2023年高考数学一轮复习讲义-平面向量基本定理及坐标表示

§5.2平面向量基本定理及坐标表示

【考试要求】1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条

件.

■落实主干知识

【知识梳理

1.平面向量基本定理

如果e：是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量有且只有

一对实数4%使万=4气+丫2.

若不共线，我们把｛e『ej叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设a=(x/%),b=(x2,y2),贝

a-\-b=Vt+yJ,a-b=(x4—>相&J,\a\=^xi+yi.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设八),B(X2,y2),则x[，彩一'),\AB\—^(X2—xi)2+(y2—yi)2.

4.平面向量共线的坐标表示

b=x

设7j)>(2>y2),其中人力0，则。〃xj[=O.

【常用结论】

v：l+%2yi+y2J

已知尸为线段的中点，若则点P的坐标为，-，已知△4SC

的顶点/(X],B(X2,%),C(x3,匕)，则4ABC的重心G的坐标为

11+X2+X3y\~\

373

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“义”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(X)

(2)设｛。,处是平面内的一个基底,若实数%,〃2满足+〃2"则匕=%，

,,xiyi

(3)若a=(%,%),'=('为)，则。〃的充要条件可以表示成1=『(X)

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.(V)

【教材改编题】

1.(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.4=(0,0),e2=(l,—2)

B.4=(—1,2),02=(5,7)

C.e.3,5),e2=(6,10)

(3)

D.廿2,3),

答案BD

2.若尸］(1,3),P2(4,0),且尸是线段尸乙的一个三等分点(靠近点尸J,则点尸的坐标为()

A.(2,2)B.(3,-1)

(2.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析设尸(x,y),由题意知苏=］尸区，

1

/.(X—1,y—3)=-(4—1,0—3)=(1,—1),

即Error!?.Error!

3.已知向量〃=(x,l),b=Q,x-1),若(2a—〃)〃用贝ljx为—

答案2或一1

角翠析2a——b—(2x——2,3——x),

•・・(2a—〃)〃〃，

.*.2x-2=x(3—x),

即x2—x—2=0,解得x=2或1=一1.

核心题型1

题型一平面向量基本定理的应用

例1(1)在△/BC中，/。为2C边上的中线，E为/。的中点,则法等于()

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB-AC

4444

3—1—1—3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

答案A

(2)如图，已知平面内有三个向量防，左，其中S与豆的夹角为120。，后与元的夹角

为30。，且用=1,QC|=2\13.若OC=〃)/+〃08(2,〃GR),贝iU+〃=.

则元=O京+oZ

因为己与法的夹角为120。，后与62的夹角为30。，

所以N31OC=90。.

在RtZ\02]C中，/OC3]=30。，|OC|=2<3,

所以|。而=2,出点=4,

所以Q疝=由山=4,

所以元=4(%+2防，

所以2=4,//—2,

所以％+〃=6.

方法二以。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

由况=6+〃而,

得Error!解得Error!

所以2+〃=6.

【教师备选】

71

1.（2022•山东省实验中学等四校联考）如图，在Rt△48C中，/ABC：,AC=2AB,ZBAC

的平分线交A45C的外接圆于点。，坳法=跖AC=b,则向量方）等于（）

1

A.a~\~bB.-a+A

2

12

C.a-\--bD.a~\--b

23

答案C

解析设圆的半径为尸，

71

在中，NABC=—,AC=2AB,

2

7171

所以NB4C=-,ZACB=~,

36

又/氏4c的平分线交的外接圆于点。，

71

所以NACB=NBAD=ZCAD=-,

6

则根据圆的性质得

又因为在RtZUBC中，AB=‘AC=r=OD,

2

所以四边形NAD。为菱形，

———1

所以--b.

2

2.（2022•苏州质检）如图，在平行四边形/5CZ）中，E,尸分别为边45,5C的中点，连接CE,

>>>^

DF,交于点G.若员=2。。+〃。5（九〃金R）,贝『=.

1

答案5

解析由题图可设CG=xCE（O<x<l）,

一一一（一1.）

则CG=x（CB+BE）=XGB+-CD7

x-*■—►

=-CD+xCB.

2

因为（卷=〃亦+〃&，db与西不共线，

xA1

所以％=；；,呼x,所以

2〃2

思维升华（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则

进行向量的加、减或数乘运算.

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

跟踪训练1（1）如图，矩形/BCD的对角线相交于点。，£为/O的中点，若法=G+

HAD（X,〃为实数），则力+〃2等于（）

—1—1―

角星析DE=-DA+-DO

22

1一1一

=-DA+-DB

24

1-1——

=^DA+^DA+AB)

If3一

=-AB--AD,

44

135

所以2=一，〃=一一，故22+〃2=一.

448

-A-A-►]-A-►]-►-►

(2)如图，以向量04=〃，08=〃为邻边作平行四边形CMOSBM=-BC,CNqCD,则脑尸

.用a,b表示)

BD

答案

解析9：BA=OA-OB=a~b,

66

VOD=a+b,

——1—1—1―

ON=OC+-CD=-OD+-OD

326

2一22

=-OD=-a+-b.

333

一一一2215

MN=ON—OM--a+-b—-a--b

3366

题型二平面向量的坐标运算

例2(1)、已知〃=(5,-2),6=(—4,-3),若〃二2〃+3c=0,则c等于()

答案D

角翠析•d—2〃+3c=0,

1

.•.c=_y_2〃).

(2)如图，在直角梯形中，AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E为/。的中点，若8

=XCE+/LIDB^,//ER),则2+〃的值为()

688

A.-B.-C.2D.-

553

答案B

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

则£>(0,0).

不妨设45=1,则CZ)=/Z)=2,

AC(2,0),力(0,2),5(1,2),£(0,1),

.'.CA=(~2,2)fCE=(~2,l)fDB=(l,2)f

•；WCE+NDB,

・・・(-2,2)=4(—2,1)+〃(1,2),

,Error!解得Error!

8

故.

【教师备选】

已知四边形/5CD的三个顶点4(0,2),5(—1,-2),C(3,l),且5C=24。，则顶点。的坐标

C.(3,2)D.(1,3)

答案A

解析设。(工,歹)，

则石=(x,歹—2),万2=(4,3),

又BC=2AD,

所以Error!解得Error!

所以顶点。的坐标为

思维升华向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,

成为数与形结合的载体.

跟踪训练2（1）向量防b,c在正方形网格中的位置如图所示，若。=筋+〃〃（九〃£R）,贝（

等于（）

A.1

C.3D.4

答案D

解析以向量〃和A的交点。为原点建立如图所示的平面直角坐标系（设每个小正方形边长

为1）,

则4(1,-1),8(6,2),C(5,-1),

.•・〃=/O=(—1,1),b=OB=(6,2),

c=BC=(-l1-3),

*.*c=Xa~\~jub,

丁・(一1,—3)=2(—l,l)+^(6,2),

则Error!

解得Error!

A—2

〃-1

2

(2)在△ZBC中，点尸在5C上，且丽=2记，点。是ZC的中点，若晶=(4,3),拓=(1,5),

则彩=，ic=.

答案(—3,2)(—6,21)

解析/0=尸0—尸/=(1,5)—(4,3)

=(—3,2),

属=拓+/=拓+2彩=(4,3)+2(—3,2)=(—2,7),

/=3正=3(—2,7)=(—6,21).

题型三向量共线的坐标表示

例3(1)已知。=(l,2+sinx),b=(2,cosx),c=(—1,2),若(“一b)〃c,则锐角尤等于()

A.15°B.30°

C.45°D.60°

答案C

(2)已知在平面直角坐标系。孙中，々(3,1),乙(一1,3),P,,马三点共线且向量凉与向

量。=(1,—1)共线，若凉=/i凉+(1—4)3这，则;I等于()

A.-3B.3

C.1D.-1

答案D

解析设O@=(x,y),

则由O言〃“知x+y=0,

所以O席=(x,—x).

若0寓=/1漏+(1—储0房，

则(x,-X)=2(3,1)+(1-2)-(-1,3)=(42-1,3-22),

即Error!

所以4%—1+3—2A=0,解得4=—1.

【教师备选】

1.已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(l,/).若c〃(2a+6),贝i_U=.

宏享-

口2

解析由题意得2a+〃=(4,2),

因为c=(l,2),c//(2a+b)9

1

所以42—2=0,解得

2

2.已知。为坐标原点，点N(6,3),若点P在直线上，且QP|=5『/|,P是。8的中点,

则点B的坐标为.

答案(4,2)或(一12,-6)

解析：点P在直线CM上，

：.OP//PA,

—►］一

又・・・。尸|=5|以|,

f1—►

:.OP=±-PA

29

设点尸(加，H),

则。尸=(冽，〃)，PA=(6—m,3—n).

—1—*

①若。尸=一尸4,

2

贝！1(加，几)=^(6一机,3—〃)，

/.Error!

解得Error!

工尸(2,1),

是。8的中点，2(4,2).

—»1—

②若OP=一—PA,

2

贝1(冽，n)=--(6—m,3—

Error!

解得Error!

・・・P(—6,-3),

・・•尸是03的中点,

.*.5(-12,-6).

综上所述，点2的坐标为(4,2)或(一12,-6).

思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

⑴若。二(%,%),b=(x2,y2),其中贝1］“〃/＞的充要条件是4为=星］.

(2)在求与一个已知向量”共线的向量时，可设所求向量为相。CR).

跟踪训练3平面内给定三个向量。=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).

(1)若(〃+品)〃(28—〃)，求实数k：

(2)若"满足("一c)〃(a+〃)，且c|=«5,求d的坐标.

解(1)〃+左c=(3+4左,2+左)，

2b―4=(一5,2),

由题意得2X(3+41)一(一5)义(2+左)=0,

」16

解得k=——

13

(2)设d=(x,y),

则d—c=(x—4,y-1),

又a+〃=(2,4),\d—c\=\5,

Error!

解得Error!或Error!

・・・d的坐标为(3,—1)或(5,3).

课时精练

基础保分练

1.(2022•泉州模拟)若向量石=(2,3),就=(4,7),则病等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

答案B

2.(2022-TOP300尖子生联考)已知/(—1,2),2(2,-1),若点C满足於+易=0,则点C

的坐标为()

A.(10/B.(-3,3)

C.(3,-3)D.(-4,5)

答案D

3.下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是)

A.〃=(1,2),6=(0,0)

B.〃=(1,-2),*=(3,5)

C.〃=(3,2),6=(9,6)

(31)

D.a——,,力=(3,—2)

42

答案B

4.在△N8C中，角aB,。所对的边分别为a,b,c,m=（a,b）,〃=（cos8,cosA）,则

lim//nn是“△/2C是等腰三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案D

解析由tn//n,

得bcosB-acosA=0,

即sinBcos3=sin/cos/,

所以sin25=sin2A,

所以2A=2B或2/+28=兀，

,71

即A—B或

2

所以△NBC为等腰三角形或直角三角形；

反之，ZX/BC是等腰三角形，若a=c¥b,

则不能得到m//n,

所以“加〃/'是“△/BC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.

5.（多选）（2022・聊城一中模拟）在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分别是48,CD

的中点，AC与BD交于点M,设法=a,AD^b,则下列结论正确的是（）

一1一1

A.AC=-a+bB.BC=—a+b

22

一12一1

C.BM——D.EF=~-a+b

334

答案ABD

-►-*--►-*-1-*■1

解析AC=AD-\-DC=AD+-AB—-a+b,

22

故A正确;

―►―►―►―►­►―►]-►

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB

2

=­a+b,故B正确；

2

————2f22

BM=BA+AM=-AB-\--AC=--a+-b,

333

故C错误;

EF=EA+AD+DF=—AB-\~AD~\"-AB=--a~\-b,故D正确.

244

6.(多选)已知向量S=(l,-3),03=(2,-1),0C=(m+l,m~2),若点/,B,C能构

成三角形，则实数机可以是()

1

A.-2B.-C.1D.-1

2

答案ABD

解析各选项代入验证，若4,B,C三点不共线即可构成三角形.因为熊=位一5=

(2,-1)-(1,—3)=(1,2),AC=OC~OA=(m+\,m-2)-(l,—3)=(相，m+1).假设4

B,C三点共线，则1X(加+1)—2根=0,即加=1.所以只要加Wl,A,B,C三点就可构成三

角形.

7.在梯形4SCD中，AB//CD,S.DC=2AB,若点41,2),8(2,1),C(4,2),则点。的坐标

为.

答案(2,4)

解析：在梯形中，DC=2/8,

AB//CD,

C.DC^IAB,

设点。的坐标为(x,y),则

元=(4—x,2—y),又蒜=(1,-1),

.,.(4—x,2—y)=2(l,—1),

即Error!

/.Error!

.•.点。的坐标为(2,4).

8.(2022・开封模拟)已知向量加+n=(2+2,2).若(2»i+〃)〃0一2”),则2=

答案0

解析由题意得，

2,"+“=(37+4,4》

m-2/1=(-4-3,-3),

(2m+n)/7(m-2n),

-3(31+4)—4(—A—3)=0,

解得力=0.

9.已知4(—2,4),5(3,-1),C(-3,-4).^AB=a,BC=b,CA=c,且H/=3c,CN

2b.

⑴求3a+b~3c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n；

(3)求N的坐标及向量JW的坐标.

解由已知得4=(5,—5),b=(-6,—3),c—(1,8).

(1)3。+〃―3c=3(5,—5)+(一6,一3)一3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

=

(2)方法—*•mb~\-nc(<-6m~\~n,—3m+8«),

二・Error!解得Error!

方法二*：a+b+c=0,

a——b—c,

又a=mb+nc,

/.mb-\-nc=­b~c9

Error!

(3)设。为坐标原点，:昂=苏一5Z=3C,

・••苏=3c+文=(3,24)+(—3,-4)

=(0,20).

."0,20).

又CN=ON-OC=~2b,

・••苏=-2〃+左=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),

・・・N(9,2),：.MN=(9,-18).

10.已知〃=(1,0),*=(2,1).

⑴当上为何值时，而一〃与〃+2力共线；

(2)若罚=2〃+3"诙=a+机〃且4B,。三点共线，求加的值.

解(1)左口一〃=4(1,0)—(2,1)=(左一2,—1),

〃+2力=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

*：ka—b与a+2b共线，

・・・2(左一2)一(-1)*5=0,

即2左一4+5=0,解得左=一1

2

(2)方法一-：A,B,。三点共线，

：.AB=ABC,

即2a3b=X(amb),

43

,Error!解得m=-.

2

方法二弱=2〃+3〃=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

5C=a+mA=(l,0)+m(2,l)=(2m+1,m),

9：A,B,。三点共线，：.AB//BC,

3

/.8m—3(2加+1)=0,即2加一3—0,

应技能提升练

11.(2022・金华模拟)已知△NBC的三边分别是a,b,c,设向量》/=(sin8—sin/,岛+c),

n=(sinC,a-\-b),且机〃小则5的大小是()

715兀

A-B—

66

712兀

C.-D.—

33

答案B

解析因为相〃孙

所以(q+b)(sinB—sinA)=sinC(y3a+c).

由正弦定理得(a+b)(b—Q)=C(\；3Q+C),

整理得a2-\~c2—b2=—^3ac,

由余弦定理得

a2+c2~b2—\^3ac\*5

cosB-------------=--------=——.

lac2ac2

1,5兀

又0<5<7i,所以B——.

6

12.(多选)如图，B是4c的中点，RE=2OB,P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且有5

=xOA+yOB(xfyeR),则下列结论中正确的是()

D

A.当x=0时，ye[2,3]

15

B.当尸是线段C£的中点时，x=-y=-

22

C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中，点尸的轨迹是一条线段

D.当P在C点时，x=l,y=2

答案BC

解析当d=y届时，点P在线段5E上，故lWyW3,故A中结论错误；

当尸是线段CE的中点时，

―►-►->―►I—>―►

OP=OE+EP=3OB+^EB+BC)

-1——

=3OB+^~2OB+AB)

->]—>—►―>

=3OB+^-WB+OB-OA)

1—5一

=一一OA+-OB,故B中结论正确；

22

当x+y为定值1时，/,2,尸三点共线，又P是平行四边形2CDE内(含边界)的一点，故尸

的轨迹是一条线段，故C中结论正确；

-1——

因为。8=,OC+CM),

所以左=2而一力，

则方咤一a+2防，

所以x=—1,y=2,D错误.

13.已知|扇|=1,|法|=4，a•防=0,点C在N/O8内，且文与方的夹角为30。，设立

=mOA+nOBQn,〃£R),则一的值为.

n

答案3

解析,・,扇・法=0,

.9.OA-LOB,以。为原点，04所在直线为x轴，05所在直线为歹轴建立平面直角坐标系（图

略)，则a=(1,0),08=(0,我,

OC—mOA+nOB=(m,班m).

m3

・••加=3%即一=3.

n

一3一