2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.5距离选学学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE13．2.5距离(选学)1.了解图形与图形的距离的概念．2.理解四种距离的概念．3.会求一些简洁的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离(1)连接平面外一点与平面内随意一点的全部线段中，垂线段最短．(2)一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．3．直线与它的平行平面的距离(1)假如一条直线平行于平面α，则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等．(2)一条直线上的任一点与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．4．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(2)两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．1．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则P(3，5，0)到l的距离为()A．5 B．14C．eq\f(14,5) D．eq\f(4,5)答案：C2．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点A1到平面BB1D1D的距离为()A．a B．eq\f(1,2)aC．eq\f(\r(3),4)a D．eq\f(\r(2),2)a解析：选D．设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝eq\f(\r(2),2)a.3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则BC到平面AB1C1D的距离为()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)解析：选C．设AB1中点为O，则BO即为BC到平面AB1C1D的距离，可求得BO＝eq\r(2).计算两点之间的距离如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．【解】因为∠ACD＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.同理，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.因为AB与CD成60°角，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°.又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，,2，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°.))所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2或eq\r(2)，即B、D间的距离为2或eq\r(2).eq\a\vs4\al()计算两点之间的距离和线段的长度是计算四种距离中的最基本的题型．一般方法有三种：(1)构造三角形，通过解三角形求解．(2)建立适当的直角坐标系，求出两点的坐标，利用公式求解．(3)把线段用向量表示，转化为求向量的模，利用|a|2＝a·a求解．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝()A．eq\f(\r(53),4) B．eq\f(53,2)C．eq\f(\r(53),2) D．eq\f(\r(13),2)答案：C求点到平面的距离四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．【解】(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又因为DE⊄平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因为DE∥平面PFB，所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1)．又因为eq\o(FD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，所以点D到平面PFB的距离d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).所以点E到平面PFB的距离为eq\f(\r(6),3).eq\a\vs4\al()(1)利用点到平面的距离的定义求点到平面的距离，只需作出点在平面内的射影，然后求垂线段的长即可．(2)用向量法求点到平面的距离的方法：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量eq\o(MP,\s\up6(→))的坐标，那么P到平面的距离d＝|eq\o(MP,\s\up6(→))|·|cos〈n，eq\o(MP,\s\up6(→))〉|.已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．解：以D点为原点，建立空间直角坐标系Dxyz如图，所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)．设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x,z＝x))，取x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)．因为eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，所以eq\o(DD1,\s\up6(→))·n＝2，|n|＝eq\r(3)，所以d＝eq\f(|\o(DD1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，即点D1到平面BDE的距离为eq\f(2\r(3),3).求线面距离和面面距离如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长AB＝2，E、F分别为棱BC、B1C1的中点．(1)求证：平面BD1F∥平面C1DE；(2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离．【解】(1)证明：如图，以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，B1(2，2，3)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(1，2，3)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以D1F∥DE，又因为DE⊂平面DEC1，所以D1F∥平面DEC1，又因为eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(EC1,\s\up6(→))，所以BF∥EC1，又因为EC1⊂平面C1DE，所以BF∥平面C1DE.因为D1F∩BF＝F，所以平面BD1F∥平面C1DE.(2)由(1)可知平面BD1F与平面C1DE间的距离等于D1到平面C1DE的距离，设平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0,n·\o(EC1,\s\up6(→))＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0,－x＋3z＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x,z＝\f(1,3)x))，令x＝6，得n＝(6，－3，2)，所以D1到平面C1DE的距离d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(D1C1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－3×2,7)))＝eq\f(6,7)，所以平面BD1F与平面C1DE间的距离为eq\f(6,7).eq\a\vs4\al()平面α平行于平面β，则α、β之间的距离就是α内任一点到β的距离，所以求两平行平面间的距离，可依据定义转化为点到平面的距离求解．如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、C1C的中点，DG＝eq\f(1,3)DD1，过E、F、G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离．解：以D点为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,3)))，D1(0，0，1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，－\f(1,6)))，设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，则n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0.))令z＝6，可得n＝(0，－1，6)．又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(1,2)))，所以d＝eq\f(|\o(D1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4\r(37),37).点到平面的距离的求法(1)几何法①由点到平面的距离的定义转化为平面几何中解直角三角形问题，进行求解．②由已知点和平面内不共线的三点构成三棱锥，转化为体积问题，进而用等积法求解．(2)向量法如图，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA中，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos∠ABO＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BO,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BO,\s\up6(→))|)).求线面距离时，留意在l上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．1．在空间直角坐标系中，已知M(－1，0，3)，N(2，4，3)，则M，N之间的距离为()A．eq\r(10) B．5C．eq\r(29) D．eq\r(34)答案：B2．已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为()A．eq\r(15) B．eq\r(5)C．eq\r(10) D．3解析：选A．如图，作AE⊥α于E，因为AB∥CD，AB⊄α，CD⊂α，所以AB∥α，所以点A到平面α的距离就是AB到平面α的距离，又AC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以AE＝ACsin60°＝2eq\r(5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(15).3．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为________．解析：因为eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，所以点P到α的距离d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r((－2)2＋(－2)2＋12))＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)4．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1和C1D1的中点，则直线EF到平面B1D1D的距离为________．解析：设B1D1中点为O，EF中点为K，则KO即为EF到平面B1D1D的距离，KO＝eq\f(1,2)C1O＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)[A基础达标]1．设P是60°的二面角α­l­β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长为()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)解析：选C．由已知得∠APB＝120°，在△APB中，由余弦定理得AB2＝42＋22－2×4×2cos120°＝28.所以AB＝2eq\r(7).2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则点O到平面ABC1D1的距离为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：选B．由题意知A1到平面ABC1D1的距离为eq\f(1,2)A1D＝eq\f(\r(2),2).又因为O是A1C1的中点，所以O到平面ABC1D1的距离为A1到平面ABC1D1距离的eq\f(1,2).所以距离为eq\f(\r(2),4)，故选B．3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．eq\f(6\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：选B．建立空间直角坐标系如图所示，则eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，设∠ABE＝θ，则cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2,5)eq\r(5).故A到直线BE的距离d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|sinθ＝2×eq\f(2,5)eq\r(5)＝eq\f(4,5)eq\r(5).4．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为()A．eq\r(15)cm B．eq\r(17)cmC．eq\r(19)cm D．eq\r(21)cm解析：选C．如图所示，设AB和CD在α内的射影长分别为3x和5x，则有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝eq\r(5)，则α、β间的距离为eq\r(19)cm.故选C．5．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形态为()解析：选C．在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，因为PM＝PB，故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)，故应选C．6．在三棱锥P­ABC中，侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝2，则点P到平面ABC的距离等于________．解析：利用VA­PBC＝VP­ABC可求得点P到平面ABC的距离为eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)7．已知直角三角形ABC的直角顶点C在平面α内，AB∥α，AC，BC与α所成角分别为45°和30°，若AB＝6，则AB到α的距离为________．解析：设AB到α的距离为h，CB＝eq\f(h,sin30°)＝2h，AC＝eq\f(h,sin45°)＝eq\r(2)h，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(eq\r(2)h)2＋(2h)2＝62，解得h＝eq\r(6).答案：eq\r(6)8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为________．解析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N(图略)．则可求得AM＝eq\f(1,2)，BM＝eq\f(\r(3),2)，CN＝eq\f(1,2)，DN＝eq\f(\r(3),2)，MN＝1.由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋2×(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是C1C、D1A1、AB的中点，求点A到平面EFG的距离．解：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图．则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(2，－1，－1)，eq\o(GA,\s\up6(→))＝(0，－1，0)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量．则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(EF,\s\up6(→))，,n⊥\o(EG,\s\up6(→))))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋z＝0，,2x－y－z＝0.))从而有x＝y＝z，所以可取n＝(1，1，1)．eq\o(GA,\s\up6(→))在n上射影的长度为eq\f(|\o(GA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－1|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).即点A到平面EFG的距离为eq\f(\r(3),3).10．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．(1)求点M到直线AC1的距离；(2)求点N到平面MA1C1的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))|2)－\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))·s0|)2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)设平面MA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(A1M,\s\up6(→))＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，与n同向的单位向量为n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5))).因为N(1，1，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，故点N到平面MA1C1的距离d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(3\r(5),5).[B实力提升]11．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为()A．3 B．eq\r(5)C．eq\f(\r(11),11) D．eq\f(2\r(11),11)解析：选D．如图所示，建立空间直角坐标系，则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝(2，4，－2)，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(4，2，－2)．设n＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(GE,\s\up6(→))＝2x＋4y－2z＝0，,n·\o(GF,\s\up6(→))＝4x＋2y－2z＝0，))令x＝1，则y＝1，z＝3，所以平面EFG的一个法向量为n＝(1，1，3)．而eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以d＝eq\f(|n·\o(EB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(|－2|,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).12．已知二面角α­l­β为45°，A∈α，点A到棱l的距离等于a，则点A到平面β的距离为________．解析：如图，过A作AB⊥l，AC⊥β，垂足分别为B，C，则AB＝a.连接CB，则∠ABC＝45°，在Rt△ACB中，AC＝eq\f(\r(2),2)a.即点A到平面β的距离为eq\f(\r(2),2)a.答案：eq\f(\r(2),2)a13．正三棱柱ABC­A1B1C1中各棱长为1，D是AB的中点，求BC1到平面A1CD的距离．解：如图，以D为原点，分别以DC、DB所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，连接AC1与A1C交于E，则E为AC1中点．连接ED，又因为D为AB中点，所以ED∥C1B，所以BC1∥平面A1CD，所以BC1到平面A1CD的距离等于B到面A