2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE10-二倍角的正弦、余弦、正切公式(15分钟35分)1.设α是第四象限角，已知sinα=-QUOTE，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为 ()A.-QUOTE，QUOTE，-QUOTE B.QUOTE，QUOTE，QUOTEC.-QUOTE，-QUOTE，QUOTE D.QUOTE，-QUOTE，-QUOTE【解析】选A.因为α是第四象限角，且sinα=-QUOTE，所以cosα=QUOTE，所以sin2α=2sinαcosα=-QUOTE，cos2α=2cos2α-1=QUOTE，tan2α=QUOTE=-QUOTE.2.若cosxcosy+sinxsiny=QUOTE，则cos(2x-2y)= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=QUOTE，所以cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-QUOTE.【补偿训练】化简：QUOTE= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.-1 D.1【解析】选B.原式=QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.3.已知cosQUOTE=-QUOTE，则sin(-3π+2α)= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.易得cosQUOTE=2cos2QUOTE-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.又cosQUOTE=cosQUOTE=sin2α，所以sin(-3π+2α)=sin(π+2α)=-sin2α=-QUOTE=QUOTE.4.QUOTE=_______.

【解析】原式=QUOTE×QUOTE=QUOTEtanQUOTE=QUOTEtanQUOTE=QUOTE.答案：QUOTE5.已知sinα-2cosα=0，则sin2α=_______.

【解析】由sinα-2cosα=0，得tanα=QUOTE=2，则sin2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知QUOTE<α<π，cosα=-QUOTE.(1)求tanα的值；(2)求sin2α+cos2α的值.【解析】(1)因为cosα=-QUOTE，QUOTE<α<π，所以sinα=QUOTE，所以tanα=QUOTE=-QUOTE.(2)sin2α=2sinαcosα=-QUOTE.cos2α=2cos2α-1=QUOTE，所以sin2α+cos2α=-QUOTE+QUOTE=-QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.(2024·重庆高一检测)已知sinα+cosα=-QUOTE，2sinα-cosα=-QUOTE，则cos2α= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.两个式子相加得3sinα=-QUOTE，所以sinα=-QUOTE，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×QUOTE=QUOTE.2.设-3π<α<-QUOTE，化简QUOTE的结果是 ()A.sinQUOTE B.cosQUOTE C.-cosQUOTE D.-sinQUOTE【解析】选C.因为-3π<α<-QUOTE，所以-QUOTE<QUOTE<-QUOTE，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-cosQUOTE.【补偿训练】QUOTE-QUOTE= ()A.-2cos5° B.2cos5°C.-2sin5° D.2sin5°【解析】选C.原式=QUOTE-QUOTE=QUOTE(cos50°-sin50°)=2QUOTE=2sin(45°-50°)=-2sin5°.3.已知角α在第一象限且cosα=QUOTE，则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.因为cosα=QUOTE且α在第一象限，所以sinα=QUOTE，所以cos2α=cos2α-sin2α=-QUOTE，sin2α=2sinαcosα=QUOTE，原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】已知sinQUOTE=QUOTE，则cosQUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为sinQUOTE=QUOTE，所以cosQUOTE=cosQUOTE=1-2sin2QUOTE=QUOTE.4.已知α∈QUOTE，且sinα=QUOTE，则tanQUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.7 D.-QUOTE【解析】选D.因为α∈QUOTE，且sinα=QUOTE，所以cosα=-QUOTE，所以tanα=-QUOTE，由二倍角公式得tan2α=QUOTE=-QUOTE，tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.下列计算正确的是 ()A.QUOTE=1B.1-2sin275°=QUOTEC.cos4QUOTE-sin4QUOTE=QUOTED.cos275°+cos215°+cos75°cos15°=QUOTE【解析】选CD.对于选项A，QUOTE=QUOTE=QUOTEtan45°=QUOTE；对于选项B，1-2sin275°=cos150°=-QUOTE，对于选项C，cos4QUOTE-sin4QUOTE=cos2QUOTE+sin2QUOTEcos2QUOTE-sin2QUOTE=cosQUOTE=QUOTE；对于选项D，原式=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+QUOTEsin30°=1+QUOTE=QUOTE.6.若2cos2α=sinQUOTE，则sin2α的值为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选AC.若2cos2α=sinQUOTE，即2(cos2α-sin2α)=QUOTEcosα-QUOTEsinα，当cosα=sinα时，满意条件，此时，tanα=1，sin2α=1.当cosα≠sinα时，则2(cosα+sinα)=QUOTE，即cosα+sinα=QUOTE，所以1+2sinαcosα=QUOTE，即sin2α=2sinαcosα=-QUOTE.综上可得，sin2α=1或-QUOTE.三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知tanQUOTE=2，则tanα的值为_______，tanα+QUOTE的值为_______.

【解析】因为tanQUOTE=2，所以tanα=QUOTE=QUOTE=-QUOTE，tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案：-QUOTE-QUOTE8.sin10°sin30°sin50°sin70°=_______.

【解析】原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE【补偿训练】cosQUOTEcosQUOTEπcosQUOTEπ=_______.

【解析】原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案：-QUOTE四、解答题(每小题10分，共20分)9.化简：(1)QUOTE-QUOTE；(2)QUOTE.【解析】(1)原式=QUOTE=QUOTE=tan2θ.(2)原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.10.已知sinQUOTE-2cosQUOTE=0.(1)求tanx的值；(2)求QUOTE的值.【解析】(1)由sinQUOTE-2cosQUOTE=0，知cosQUOTE≠0，所以tanQUOTE=2，所以tanx=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(2)由(1)知tanx=-QUOTE，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.1.已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.π【解析】选D.由题意得QUOTE①2+②2得cosβ=QUOTE，cosα=QUOTE，由α，β均为锐角知，sinβ=QUOTE，sinα=QUOTE，所以tanβ=2QUOTE，tanα=QUOTE，所以tan2β=-QUOTE，所以tan(α+2β)=0.又α+2