2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理练习新人教A版选修1-2

PAGE1-1合情推理[课后提升案·素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“a(b·c)＝b(a·c)”；③“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”类比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2C．3D．4解析由向量的学问可得只有①正确．答案A2．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过视察可以发觉第10个图形中火柴棒的根数是A．30B．31C．32D．34解析第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4＋3＝7根火柴棒；第3个图形中有4＋3×2＝10根火柴棒；…第10个图形中有4＋3×9＝31根火柴棒．答案B3．视察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析视察规律，归纳推理．从给出的式子特点视察可推知，等式右端的值，从第三项起先，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C4．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D解析由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.答案B5．视察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析可以发觉：第一个式子的第一个数是1，其次个式子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，其次个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，其次个式子的结果是3的平方，…故第n个式子应当是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案B6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来探讨数．比如：他们探讨过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024C．1225D．1378解析视察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.所以a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，视察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案eq\f(1,8)8．图(1)所示的图形有面积关系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，则图(2)所示的图形有体积关系：eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝________．解析由三棱锥的体积公式V＝eq\f(1,3)Sh及相类比可知，eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)9．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，且通项为eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)·eq\f(d,2)，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．解析∵Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝beq\o\al(n,1)q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝beq\o\al(n,1)qeq\s\up6(\f(n（n－1）,2))，∴eq\r(n,Tn)＝b1qeq\s\up6(\f(n－1,2))＝b1(eq\r(q))n－1，∴数列{eq\r(n,Tn)}是首项为b1，公比为eq\r(q)的等比数列，其通项为eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1.答案数列(eq\r(n,Tn))为等比数列，且通项为eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(11分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．解析因为Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，所以Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以eq\f(1,Sn)＝－2－Sn－1(n≥2)，当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－a1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).由此猜想Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2).11．(12分)视察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4).②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).请写出与上面两式规律相同的一个等式并加以证明．解析由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为eq\f(3,4).猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝eq\f(3,4)，也可干脆写成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).下面进行证明：左边＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（2α＋60°）,2)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2αcos60°－sin2αsin60°,2)＋sinα·(cosα·cos30°－sinαsin30°)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α－eq\f(\r(3),4)sin2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1－cos2α,4)＝eq\f(3,4)＝右边．故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).12．(12分)如图1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图2，三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题？并加以证明．解析命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图2中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥A