学生书-§12-3-圆的方程

§12.3圆的方程(对应答案分册第43~44页)1.圆的定义与方程当D2+E2-4F>0时,此方程表示的图形是圆;当D2+E2-4F=0时,此方程表示一个点-D2,-E2;当D2+E2-4F<2.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圆心C的坐标为(a,b),半径为r,设点M的坐标为(x0,y0).(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A(2)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)·(y-y2)=0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x02+y02+Dx0+Ey0+F>0.(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆.()(4)方程(x-a)2+(y-b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()【对接教材】2.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为().A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=93.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是.

【易错自纠】4.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是.

5.若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4的内部,则实数m的取值范围是.

求圆的方程【题组过关】1.(2022·北京西城模拟)设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是().A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+y2=82.(2022·浙江绍兴模拟)已知圆C与x轴的正半轴相切于点A,圆心在直线y=2x上,若点A在直线x-y-4=0的左上方且到该直线的距离等于2,则圆C的标准方程为().A.(x-2)2+(y+4)2=4B.(x+2)2+(y+4)2=16C.(x-2)2+(y-4)2=4D.(x-2)2+(y-4)2=163.(2022·河南郑州模拟)圆(x+2)2+(y-12)2=4关于直线l:x-y+8=0对称的圆的方程为().A.(x+3)2+(y+2)2=4B.(x+4)2+(y-6)2=4C.(x-4)2+(y-6)2=4D.(x+6)2+(y+4)2=4点拨求圆的方程的两种方法几何法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程待定系数法①根据题意,选择标准方程与一般方程;②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程提醒:解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.与圆有关的轨迹问题【典例迁移】(一题多解)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求直角顶点C的轨迹方程.

【变式设问】已知条件不变,求直角边BC的中点M的轨迹方程.

点拨求与圆有关的轨迹问题的三种方法(1)直接法:当题目条件中含有与该点有关的等式时,可设出该点的坐标,用坐标表示等式,直接求解轨迹方程.(2)定义法:当题目条件符合圆的定义时,可直接利用定义确定其圆心和半径,写出圆的方程.(3)代入法:当题目条件中已知某动点的轨迹方程,而要求的点与该动点有关时,常找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求轨迹方程.【追踪训练1】自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为().A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0与圆有关的最值问题【考向变换】考向1斜率型最值问题已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则yx的最大值和最小值分别为和.

点拨形如μ=y-bx-【追踪训练2】已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值和最小值分别为和考向2截距型最值问题已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则y-x的最大值和最小值分别为和.

点拨形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.【追踪训练3】已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求y-3

考向3距离型最值问题已知实数x,y满足x+2y-5=0,则(x-1)2+(y-1)2的最小值为().A.45 B.C.255 D点拨形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【追踪训练4】若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为().A.2 B.1 C.3 D.2函数思想在圆中的应用在解决与圆有关的最值问题时,通过转化,结合函数知识进行求解.(2022·厦门模拟)设P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则PA·PB的最大值为.

根据题