃+〃)=加+劝.

【例3】如图所示，在平行六面体/BCD—中，^AA=a,通=b,AD=c,M,N,

P分别是BC,CQ］的中点，试用a,b,c表示以下各向量：

B

(1源；(2)ypV；(3)加+说「

【反思】利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，

将目标向量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

【训练4】如图，在空间四边形04BC中，M,N分别是对边。4,3C的中点，点G在ACV

上，且MG=2GN,如图所示，记。4=",OB=b,OC=c,试用向量。，b,c表示向量OG.

【思考1】如图所示，已知空间四边形/8Q),连接/C,BD,EF,点、E,F,G分别是8C,

CD,。台的中点，请化简

(i)iB+ic+cb；

(2)AB+GD+EC,并标出化简得到的向量.

【思考2】如图所示，在平行六面体力5C。一［中，。是耳。］的中点，若时=%小

+yOC1,则x,歹的值分别为多少？

二'空间向量的基本定理

【知识点4】共线向量定理

共线向量定理：

两个空间向量a,b(bWO),Wb的充要条件是存在唯一的实数x,使a=M.

【例1】⑴已知向量a,b,且花=a+2。，BC=~5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三

点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

(2)设e2是空间两个不共线的向量，已知凝=4+校2,iC=5^+4e2,DC=-e-2e2,

且/,B,。三点共线，实数％=.

【反思】(1)判断向量共线的策略

①熟记共线向量的充要条件：(i)若a〃〃，bWO,则存在唯一实数力使a=劝；(ii)若存在

唯一实数人使。=幼，bWO,则。〃无

②判断向量共线的关键：找到实数九

(2)证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点尸，A,5可通过证明下列结论来证明三点共线.

①存在实数九使法=力两成立.

②对空间任一点O,有。>=%+弟QGR).

③对空间任一点。，有法=x^l+y亦(x+y=l).

【练习1】如图所示，在正方体48CD-44C］。］中，E在/々］上，且4为=2防］,尸在对

角线4c上，且4>=|反7.

求证：E,F,3三点共线.

【知识点5】共面向量定理

2.向量共面的条件

(1)向量a平行于平面a的定义

已知向量作晶=a,如果a的基线OA平行于平面a或在a内,则就说向量a平行于

平面a,记作a//a.

(2)共面向量的定义

平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

(3)共面向量定理

如果两个向量。，6不共线,则向量c与向量”，共面的充要条件是存在唯一的一对实

数x,y,使c=xa+yb.

【例2】如图所示，已知平行四边形4BCZ),过平面/C外一点。作射线CM,OB,OC,

0D,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使筹=您=察=累=左，求证：E,F,

UAUDC7CUL)

G,〃四点共面.

【反思】(1)利用四点共面求参数

向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他

向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.

(2)证明空间向量共面或四点共面的方法

①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若夕=xa+功,

则向量p,a,b共面.

②若存在有序实数组(%,y,z)使得对于空间任一点O,有。昂+z02,且x+y+

z=l成立，则P,A,B,。四点共面.

③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.

【练习2】已知4,B,C三点不共线，平面N8C外一点跖满足血=g①+；协+1历,

判断疝，MB,庆三个向量是否共面.

【练习3】已知n,B,C三点不共线，对平面4BC外一点。，当5>=2为一无一灾时,

点尸是否与/,B,C共面？并给出证明.

【知识点6】空间向量分解定理

1.空间向量分解定理

如果三个向量a,b,C不共面,那么对空间任一向量R,存在一个唯一的有序实数组X,

y,z,使p=xa+油+zc.

2.基底

如果三个向量〃，b,c是三个不共面的向量,则〃，b,c的线性组合x〃+y〃+zc能生成

所有的空间向量，这时小b,c叫做空间的一个基底,记作｛访b,c｝,其中〃，4c都

叫做基向量.表达式功+zc,叫做向量〃，b,C的线性表示式或线性组合.

【例3】如图所示，在平行六面体48co—卬B'CD'中，嘉=a,AD^b,AA'=c,

P是C⑷的中点，初是CD'的中点，N是C'。'的中点，点。在C4'上，且C0：。卬

=4：1,用基底｛〃，b,c｝表示以下向量.

(1)芥；(2)施；(3M7V；(4)AQ.

A'D'

【反思】用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法

则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底｛a,b,c｝可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结

果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

【练习4】如图所示，空间四边形O/8C中，G,H分别是△4BC,△OBC的重心，设宓=

a,OB=b,OC=c.试用向量。，b,c表示向量G〃.

【方法小结】

1.四点尸，A,B,C共面O对空间任意一点O,^OP=xQA^yOB+zOC,且x+y+z=

1.

2.。＞=晶+.匕而+)，病称为空间平面ABC的向量表达式.由此可知空间中任意平面由空间

一点及两个不共线向量唯一确定.

3.证明(或判断)三点N,B,C共线时，只需证明存在实数九使养=施(或盛即可，

也可用“对空间任意一点。，有历=1①+(1一伏克”来证明三点4,B,C共线.

4.空间一点P位于平面M45内的充要条件是存在有序实数对(x,y),]kMP=xMA+yMB,

满足这个关系式的点都在平面M43内；反之，平面M43内的任一点都满足这个关系式.这

个充要条件常用于证明四点共面.

【思考1】已知点E,F,G,〃分别是空间四边形4BC£＞的边BC,CD,的中点.

⑴证明：E,F,G,〃四点共面；

（2）证明：平面EFG/A

【练习5］已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点（如图所示），并且应=比应,

OF=kOB,OH=kOD,AC=M)+mAB,EG=EH+mEF.

求证：（1）4,B,C,。四点共面，E,F,G,〃四点共面;

(2)AC//EG.

三'两个向量的数量积

【知识点7】两个向量的数量积

L两个向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作为=.,而=b,则NZO3叫

做向量。与b的夹角，记作〈°,加.

(2)范围：〈a,b)e[0,7i].特别地：当〈eb〉=1时，a±b.

2.两个向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则同步|cos〈a,b〉叫做小〃的数量积(或内积)，记作

ab.

(2)数量积的运算律

数量积的结合律(Aa)b=M(rb)

换律ab=ba

配律(a+byc=ac-\-bc

(3)两个向量的数量积的性质

,5是非零向量，贝!J〃力=0

与〃同向，则与力=|叶例;若反向，则°6=—⑷•网.

地，〃”=同2或同=班^

d'b

为a,6的夹角，则cosd=w

WQ卜网-------------

【类型一】空间向量的数量积运算

【例1】(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.

®pi-qi=(pq)2-

②:+夕卜口一4|=底一①|；

③若a与(。心)十一(。/)力均不为0,则它们垂直.

(2)设。={a,b)=120°,\a\=3,\b\=4,求：

®a-b；®(3«-2/>)-(a+2/l).

【反思】（1）已知a,力的模及。与6的夹角，直接代入数量积的公式计算.

（2）如果欲求的是关于a与5的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式

展开，再利用及数量积公式进行计算.

【练习1】已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么3bl等于（）

A.>/7B.^'TOC.gD.4

【例2】已知长方体/BCD—中,AB=AA=2,40=4,E为侧面/骂的中心,F

为4与的中点.试计算：

WBC-EDl；Q）加福;^EFFCV

【反思】两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为

0.向量的数量积不满足结合律.

【练习2】已知正四面体ON8C的棱长为1,求：

(1)(04+05)必+曲;

(2)|d^+OB+(9C|.

【类型二】利用数量积求夹角或模

【例3】已知班J平面/5C,且△42C是48=90。的等腰直角三角形，口4昉乩，口BB£C

的对角线都分别相互垂直且相等，若4B=a,求异面直线A4,与/C所成的角.

【反思】利用向量求异面直线夹角的方法

【练习3】如图，在空间四面体。一/5。中，0A=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,

ZOAB=60°,求CM与8C所成角的余弦值.

【例4】如图所示，在平行六面体48cz)—4々C/］中，AB=1,AD=2,AA=3,ZBAD=

90°,ZBAA=ZDAA=60°,求的长.

【感悟】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路

是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知

向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式固="一就解即可.

【练习5】如图，已知线段平面a,BCUa,CDLBC,平面a,且/。CF=30。，

。与N在a的同侧，若AB=BC=CD=2,求4,。两点间的距离.

【类型三】利用空间向量的数量积解决垂直问题

【例5】如图，在空间四边形O/C8中，OB=OC,AB=AC,求证：OA±BC.

【反思】(1)证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线

是否垂直.

(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量,"，〃垂直的方法

先用向量。，b,c表示向量〃?，n,再判断向量〃?，”的数量积是否为0.

【练习6】已知向量a,5满足：同=2,回=虚，且“与25一a互相垂直，则”与b的夹角

为.

【方法小结】

1.空间向量运算的两种方法

(1)利用定义:利用.力=|。物cos〈。，b〉并结合运算律进行计算.

(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再

代入数量积公式进行运算.

2.在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.

(3)代入“力=固网cos(a,b〉求解.

【思考】如图，在正三棱柱N3C—中，底面边长为虚.

⑴设侧棱长为1，求证：4BJ2C］；

TT

(2)设4B］与Be1的夹角为彳求侧棱的长.

四、空间向量的直角坐标运算

【知识点8】空间向量的坐标表示

空间直角坐标系及空间向量的坐标

(1)建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i,j,k,这

三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底亿/,k｝,这个基底叫做单位正交基

底.单位向量i,j,4都叫做坐标向量.

(2)空间向量的坐标

在空间直角坐标系中，已知任一向量a,根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(内,

4,Q3)，使〃=%»+。2/+。34，"J,Clj,Q3A分别为向量。在"/，4方向上的分向量，有

序实数组(Q],a2,%)叫做向量〃在此直角坐标系中的坐标.上式可简记作4=(0，%,

%),

【例1】如图，在棱长为1的正方体/BCD—HB'CD'中，E,F,G分别为棱。，

D'C,BC的中点，以｛/，AD,AA1｝为基底，求下列向量的坐标.

(1)AE,AG,AF；

(2)EF,EG,DG.

【反思】用坐标表示空间向量的步骤

【练习1】设正四棱锥S/2尸3尸4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系，求豆1，

挣3的坐标.

【知识点9】空间向量的坐标运算

空间向量a,b,其坐标形式为“=(4,。2，%)，b=(byb2,bp.

向量运算向量表示坐标表示

加法a+b他+4，&+4,4+%）

减法a-b（Q]-4，%—%,%—b）

数乘XaG&,径，阳)

数量积ab旦也+a2+%四

【例2】已知。=(1,-2,1),a—6=(—1,2,-1),则等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4.-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

【反思】关于空间向量坐标运算的两类问题

⑴直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.

(2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.

【练习2】若向量a=(l,l,x),6=(1,2,1),c=(l,l,l),且满足条件(c—a>(2»=—2,则x=

【知识点10］空间向量的平行、垂直及模、夹角

设〃=(%,a?，%)，b=(b]，bj,则

满足条件

名称

向量表示形式坐标表示形式

a//bu=Xb(X£R)

a-Lbab=0旬&_+-也+%%=0

模\tt\=y[aa同=4能+殁+毁

cos〈*b)=盖“.A\—+%”+—储

夹角cos\(tfb)I----------/

强+。利饵+%+"

【例3】已知空间三点4一2