苏科版七年级数学下册 多项式乘多项式- 图形面积

多项式乘多项式—图形面积

1.有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为

（3a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）

3a+26

A.3B.4C.5D.6

2.如图，一个正方形和一个长方形重叠在一起，重叠部分是边长为3的正方形.用

代数式表示阴影部分的面积为.

3.、在一块长am,宽102m的草坪上修筑宽2m的小路（如图），则种草地面的面

4.三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1

中.现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A,B,C.根据图

2与图1的关系写出一个等式：.（用含a,b,c,d,e,f的式子表示）.

5.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为3的|小正方形（a>b）（如图

甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积

相等，可以验证的等式是__________.

图甲图乙

6.如图，两个正方形的边长分别为a、b,如果a+b=7,ab=10,则阴影部分的面积

为.

7.如图所示，有一块边长为（3a+b）米和（a+2b）米的长方形土地，现准备在这决土

地上修建一个长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的游泳池，剩余部分修建成休息区域.

（1）请用含a和b的代数式表示休息区域的面积：（结果要化简）

（2）若a=5,b=10,求休息区域的面积：

（3）若游泳池面积和休息区域的面积相等，且aWO,求此时游泳池的长与宽的比值.

a+ba+2b

2a+b______

3a+b

8.数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A,1张边长为b的正方形纸

片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C,拼成了如图2所示的大正方形，观察

图形并解答下列问题：

图①图②图③

(1)由图1和图2可以得到的等式为(用含a,b的等式表示)；

(2)莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形，求需A,B,C

三种纸片各多少张；

(3)如图3,St,S2分别表示边长为p,q的正方形的面积，且A,B,C三点在一条直

线上，SI+S2=20,p+q=6.求图中阴影部分的面积.

9.如图，某公园计划在长(3a+4b)米，宽(2a+3b)米的长方形草坪上修建横、纵各

两条宽为a米的走道供行人散步，其余部分仍然为草地.

(1)求走道的面积;

(2)若a=5,b=12,求草地的面积.

2a+3b

3a+4b

10.一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x,y为正整数），如果将长方形的长

和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为S”将长方形的长和宽各减少2厘米得到

新的长方形，面积记为S2.

（1）请说明：Si与S2的差一定是7的倍数.

（2）如果Si比S2大196cnK求原长方形的周长.

（3）如果一个面积为8的长方形和原长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长

方形，请找出x与y的关系，并说明理由.

11.数学活动课上，老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B

和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，排成了如图②中的大正方形.观察图形并

解答下列问题.

（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含a,b的代数式表示）；

（2）小芳想用图①的三种纸片拼出一个面积为（a+b）（a+2b）的大长方形，则需要A

纸片张，B纸片张，C纸片张（空格处填写数字），并尝试在框

线中参考图②画出相关的设计图；

（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形

ACED和正方形BCFG,面枳分别记作&、S2,若AB=6,图中阴影部分aACF的面积为4,

利用⑴中得到的结论求S1+S2的值.

图①图③

12.(阅读理解)“若x满足(70・x)(x・20)=30,求(70-x)-(x・20)2的值”.

解：设(70-x)=a,(x-20)=b,

则(70-x)(x-20)=ab=30,a+b=(70-x)+(x-20)=50,

那么(70-x)2+(x-20)2=aW=(a+b)2-2ab=502-2X30=2440.

(解决问题)

(1)若X满足(40・x)(x・10)=・10,求(40・x)2+(x・10)2的值：

(2)若x满足(2021-x)2+(2020-x)2=4321,求(2021-x)(2020-x)的值.

(3)如图，正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=39,长方形EFGD的面积是500,四

边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.(结

果必须是一个具体的数值).

13.做一做计算：探究归纳，如图甲、图乙是两个长和宽都相等的长方形，其中

长为（x+a）,宽为（x+b）.

①根据图甲、图乙的特征用不同的方法计算长方形的面积，得到关于字母X的系

数是1的两个一次式相乘的计算规律，用数学式表达式为.

尝试运用，利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用上述表达式得到一些

二次三项式的因式分解.

②若x2-7x+m=(X-9)(x+2),则m=.

③若x2+px-4可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数p的值一定

是.

④若x?-4x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，则整数q的值一定

是.

A.4B.0C.有限个D.有无数个

14.我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该

怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母

的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖

式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数.

例：计算(8x?+6x+l)+(2x+l),可依照672・21的计算方法用竖式进行计算.因

此(8X2+6X+1)+(2x+l)=4x+l.

4x-bl

2-吵储+64+1

,8X2+4I

2x4-1

2H1

0

图2

(1)(X3+4X2+5X-6)-r(x+2)的商是,余式是

（2）利用上述方法解法:若多项式2x1+4x3+ax2+8x-b能被x'-x+l整除，求a,值.

（3）己知一个长为（x+2）,宽为（x-2）的长方形A,若将它的长增加6,宽增

加a就得到一个新长方形B,此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图3）.另

有长方形C的一边长为（x+10）,若长方形B的面积比C的面积大76,求长方

形C的另一边长.

15.阅读材料：

面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用.出入相补原理

是中国古代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内

容：一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积保持不变，

总面积等于所有分割成的小图形的面积之和.基于以上原理，回答问题：

（1）把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后（填“能”或“不

能“）把图形重新拼成图2中长为13,宽为5的长方形；

图1图2图3

(2)如图3,a,b,c分别表示直角三角形的三边,

比较大小：a2+b2c2；(a+b)2ab；

(3)观察图4,写出(ac+bdy与(/+b2)(c2+d2)的大小关系:

图4

16.学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的

正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a,b的长方形.

(1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式

拼成一个长为(a+b)的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到

乘法公式.

(2)请用这3种卡片拼出一个面积为a?+4ab+3b2的长方形(数量不限)，在图

3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽:

（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG

框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分.已知GF的长度固

定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为8,

S2.若S=S26,则当a与b满足时，S为定值，且定值为.（用含

b的代数式表示）

17.如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图

乙.

（1）S甲二，S乙=（用含a、匕的代数式分别表示）；

2a

丙

（2）利用（1）的结果，说明a?、b\（a+b）（a-b）的等量关系;

（3）应用所得的公式计算:

（4）如图丙，现有块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割

的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）?、（a-b）\a

b三者的等量关系.

18.两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1）,其未叠合部分（阴影）

面积为S,；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图

2）,两个小正方形叠合部分（阴影）面积为工.

图1图2图3

（1）用含a,b的代数式分别表示&、S2：

（2）若a+b=16,ab=40,求S1+S2的值；

（3）当S1+S2=76时，求出图3中阴影部分的面积S3.

19.用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：

（1）比较£+b?与2ab的大小：

①当a=3,b=3时，a2+bz2ab；

②当a=2,b=-,时，a2+bJ_________2ab；

2

③当a=-2,b=3时，a2+b22ab.

（2）通过上面的填空，猜想a?+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；

（3）如图，直线1上从左至右任取A、B、G三点，以AB,BG为边，在线段AG

的两侧分别作正方形ABCD,BEFG,连接CG,设两个正方形的面积分别为S2,

若三角形BCG的面积为1,求S1+S2的最小值.

20.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块

小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）.

（1）图2中的阴影部分的面积为：（用a、b的代数式表示）；

（2）观察图2,请你写出（a+b）2、（a-b）\ab之间的等量关系是

a

（3）利用（2）中的结论，若x+y=5,x・y二一，求（x-y）」的值；

4

（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,请你写出这个

等式.

（5）如图4,点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方

形ACDE和正方形CBFG,连接EG、BG、BE,当BC=1时，Z^BEG的面积记为

当BO2时，ZXBEG的面积记为S2,…，以此类推，当BC二n时，ZkBEG的面积记

为Sn,计算S2020-S20ig+S20l8-S2017+…+S2-Si的值.

21.如图1,把边长为b的正方形放在长方形ABC!）中，其中正方形的两条边分别

在AD,CD±,己知AB=a（aV2b）,BC=4a.

（1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积;

7

（2）将另一长方形BEFG放入图1中得到图2,已知BE=—a,BG二b；

2

①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求人的值；

b

②若长方形PQMF的面现为2,求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）.

HD

B

图1图2

22.已知正方形ABCD的边长为b,正方形EFGH的边长为a(b>a).

如图1,点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，记阴影部分的面积

为Si：

如图2,在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个

和正方形EFGH一样的王方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和

DC上，记阴影部分面积为工和S：,.

(1)S尸,S产；(结果用含a,上的代数式表示)

(2)若$=16,S2=4,求Sa的值，写出求解过程；

(3)如图3,若正方形EPGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，旦

两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF=1GF,连接AH,

4

HF,AF,当三角形AHF的面积为5时，求三角形EFC的面积，写出求解过程.

答案

1.解：［(3a+2b)(a+b)=3a2+5ab+2b2,

・•・需要C类卡片5张，

故选：C.

2.解：(a+3)(b+3)+(c+3)2-32

=ab+3a+3b+9+c'+6c+9-9

=ab+3a+3b+c"+6c+9.

阴影部分的面积为ab+3a+3b+c2+6c+9.

故答案为：ab+3ci+3b+c2+6c+9.

3.解：把路移到右边和上面，

•・•路的宽度是2m,

・••种草地面可以看成长是(a-2)m,宽是(102-2)m,

故绿地的面积是(a-2)X(102-2)=100(a-2)m2.

故答案为：100(a-2).

4.解：图1的面积为：ad+be+cf；

图2中A的面积为@(d-e),B的面积为(a+b)(e-f),C的面积为f(a+b+c),

•••图2的面积为a(d-e)+(a+b)(e-f)+f(a+b+c).

/.ad+be+cf=a(d-e)+(a+b)(e-f)+f(a+b+c).

故答案为：ad+be+cf=a(d-e)+(a+b)(e-f)*f(a+b+c).

5.解：图甲中阴影部分的面积=a2-b2,图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a-b)；

因而可以验证的乘法公式是(a+b)(a-b)=a2-b2.

故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b).

6.解：由图像可知，阴影部分的面积二大正方形的面积-两个白三角形的面积

/.SpjBi=a2-—a2-—bX(a-b)

22

11.1.

=­a2+—b2--ab

222

=—[(a+b)2-3ab]

2

Va+b=7,ab=10,

119

；・S阴影二一X(49-30)=—

22

19

故答案为：—

2

7.解：(1)休息区域的面积=(3a+b)(a+2b)-(2a+b)(a+b)

=(3a2+6ab+ab+2b2)-(2a2+2ab+ab+b2)

=3a2+6ab+ab+2b2-2a2-2ab-ab-b2

=a2+4ab+b'；

・•・休息区域的面积为a*lab+b\

(2)当a=5,b=10时,

a2+4ab+b2

=52+4X5X10+102

=25+200+100

=325(平方米):

(3)•・•游泳池面积和休息区域的面积相等，

.*.a2+4ab+b'(2a+b)(a+b)=2/+3ab+b:

a2-ab=0,

Va^O,

••a=b・

・・・此时游泳池的长与宽的比值=(2a+b)：(a+b)=3a：2a=3：2.

8.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2.

(2),:(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2.

・••需A纸片2张，R纸片2张，C纸片5张.

(3)由题意可得：p2+q2=20,p+q=6.

*.*(p+q)2=p2+q2+2pq=6J,

/.pq=8.

:.S阳彬=-pqX2=8.

2

9.解：(1)把走道移到右边和上面，

•・•走道的宽度是a米，

・••草地地面可以看成长是(a+4b)米，宽是3b(米)的长方形，

・•・草地面积为(a+4b)X3b=(3ab+12b2)平方米，

・•・走道面积为(3a+4b)(2a+3b)-(3ab+12b2),

=6a2+9ab+8ab+12b2-3ab-12b2,

=(6a2+14ab)平方米，

答：走道的面积为(6a2414ab)平方米.

(2)由⑴可知草地面积为(a+4b)X3b=(3ab+12b2)平方米,

将a=5,b=12代入得：3X5X12+12X12?=1908(平方米)，

答：草地面积为1908平方米.

10.(1)证明：由题意得：

Si=(x+5)(y+5)=xy+5(x+y)+25

S2=(x-2)(y-2)=xy-2(x+y)+4

ASi-S2=xy+5(x+y)+25-[xy-2(x+y)+4]

=7(x+y)+21

=7(x+y+3)

・・・Si与S2的差一定是7的倍数.

解：(2)由题意得Si-S2=196,即7(x+y+3)=196

/.x+y+3=28

/.x+y=25

.*.2(x+y)=50

，原长方形的周长为50cm.

(3)x-y=5,理由如下：

原长方形的长为x厘米，宽为y厘米，

面积为力的长方形长为(x+5)厘米，宽为(y+5)厘米，

•・•两个长方形能没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形。

・•・两个长方形必须有一条边相等，

则面积为S.的长方形的宽和原长方形的长相等，

/.y+5=x,Bpx-y=5.

11.解:(1)(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)1,2,3；

(3)设AC=m,BC=n,

由题意得：m+n=6,—mn=4,

2

2222

.*.Si+S2=m+n=(m+n)-2mn=6-2X8=20.

12.ft?：(1)设(40-x)=c,(x-10)=d,

(40-x)(x-10)=cd=-10,

Ac+d=(40-x)+(x-10)=30,

(40-x)2+(x-10)2=c2+d2,=(c+d)2-2cd,=302-2X(-10)=920；

(2)设2021-x=m,2020-x=n,

Am-n=(201-m)-(2020-n)=1,

m2+n2=(2021-m)2+(2020-n)2=4321,

・•・(2021-x)(2020-x)=mn=-[(m2+n2)-(m-n)2]=2160.

2

(3)•・,正方形ABCD的边长为x,AE=14,CG=30,

ADE=x-14,DG=x-30,

•・•长方形EFGD的面积是500,

・•・(x-14)X(x-30)=500,

•・•四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，

・•・阴影部分为边长为[(x-14)+(x-30)]的正方形，

设x-14=f,x-30=g,

fg=500,f-g=(x-14)-(x-30)=16,

(f+g)2=(f-g)2+4fg=162+4x500=2256,

・・・阴影部分的面积为:2256.

13.解:①(x+a)(x+h)=x'+ax+hx+ah；

②T8；

③丁-4=IX(-4)=(-1)X4=(-2)X2,

/.p=l+(-4)=-3或所(-1)+4=3或p=(-2)+2=0,

故答案为：±3或0；

④因为-4可以写成无数多个数的和的形式，q就等于这两个加数的积，故q的值

有无数多个，

故选：D.

14.解：(1)X2+2X+1,-8.

(2)

2x2+6x+S+4)

x2-x+1^2x4+4x3+ar2+8x-

2X4-2X3+2X2

6x3+(a-2*+8x-/>

6x3-6x2+6x

(a+4*+2x-b

(〃+4*-(a+4)x+(a+4)

(a+6)x-b-a-4

多项式2x'+4x+ax'+8x-b能被x'-x+l整除.

a+6=0,-b-a-4=0.

/.a=-6,b=2.

Aah=(-6)2=36.

(3)长方形A的周长为：2(x+2+x-2)=4x.

长方形B的周长为：2(x-2+a+x+2+6)=4x+2a+12.

♦・,长方形B的周长是A周长的2倍.

4x+2a+12=8x.

a=2x-6.

・•・长方形B的面积为：(x+2+6)(x-2+2x-6)=(x+8)(3x-8)

=3X2+16X-64.

・•・长方形C的面积为:3X2+16X-140.

，长方形C的另一边长为：(3X2+16X-140)4-(x+10)=3x-14.

，长方形C的另一边长为：3X-14.

15.(1)不能；

(2)=；＞；

(3)(ac+bd)2龙(a2+b2)(c2+d2).

16.解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)如图3,

「一一一一一一一一——一一一―一一一一一一

Jabbb

\aa5

•\\b

\babbb

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一_J

图3

(3)设DG的长为x,

2

VSi=a[x-(a+2b)]=ax-a-2ab,S2=2b(x-a)=2bx-2ab,

.,.s=s2-s.

=2bx-2ab-(ax-a2-2ab)

=(2b-a)x+a',

若S为定值，则2b-a=0,

:.a=2b,

・••当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为4b\

故答案为：a=2b,4b2.

17.解：(1)(a+b)(a-b)；a2-b2；

(2)(a+b)(a-b)=a2-b2；

(3)

1I1

1324359810099101

=—X—X—X—X—X—X--X一X--------X--------X--------

2233449999100100

1101

=—x-----

2100

101

~200

（4）如图①所示，将图丙分成四个长为a,宽为匕的小长方形，再拼成如图②所

示的正方形.

图①图②

根据图②可得：

S大正方形=(a+b)\

S大正方形=(a-b)2+4ab>

・♦.(a+b)2=(a-b)2+4ab.

22

18.解：(1)由图可得，S>=a-l?,S2=2b-tib：

222222

(2)S(+S2=a-b+2b-ab=a+b+2ab-3ab=(a+b)-3ab

Va+b=16,ab=40,

2

.*.S.+S2=16-120=136；

2z222

(3)由图可得，S5=a+h--a-—h(aA-h)=—a+—h--ah=—(a-i-——nh

2

VSI+S2=76,即(a+b)-3ab=76,

・•・Ss=38.

19.W：(1)=,>,>：

(2)由(1)可得，a?+b222ab，理由如下:

,r(a-b)2^0,B[Ja2-2ab+b2>0,

a2+b2^Zab；

2

(3)由题意可知S产a?,S2=b,

•・・△BCG的面积为1,即1ab二l,

2

:.ab二29

22

VS.+S2=a+b>2ab,

22

.*.S.+S2=a+b>4,

囚此S1+S2的最小值为4.

20.解：(1)(a+b)lab或(b-a)2；

(2)(a+b)2-(b-a)2=4ab：

9

(3)Vx+y=5,xy=—,