江苏高考数学一轮复习讲义第3章第1节导数的概念及运算

第电章导数及其应用

全国卷五年考情图解高考命题规律把握

1.考查形式

本章内容在高考中一般是“一

大”.

2.考查内容

（1）导数的几何意义一般在选择

题或填空题中考查，有时与函数的

性质相结合出现在压轴小题中.

（2）解答题一般都是两问的题目，

考点

⑵

121(2)121(1)121(2)1121(2)120第一问考查曲线的切线方程、函数

函数的零点与导数1120

⑵⑵

m2121⑵

1211121(1)的单调区间、函数的极值点等，属

不等式与导数021(2)1121(1)H2K1)

函数的最值与导数1121⑵11611120(2)于基础问题.第二问利用导数证明

nn

ID211121(2)120(1)

函数的极值与导数H21⑵

121(1)1120(1)不等式，已知单调区间或极值求参

121(1)

函数的单调性与导数1121(1)1121(1)UI20(1)

H1615013113W6数的取值范围，函数的零点等问题.

导数的几何意义121(1)mi5mi4020(2)

20152016201720182019年份3.备考策略

（1）熟练掌握导数的运算公式，

重点研究导数的几何意义、导数与

函数的单调性、导数与极（最）值、

导数与不等式、导数与函数的零点

等问题.

（2）加强数形结合、分类讨论等

数学思想的应月.

第一节导数的概念及运算

［最新考纲］1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据

导数定义求函数y=C（C为常数），y=x,y=x1,y=:,y=G的导数3

能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.能求简单

的复合函数（仅限于形如/（心+b）的复合函数）的导数.

夯实基础知识课前自主回顾扫除双基盲点

[:必备知识填充:]

1.导数的几何意义

函数f（X）在点X0处的导数/（xo）的几何意义是曲线y=/（X）在点（尤0,

f（刈））处的切线斜率.相应地,切线方程为v—f（刈）=尸（xo）（x一灿）.

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)=炉(〃SQ*)f(x)=窗口

f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x)=cosxf(x)=—sinx

f(x)=cff(x)=avlna(40)

f(x)=evf(x)=ef

f(x)=logdf⑴-六

f(x)=\nx

3.导数的运算法则

(1)E/(x)土g(x)]'-f(x)土/(x)；

(2)[/(x),g(x)]'=f'(x)女G)+f(x)女'(彳)；

⑶[曙]/⑺*需3人)-

4.复合函数的导数

复合函数y=/（g（x））的导数和函数），=/（〃），〃=g（x）的导数间的关系

为=）/如'，即y对x的导数等于血L的导数与!工的导数的乘积.

[常用结论]

1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周

期函数.

2.\_af(x)±bg(x)］,—af(x)土bg'(x).

3.函数y=/Cr)的导数/(x)反映了函数/Cr)的瞬时变化趋势，其正

负号反映了变化的方向，其大小，(x)|反映了变化的快慢，\fCr)|越大，

曲线在这点处的切线越“陡”.

［学情自测验收：］

一、思考辨析(正确的打“，错误的打"x”)

(1)/(刈)是函数y=/(x)在x=xo附近的平均变化率.

()

(2)/(刈)与"(加)］'表示的意义相同.()

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.

()

(4)函数/(x)=sin(—x)的导数是，(x)=cosx.

()

［答案］(1)x(2)x(3)x(4)x

二、教材改编

1.函数5=沈0$X—sinx的导数为()

AjcsinxB.—xsinx

CjcosxD.—xcosx

B=x'cosx+x(cosx),—(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-

xsinx］

2.曲线)，=/।H在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()

A.—9B.—3

C.9D.15

C［因为丁=丁+11,所以y'=3AT,所以y'|X=I=3,所以曲线旷=r+11

在点尸(1,12)处的切线方程为》-12=3(x-1).令工=0,得y=9.故选C.］

3.函数)，=/(x)的图象如图，则导函数/(x)的大致组象为()

所以/(x)=2017+lnx+1=2018+lnx,

又，Go)=2018,

所以2O18+lnxo=2O18,所以其=1.]

IE点评求导之前先对函数进行化简减少运算量.如本例(1)(3).

考向2抽象函数求导

龌典例已知/(x)=/+均(1),则/(0)=.

-4(x)=2x^-2/(1),

・"(1)=2+"(1),

・"(I)=-2,

・"(0)=2f(1)=2x(-2)=-4.]

0点评赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视/(1)为常数，然后

借助导数运算法则计算/G),最后分别令x=l,x=0代入/(x)求解即可.

麴典题1.己知函数/J)=e4nx,f(x)为/(x)的导函数，则/(1)

的值为.

e[由题意得/(x)=eAlnx4-eA--,则/(1)=e.]

2.已知函数/(x)的导函数为/(x),且满足关系式/(工)=f+3?’(2)

+lnx,则，(2)=.

9

—7[因为/(x)=x1+3xff(2)+lnx,所以，G)=2r+3/'(2)

9

-

+7，所以/(2)=4+3/'(2)+E2

3.求下列函数的导数

(1)y=3V-2r+e；

Inx

(2)y=AH;

2x-l

(3)

［解］(1)y'=(3V)(2V)'+e/=(3、)'^+3、(眇)'-

(2X)'=3Vin34-3xer-2Aln2

=(In3+1)•(3e)r-2vln2.

(Inx)'(K+l)—Inx(f+l)'

(2)y'=

(K+l)2*

-Wl)-2xlnx^+1_2^%

(f+l)2-=.v(x2+l)2-

(2x-\},

(3)y=,n^+7=[In(2x-l)-In(2x4-1)],

=[in(2x—1)]'—[In⑵+1)]'

2x-\⑵―D'2x+f⑵+D'

22_4

2x-l-2x+l=4f

⑥)考点2导数的几何意义

唳通法导数几何意义的应用类型及求解思路

(1)已知切点A(xo,/(xo))求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(xo).

(2)若求过点P(xo,”)的切线方程，可设切点为(xi,y\),由

yi=7(xi)，

求解即可.

,yo—y1=f(xi)(xo-xi)

(3)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系

列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；

③切点在曲线上.

卜考向1求切线方程

觑典例(1)(2019•全国卷I)曲线y=3(炉+x)e》在点(0,0)处的切线

方程为.

(2)已知函数/(x)=xlnx,若直线/过点(0,—1),并且与曲线y=f(x)

相切，则直线/的方程为.

(1)3x—y=0(2)x—y—1=0[(1)\*yr=3(寸+31+1)e\・••曲

线在点(0,0)处的切线斜率k=<k=o=3,・••曲线在点(0,0)处的切线方程为

y=3x.

(2)・・,点(0,-1)不在曲线fG)=xlnx±,

・,•设切点为(xo,yo).又•：f(x)=l+lnx,

・,•直线/的方程为y+1=(1+lnxo)x.

yo=xolnxo,

解得xo=l,yo=O.

)*()+1=(1+lnxo)xo,

・••直线/的方程为y=x-l,即X一丁一1=0.]

起点评（i）求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标，在使用切点横坐

标求切线方程时应注意其取值范围；（2）注意曲线过某点的切线和曲线在某点处

的切线的区另人如本例（1）是“在点（0,0）”,本例（2）是“过点（0,-1）”，

要注意二者的区别.

►•考向2求切点坐标

龌典例（2019•江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx

上，且该曲线在点A处的切线经过点（一e,—1）（e为自然对数的底数），则点

A的坐标是

（e,l）[设A（xo,>x））,由y'=；，得Z=!，

✓V人u

所以在点A处的切线方程为y—Inxo=5（x—xo）.

因为切线经过点（一e,—1）,

1e

所以一1一lnxo=—（―e—xo）.所以lnxo=—,

•XOxo

令g（x）=lnx—（x>0）,

则gl（x）=；+聿，则g'（x）>0,

，g（x）在（0,+°0）上为增函数.

e

又g（e）=0,.•.lnx=二有唯一解x=e.

•X

.•.xo=e..,•点4的坐标为（e,l）.]

喳点评f（x）=k（k为切线斜率）的解即为切点的横坐标，抓住切点既

在曲线上也在切线上，是求解此类问题的关键.

>考向3求参数的值

曜典例（1）（2019•全国卷HI）已知曲线〉=。百+3!1x在点（1,ae）处的

切线方程为），=2x+。，则（)

A.a=e,b=—\B.a=e,b=\

C.a=e-',b=\D.〃=e「，b=—\

I7

(2)已知=lnx,g(x)=/+/内+](MVO),直线/与函数/(%),

g(x)的图象都相切，与/G)图象的切点为(1,/(D),则“=.

f

(1)D(2)-2[(1)・・》=ae+\nx+if：.y|x=i=«e+l,

/.2=«e+l,.,・。=©一]..,.切点为(1,1),

将(1,1)代入y=2x+。，得l=2+b,

AZ?=-1,故选D.

(2)•:f(x)=：,・••直线/的斜率2=/(1)=1.

又7(1)=0,，切线/的方程为y=x—1.

g'(x)=x+mf

设直线/与g(x)的图象的切点为(加，然)，

则有xo+机=1,yo=xo-\,)】o=5§+mro+/，m<Of

•\m=-2.]

喳点评已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于

切线斜率的方程，同时注意曲线上点的横坐标的取值范围.

卜考向4导数与函数图象

龌典例(1)已知函数)，=/(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数

y=f(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()

(2)已知y=f(x)是可导函数，如图，直线尸丘+2是曲线y=f(x)在

x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数，则短(3)

尸危)

(1)B(2)0[(1)由)=/G)的图象是先上升后下降可知，函数

y=f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.

(2)由题图可知曲线y=/(x)在尸3处切线的斜率等于一上"(3)

1

=~3'

■g(x)=xf(X),:・g'(x)=f(x)+xf(x),

：.g'(3)=f(3)+3