初三数学总复习-圆-专项训练习题（含解析）-模考专题

2021初中数学毕业考试复习专题训练

专题11《圆》

一、单选题

1.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最富成就.它的算法体系至今

仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长

一尺，问径几何？”译为:“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1

寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”

如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）

A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸

【答案】C

【解析】

设。。的半径为r.

在RIAADO中，AD=5y00=1-1OA=r,

则有夕+（7）2,

解得r=13,

.•・。。的直径为26寸，

故选；C.

【关键点拨】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题

2.AB是。O的直径，点C在圆上，ZABC=65°,那么NOCA的度数是（）

A.25°B.35°C.15°D.20°

【答案】A

【解析】

.JAB是。。的直径，

.\ZACB=90S

•/ZABC=65°,

.\ZCAB=25°,

'/OA=OC,

・・.NOCA=NCAB=25。，

故选：A.

【关键点拨】本题考杳了圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键.

3.如图，正方形ABCD内接于。0,。。的半径为2,以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长

线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为（）

A.4n-4B.4n-8C.8兀-4D.8兀-8

【答案】A

【解析】

90xyrx421

利用对称性可知：阴影部分的面积=扇形AEF的面积-4ABD的面积=———-----x4x2=4n-4,

3602

故选A.

【关键点拨】

本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

4.如图，点A、B、C、D在。0上，ZA0C=140°,点B是弧AC的中点，则ND的度数是（）

A.70°B.55°C.35.5°D.35°

【答案】D

【解析】

连接0B,

,・,点B是弧AC的中点，

1

.,.ZAOB=2ZA0C=70",由圆周角定理得，

1

ZD=ZZA0B=35°

故答案选：D.

【关键点拨】

本题考查的知识点是圆周角定理与推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与推论.

5.如图，在。0中，AE是直径，半径0C垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2〃，CD=1,则BE的长是（

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

•・•半径oc垂直于弦AB,

1

.'.AD=DB=2AB=x7

在RtAAOD中，OAHOC-CDf-AD2即0A:=(0A-l)H\7F,

解得：OA=4

.*.OD=OC-CD=3,

•.•AO=OE,AD=DB,

.\BE=2OD=6

故选：B

【关键点拨】

本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键

6.如图，在AABC中，ZACB=90°,过B,C两点的。O交AC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交。O

22

于点F.连接BF,CF.^ZEDC=135°,CF=2A/2,MAE+BE的值为()

【答窠】C

【解析】

VZEDC=135°,

jZADE=45°,ZABC=1800-ZEDC=180o-135o=45o；

VZACB=90°,

・•・ZA=45°,

AZADE=ZA=45°,

AAE=AD,ZAED=90°；

VEF为。O的直径，

・•・zrcE=90°,

VZABC=ZEFC=45°,CF=2«

AEF=4；

连接BD.

•.•ZAED=90s,

.•.ZBED=90°,

・・.BD为。O的直径，

.•・BD=4;

在RSBDE中产2+DE2=HD2=42=16

/.AE-BE^ld.

故选C.

【关键点拨】

本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解

决问题是解题的关键.

7.如图，AB是。O的直径，MN是。O的切线，切点为N,如果NMNB=52。，则NNOA的度数为（）

A.76°B.56°C.54°D.52°

【答案】A

【解析】

〈MN是。。的切线，

：.ONLNM,

;/ONM=90。,

：/ONB=Z.ONM-Z.MNB=90°-52。=38°,

♦：ON=OB,

.・.4B=40NB=38°.

：,LNOA=2LB=76°,

故答窠为：A.

【关键点拨】

考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.

8.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为

1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心0处，刻度尺可以绕点0旋转.从图中所示的图尺可读出

sinNAOB的值是（）

aA.-86B-8C——10D-5

【答案】D

【解析】

如图，连接AD.

.「OD是直径，

.'.ZOAD=90%

,/ZAOB-ZAOD=90°:ZAOD-ZADO=90°,

,'.ZAOB=ZADO,

84

.\smZAOB=sinZADO=105.

故选：D.

【关键点拨】

考杳圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.

9.如图，扇形OAB中，NAOBTOO。,OA-12,C是OB的中点，CD_LOB交于点D，以0C为半径的CE交

A.12K+13^B.12JI+36GC.6n+18^D.6JI+36Ap

【答案】C

【解析】

如图，连接OD,BD,

•・•点C为OB的中点，

11

；.OC=2OB=2OD,

,/CD1OB,

.'.ZCD0300,NDOC=6()n,

「.△BDO为等边三角形，OD=OB=12,OC=CB=6,

:・CD=60,

.°60-7T122

S出形BOD=-----———=24几,

360

S。的=Sz形AOB-S庙杉COE-(SMKBOD-SACOD)

IOO-TT-122IOO-TT-62

247r--x6x

-360360-

故选C.

【关键点拨】

本题考查了扇形的面积计算,解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：s=

■360

10.如图，0M的半径为2,圆心M的坐标为（3,4）,点P是OM上的任意一点，PA1PB,且P4、P8与％轴

分别交于AB两点，若点4、点B关于原点°对称，则力8的最小值为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

连接。尸.

1

'SPA1PB,OA=OB,：.OP^2AB,当。尸最短时，月3最短.

连接。”交。”于点P,则此时。最短，且。》。”一「.g\32+42-2=3,...月3的最小值为20P=6.故

选C.

【关键点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式.解题的关键是利用直角三

角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP.

11.在AABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2-+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论，解决如下问

题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF?+PG2的最小值

为（）

【答案】D

【解析】

设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.

,.,DE=4,四边形DEFG为矩形，

.*.GF=DE,MN=EF,

1

.'.MP=FN=2DE=2,

.'.NP-MN-NIP=EF-MP-1,

.,.PF:-PG2=2PN2-2FN:«2xp-2x22=10.

故选D.

【关键点拨】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三•变形关系，利用三角形三边关系找

出PN的最小值是解题的关键.

12.如图，ZkABC中，NA=30。，点0是边AB上一点，以点O为圆心，以0B为半径作圆，00恰好与

AC相切于点D,连接BD.若BD平分NABC,AD=2/，则线段CD的长是（）

【答案】B

【解析】

连接0D

.二0D是。。的半径，AC是。0的切线，点D是切点，

.\OD1AC

在RIAAOD中，・.,NA=30。，AD=2x3,

.,.OD=OB=2,AO=4,

.\ZODB=ZOBD,又「BD平分/ABC,

.\ZOBD=ZCBD,

.\ZODB=ZCBD,

.•.OD//CB,

ADAO2/4

.0)=01)即7万=2,

/.CD=\3.

故选B.

【关键点拨】

本题考查了圆的切线的性质、含30。角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明

ZC=90°,利用NA=30。，AB=6,先得AC的长，再求CD.遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线.

二、填空题

13.如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点，以CD为直径作00,。。分

捌与AC,BC交于点E,F,过点F作。0的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.

C.

【答案】于

【解析】

如图,

c

在R3ABe中，根据勾股定理得，AB=10,

・••点D是AB中点，

1

/.CD=BD=2AB=5,

连接DF,

.「CD是OO的直径，

.'.ZCFD=90=,

1

.\BF=CF=2BC=4,

,DF=W-*

连接OF,

•/OC=OD,CF=BF,

.'.OF//AB,

.\ZOFOZB,

.「FG是。0的切线，

.'.ZOFG-900,

.'.ZOFC-ZBFG=90\

/.ZBFG+ZB=90°,

AFG1AB,

11

二•SABDF,DFXBF\BDXFG,

DFXBF3X412

・・

•FGf5-=T,

12

故答案为耳.

【关键点拨】

此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式,

判断出FG±AB是解本题的关键.

14.如图，正方形ABCD的边长为2a,E为BC边的中点，〃七的圆心分别在边AB、CD±,这两段

圆弧在正方形内交于点F,则E、F间的距离为

【答案】2a.

【解析】

如图，作DE的中垂线交CD于G,则G为£>£的圆心，同理可得，H为的圆心，

连接EF,GH,交于点0,连接GF,FH,HE,EG,

设GE=GD=x,贝ijCG=2a-x,CE=a,

RIACEG中，（2a-x）

5

解得x=%,

5

...GE=FG=N，

4

5

同理可得，EH=FH=声

・•・四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，

1

G0=2BC=a,

I52；3

・•・RsOEG中，OE=（邛）-。=干,

3

.\EF-a,

3

故答案为：2a.

【关键点拨】

本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分

两圆的公共弦.注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系.

15.如图，AC为G）O的直径，点B在圆上，OD_LAC交。0于点D,连接BD,ZBDO=15°,则NACB=

【解析】

连接DC,

•「AC为。。的直径，OD1AC,

/.ZDOC=90%ZABC=90S

•/OD=OC,

.'.Z0DO45%

VZBDO=I5°,

:.ZBDC=30°,

/.ZA=30°,

/.ZACB=60°,

故答案为：60°.

【关键点拨】

本题考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理的内容是解题的关键.

16.如图，直线PA过半圆的圆心0,交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的

半径为.

pBA

【答案】4

【解析】

设圆半径为r,连接BC、AC、OC,如图,

rPC是切线，

/.ZPCO=90%

.「AB是直径，

.\ZBCA=90°,

?.ZPCB=ZA,

'.,OC=OA,

.\ZA=ZOCA,

.'.ZA=ZPCB,

•・・4=NP,

「.△PCBSAPAC,

PBPC

・PCPA

••>

.'.PC:=PB-PA,

即3?=lx（i-2r）,

解得尸4,

故答案为：4.

【关键点拨】

本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是

解题的关键.

17.如图，半圆的半径0C=2,线段BC与CD是半圆的两条弦，BOCD,延长CD交直径BA的延长线于点E,

若AE=2,则弦BD的长为.

c

EAO3

【答案】严

【解析】

连接OD,AD,

•:BC=CD,BO^DO,

.'.Z1-Z2,Z3-ZDB0,

，N1-N3=N2-ND5。，，NCDONC5。,

•：OC=OB=OD>

:.乙BCO=SCO,

二.CO为等腰ECD的角平分线，

:,COLBD,

〈NS为直径，

・•.乙切3=90°,

，N3-N5=N3-N4=90。，

.'.Z4=Z5,

：.ADCO,

1

•：AE=AO=2t：.AD=^CO=\,

【关键点拨】

本题考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理等，综合性较强，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是

解题的关键.

18.如图1是小明制作的一副弓箭，点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm.沿AD方向

拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点

D时,有AD尸30cm,NBDC尸120°.

(1)图2中，弓臂两端B”G的距离为cm.

【答案】30^/310^-10

【解析】

(1)如图2中，连接BC交DDi于H.

，Di是"百'的圆心，

VADIBiCi,

BiH=CiH=30xsin60°=15©

・・・BIG=3OG

・••弓臂两端BI,Ci的距离为3OW

(2)如图3中,连接B©交DD】于H,连接B2c2交DD：于G.

120^-30

设半图的半径为一则/=1B()>

"20,

.,.AG=GB：=20,GD尸30-20=10,

在IA中，22

RGB：;。GD：=x30-20=10v5

.\DIE>2=10A10.

故答案为30\310\5-10.

【关键点拨】

本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三

角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

19.如图，以AB为直径的。。与CE相切于点C,CE交4B的延长线于点E直径A8=18,ZA=3O°,

弦CO_LA8,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①比=初；

27

②扇形O8C的面积为彳立；

③八OCFSAOEC；

④若点P为线段OA上一动点，则AP・O尸有最大值20.25.

【答案】①③④.

【解析】

•.•弦CD_LAB,AB是直径，

：.BC=BD,所以①正确；

.\ZBOC=2ZA=2X30°=60°>

・.・扇形OBC的面积芈审=三%所以②错误;

•・・。0与CE相切于点C,

/.OC1CE,

.'.Z0CE=90°>

\'ZCOF=ZEOC,ZOFC=ZOCE,

/.△CCF^AOEC,所以③正确；

\\4P'OP=(9-OP)-OP=-(0P-；下弋,

当0P4寸，AP・OP的最大值为+20.25,所以④正确，

故答案为：①③④.

【关键点拨】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定与性质，结合图形以及已知条件，

熟练掌握和灵活运算相关知识是解题的关键.

20.如图，已知NM0N=120°,点A,B分别在0M,0N上，且0A=0B=a,将射线0M绕点0逆时针旋转得到

0*',旋转角为a（0。<a<120°且a工60°），作点A关于直线0M'的友称点C,画直线BC交0M'于

点D,连接AC,AD,有下列结论:

①AD=CD；

②NACD的大小随着a的变化而变化;

③当a=30°时，四边形0ADC为菱形;

©△ACD面积的最大值为Ha?；

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）.

B

D

a

O

【答案】①③④

【解析】

①:A、C关于直线0M对称，

•••0M是AC的垂直平分线，

/.CD=AD,故①正确；

②连接OC,

由①知：0M是AC的垂直平分线，・・.OC=OA,

.\OA=OB=OC,

以。为圆心，以0A为半径作。0,交A0的延长线于E,连接BE,

贝ijA、B、C都在。0上，

'/ZMON=120%

/.ZBOE=60°,

；0B=0E,

「.△OBE是等边三角形，

，NE=60°,

,:A、C、B、E四点共圆,

.,.ZACD=ZE=60°,故②不正确；

③当。=30。时，即NAOD=NCOD=30。，

:.ZAOC=60°,

•••△AOC是等边三角形，

/.ZOAC=60°,OC=OA=AC,

由①得：CD=AD,

/.ZCAD=ZACD=ZCDA=60°,

••.△ACD是等边三角形，

.'.AC=AD=CD,

OC=OA=AD=CD,

，四边形OADC为菱形，故③正确；

@e/CD=AD,NACD=60。，

「.△ACD是等边三角形，

当AC最大时,AACD的面积最大，

rAC是。0的弦，即当AC为直径时最大，此时AJ20A=2a,a=901

「.△面积的最大值是：X〃故④正确，

ACDAC--4X(2)2=\3J,

所以本题结论正确的有：①③④，

故答案为：①@④,

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等,

综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.

21.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形.图2中留

个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M,

49J3

PB=5cm,小正六边形的面积为一^Lcm2,则该圆的半径为cm.

无光圈大小开启示意图

C00

&&・&

，/，•，■，E

图1

【答案】8.

设两个正六边形的中心为O,连接OPQB,过点0作OG_LPM于点G,OH_LAB于点H,如图所示:

很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM7、4而且面积等于小正六边形的面积的；

故三龟形PNN的面积为

.「OG1PM,且0是正六边形的中心，

1

.*.PG=2PM=；

7

.\OG=2,

727、32

在RiZkOPG中，根据勾股定理得：OP、g-PU即3+（；）=OP工

OP=7cm,

设0B为x,

VOH1AB,且0是正六边形的中心，

1®

•.\BH-X,OH=2L_,

1

,』+5-产

222

在RtzXPHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即（挈）+（5.lx）=7;

解得：XI=8,X2=-3（舍）

故该圆的半径为8cm.

故答案为：8.

【关键点拨】本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形

等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力.试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题

化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界;

在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四

边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题.

22.如图，已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点，连接CE,过点B作BG_LCE于点G,

点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为.

【答案】2严2

【解析】

如图：

取点D关于直线AB的对称点D，，以BC中点0为圆心，0B为半径画半圆，

连接0D，交AB于点P,交半圆0于点G,连BG,连CG并延长交AB于点E,

由以上作图可知，BG_LEC于G,

PD-PG=PD,-PG=D'G,

由两点之间线段最矩可知，此时PD-PG最小,

•「Dg,00=6,

/.D,O=^42+62=2\口,

..・D'O2、伍2,

二.PIXPG的最小值为2\也2,

故答案为：2严2

【关键点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强,

能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常，解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的

线段和最短.

23.如图，矩形43co中，BC=4,CD=2,以4。为直径的半圆°与相切于点邑连接3D,则阴影部分的

面积为一.（结果保留外

【答案】H.

【解析】

如图所示，连接0E交8。于点F,

以AD为直径的半圆。与8c相切于点E,

；.0D=2,0ELBC,

：.OE=OD=2,Z.0EC=90°,

在矩形4BCD中,

vZC=90°,ZODC=90°,

・•・四边形0ECD为正方形,

：,CE=OD=2,Z.D0E=90°,

：.BE=BC-CE=2,

：,BE=DO,

■:ADHBC,

:"EBF="）DFNBEF=Z.DOFt

：・4EFB经AOFD,

OHx9yr

・•・阴影部分的面积=5^.力二”上二”.

原形］80

故答案为：兀.

【关键点拨】

本题考查了切线的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、扇形的面积公式

等知识.正确添加辅助线、仔细识图从中得到阴影部分面积的求法是解题的关键.

24.如图，C为半圆内一点，0为圆心，直径AB长为2cm,ZBOC=60°,ZBCO=90°,将△80C绕圆心。

逆时针旋转至△B9U,点U在0A上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2.

AC'0B

n

【答案】4

【解析】

,,,ZB0C=60°,ZBC0=90°>

.,.Z0BC=30°,

.'.OC=-OB=1,BC=V5,

则边BC扫过区域的面积为：眄+lxV3Xi-乜也E-!X、行X1=兀卡.

故答案为：冗.

【关键点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，扇形面积，熟练掌握相关内容是解题的关键.

三、解答题

25.如图，过。0外一点P作。0的切线不切。。于点A,连接P0并延长，与。0交于C、D两点，M是半

圆CD的中点，连接AM交CD于点N,连接AC、CM.

(1)求证:CM2=MN.MA；

(2)若NP=30°,PC=2,求CM的长.

【答案】(1)见解析；(2)CM=2/.

【解析】

(1)；。°中，时点是半圆的中点,

'E=网,

•.“MCVCMN，

CMAM

••・MN=CM，^M2=MN-MA.

(2)连接。4DM,

・♦•PA是00的切线，

••"AO=90°,

又•・・/P=30°,

11

・•・OA=-P0=/PC4-CO),

设。。的半径为r,

•••PC=2,

1

.*.r=-(2+r),

解得：r=2,

又・・・co是直径,

Z.CMD=90°,

-CM=DM,

・・・4CMD是等腰直角三角形，

・••在Rt4cMD中，由勾股定理得。河2+。八〃=。。2,即2cM2=Qr)2=16,

则CM?=8,

•••CM=20

【关键点拨】

本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的•判定和性质

等知识点

26.如图，四边形ABC。中，AB=AD=CD,以AB为直径的0。经过点C,连接AC、。。交于点瓦

(1)证明：OD〃BJ

(2)若tan乙4BC=2,证明：与。。相切；

(3)在(2)条件下，连接8D交00于点尸，连接EF,若BC=1,求EF的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)%

【解析】

(1)连接OC.

在△。4。和△OC。中,

OA=OC

・・AD=CD

•I。。=OD'

:.△OAD9RO8(SSS),

JZADO=ZCDO,

又AO=CO,

DELAC.

•JAB为。。的直径，

・・・NAa=90°，

・•・NACB=90°,即BC_LAC,

：.OD//BCx

AC

(2)VtanZ-45C=/;c=2,

丁・设BGa、贝iJ-4C=2a,

：.AD=AB=^AC^TliC2=\5a.

\'OEIIBC,fiAO-BOf

111

.\0E=2BC=2a,AE=CE=*C=a.

在2UED中,DE=@)2-AH2=2a.

J5aL25125

2222

在△AOO中，AO+AD=(》)+(丑)2=丁2,0D2=(OE+OE)2=(下+2。)=~^a

：.AO2+AL>2=OD2,

，NOAO=90°,

・・・OA与。O相切；

(3)连接AF.

TAB是。。的直径，

.•・NA"J=N/M/J=90°.

,//ADF=/BDA,

：.△AFOSABA。，

DFAD

‘通=两

即DFXOnAD2①.

又・・・/AEO=NOAO=90",ZADE=ZODA,

：.AAED<^AOAD,

.ADDE

：，OD=ADf

即0。・。七=心②,

由①②可得DF'BD=OD'DE,

DFDE

即的=丽•

又「NED尸=Z8D。，

:ZDFs博DO.

\'BC=1,

・5e'5

8=2、ED=2、3D=\；1°、OB=\,

EFDE

''OH=UU，

EF2

即忑=9，

解得：EF=、

【关键点拨】

本题主要考查圆的综合知识.解题的关键是在圆中综合运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识进行推理证明.

27.已知四边形ABCD是。。的内接四边形，AC是。。的直径，DEXAB,垂足为E.

(1)延长DE交。O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证：PC=PB；

(2)过点B作BG_LAD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧，如图2.若AB=J3,

【答案】(1)详见解析；(2)ZBDE=20°.

【解析】

(1)如图1,〈AC是。0的直径,

.\ZABC=90°,

•/DE1AB,

.\ZDEA=90%

.\ZDEA=ZABC,

，BC7DF,

，NF=NPBC,

,・•四边形BCDF是圆内接四边形，

.\ZF-ZDCB=180°,

,.•ZPCB-ZDCB=180°,

・,.NF=NPCB,

/.ZPBC=ZPCB,

・・.PC=PB；

(2)如图2,连接OD,

〈AC是(DO的直径,

ZADC=90°,

VBG1AD,

・•・ZAGB=90°,

AZADC=ZAGB,

・・.BG〃DC,

VBC/7DE,

・•・四边形DHBC是平行四边形,

ABC=DH=1,

在R必ABC中，AB=>/3，lan/ACB=罂=^,

BC

/.ZACB=60°,

ABC=4-AC=OD,

2

ADH=OD,

在等腰△DOH中，ZDOH=ZOHD=80°,

・•・ZODH=20°,

设DE交AC于N,

VBC.yDE,

/.ZONH=ZACB=60°,

/.ZNOH=I80°-(ZONH+ZOHD)=40°,

/.ZDOC=ZDOH-ZNOH=40°,

VOA=OD,

JZOAD=4-ZDOC=20°,

2

:.ZCBD=ZOAD=20°,

VBC7DE,

.\ZBDE=ZCBD=20°.

【关键点拨】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，

解决第(2)问，作出辅助线，求得NODH=20。是解决本题的关键.

28.如图，^ABC内接于00,BD为。0的直径，BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于

点E,且NA;NEBC.

(1)求证：BE是00的切线;

(2)已知CG〃EB,且CG与BD、BA分别用交于点F、G,若BG・BA=48,FG=/,DF=2BF,求AH的值.

【答案】(1)证明见解析；(2〉翠.

【解析】

(D连接CD,

.「BD是直径，

...NBCD=90*,SPZI>-ZCBD=9O=,

•/ZA=ZD,ZA=ZEBC,

.*.ZCBI>ZEBC=90!>,

/.BE1BD,

二.BE是。O切线.

(2)VCG/7EB,

/.ZBCG=ZEBC,

.*.ZA=ZBCG,

VNCBG=・NABC

/.△ABC^ACBG,

BCAB9

/.前=阮，即BC=BG・BA=48,

.•・BC=4向

•••CG〃EB,

ACF1BD,

.•.i3C2=BF*BD,

VDF=2BF,

，BF=4,

在RTABCF中，CF=J8c2_FB2=4F，

/.CG=CF+FG=5^,

在RTABFG中，BG幻BF2+"2=3/,

VBG*BA=48,

/.BA=8A/2,即AG=50,

ACG=AG,

AZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°.

/.ZCHF=ZCBF,ACH=CB=4A/3,

VAABC^ACBG,

.ACBC

♦•否二宿

CB-CG20、/3

证明切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来证明直角.并且构造直径所对的圆

周角是常见找直角的方法.灵活运用圆周角定理找等角及相似三角形.

29.如图，AB为。。的直径，C为0。上一点，D为BA延长线上一点，〃CD=々B.

(1)求证：DC为。°的切线；

3

(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F且乙CEF=45°,。。的半径为5,sinB=引求CF的长.

C

【解析】

(1)如图，连接0C,

c

•・・AB为0。的直径，

AZACB=Z.BCO+Z.OCA=90°,

vOB=OC,

AZB=ZBCO,

vZACD=ZB,

.**ZACD=zBCO,

--.ZACD+ZOCA=90°,BPzOCD=90°,

・•・DC为QO的切线；

3AC

（2）RIAACB中，AB=10,sinB=5=AH，

:，AC=6BC=8

・.ZACD=，B,〃DC="DB,

：•△CADs△BCD,

ACAD63

BC=CD=8=4'

设AD=3x,CD=4x,

RIAOCD中，OC2+CD2=OD2,

52+（4x/=（5+3x）2,

30

x=0（舍）或不，

•••Z.CEF=45°,ZACB=9O°,

ACE=CF,

设CF=a,

vzCEF=zACD+zCDE,

Z.CFE=zB4-zBDF,

.**ZCDE=ZBDF,

•・,zACD=ZB,

CEDco△BFD,

CEBF

CD=BD*

a8-a

-30=30,

4x—IO+3X7

【关键点拨】

本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等，正确添加辅助线、

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

30.如图，在RtZXABC中，4c=90。，4。平分N84C,交于点。，点0在AB上，。。经过A、。两

点，交AC于点E,交AB于点F.

（1）求证：是。。的切线：

（2）若。。的半径是2cm,E是弧AQ的中点，求阴影部分的面积（结果保留n和根号）

DC

27r

【答案】（1）证明见解析⑵3-w

【解析】

）连接0D.

BDC

\'OA=OD,：.ZOAD=ZODA.

■:/OAD=乙DAC,：ZODA="AC,：.ODHAC,：、/ODBSG。,.•.GD_L3C,「・3C是QO的切线.

(2)连接0MOE交AD于K.

=,\OE1AD.

'：ZOAK=ZEAK,AK=AK,乙4如乙次=90。,：4檄迎4处,：.40=AE=0E,「.ZU支是等边三

_,60nr22、，3、2n

角形,，44OE=60>：,S；；=S三号CUE-SLOE=-----x2"=-W・

3604，

【关键点拨】

本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

31.如图，AB为。。的直径，且AB=4,点C在半圆上，OC_LAB,垂足为点O,P为半圆上任意一点，过

P点作PE_LOC于点E,设AOPE的内心为M,连接OM、PM.

(1)求NOMP的度数；

(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长.

【答案】(1)ZPMO=135°；(2)内心M所经过的路径长为久向cm.

【解析】

(1),••△OPE的内心为M,

/.ZMOP=ZMOC,ZMPO=ZMPE,

1

:.ZPMO=180°-ZMPO-ZMOP=180°-工(ZEOP+ZOPE),

VPE1OC,即NPEO=90。,

11

/.ZPMO=180°-(ZEOP+ZOPE)=180°-々(180。-90°)=135°；

(2)如图，\-OP=OC,OM=OM,

ffnZMOP=ZMOC,

.•.△OPX^AOCNb

.\ZCMO=ZPMO=135%

所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135。的两段劣孤上(弧守和正范力

点M在扇形BOC内时，

过C、M、O三点作连OC,00,

在优弧CO取点D,连DA,DO,

•?ZCMO=135O,

.'.ZCDO=1800-135e=45°,

「.NCO9-90。，而OATan,

12J7

・・・0,0丫00'x4=23

、,90TTX2J2r

・•・孤OMC的长N180=\2兀(cm)，

同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，孤ONC的长为\27Tcm,

所以内心M所经过的路径长为2'、，2后2、2兀皿

【关键点拨】本题考查了弧长的计算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和

圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹.

32.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD,以AB为直径的。0经过点C,连接AC,OD交于点E.

(1)证明：OD〃BC：

(2)若tanNABC=2,证明：DA与。0相切；

(3)在(2)条件下，连接BD交于00于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.

J2

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）%

【解析】

<1)如图，连接0C,

在AOAD和△OCD中,

OA-OC

AD=CD

\()D=OD'

/.AOAD^AOCD(SSS),

.*.ZADO=ZCDO,

又AD=CD,

.'.DE1AC,

,「AB为00的直径，

.'.ZACB-90%

・・.NACB=901即BC1AC,

.0.OD//BC;

AC

(2)VtanZABC=^=2,

.••设BC=a、则AC=2a,

JAD二AB二版2+BC2=4,

V0E/7BC,且AO=BO,

111

OE=2BC=2a,AE=CE=]AC=a,

在AAED中，DE=^4DZ-/lE2=2a,

J5a=25

在aAOD中，AO2+AD2=(2L_)2+(曰)2=-^-a2,

125

OD2=(OF+DF)2=(^a+2a)2=-^2,

.-.AO2+AD2=OD2,

，ZOAD=90°,

则DA与0O相切：

(3)如图，连接AF,

TAB是。0的直径，

/.ZAFD=ZBAD=90°,

VZADF=ZBDA,

AAAFD^ABAD,

DFAD

即DF・BD=AD?①，

又・・・/AED=NOAD=90。，ZADE=ZODA,

AAAED^AOAD,

ADDE

•••加=而，即OD・DE=AU②，

DFDE

由①©可得DF・BD=OD・DE,即前=前，

又「/EDF二NBDO,

AAEDF^ABDO,

.EFDE

••丽=前’

VBC=1,

，AB二AD二百OD—.ED=2、BD=W、OB=g,

EF2

迂⑪

~2

【关键点拨】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解

题的关键.

33.如图，AB是。O的直径，点E为线段OB上一点(不与0,B重合)，作EC_LOB,交OO于点C,作

直径CD.过点C的切线交DB的延长线于点P.作AF_LPC于点F,连接CB.

(1)求证：AC平分NFAB：

(2)求证：BC2=CE・CP；

CF3

⑶当AB=4次Sy,时，求劣弧品的长度.

【答案】（1）讦,明见解析•：（2）讦明见解析：（3）望兀

【解析】

（1）心是直径,

/.ZACB=90%

,\ZBCP-ZACF=90%ZACE-ZBCE=90S

•/ZBCP=ZBCE,

；.ZACF=ZACE,

'/ZAFC=90%ZAEO90S

.\ZFAC=ZEAC,

即AC平分NFABJ

（2）VOC=OB,

.\ZOCB=ZOBC,

・・・PF是。O的切线，CE1AB,

:.ZOCP=ZCEB=90°,

AZPCB+ZOCB=90°,ZBCE+ZOBC=90°,

•••NBCE=NBCP,

：CD是直径，

.•.ZCBD=ZCBP=90°,

AACBE^ACPB,

CBCE

•••碇二旗’

/.BC2=CE<P；

(3)如图，作BM1PF于M.贝i]CE=C\I=CF,

设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,

\*ZMCB-ZP=90e,ZP-ZPBM=903,

...NMCB=NPBM,

•「CD是直径，BM1PC,

/.ZCMB=ZBMP=90S

HMCM

•・PM=BM，

.'.BNF=CM-PM=3a2,

BM、/3

・・・tan/BCM=的=丁

・•・ZBCM=30°,

ZOCB=ZOBC=ZBOC=60°,ZBOD=120°,

120X7TX204J3

’8。的长=-180—二廿

【关键点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等，

综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与性质定理是解题

的关键.

34.己知。O的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且OD_LAC,垂足为点F.

D

DC

E.

EX

AOsAOAOB

图1图2备用图

(1)如图1,如果AC=BD,求弦AC的长；

(2)如图2,如果E为弦BD的中点，求NABD的余切值；

(3)联结BC、CD、DA,如果BC是。O的内接正n边形的一边，CD是。O的内接正(n+4)边形的一边,

求ZkACD的面积.

、/2-1

【答案】(1)AC43；(2)cotZABD=^/2；(3)SAACL%—.

【解析】

(1)VOD±AC,

,AD+CO，ZAFO=90°,

XVAC=BD,

••・ACBD，即AQ+CQCQBC，

:•AD=BC，

:・ADOBC，

:.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,

VAB=2,

.'.AO=BO=1,

:.AF=AOsinZAOF=1x绘乖］w,

则AC=2AF=W；

(2)如图1,连接BC,

••.AB为直径，0D1AC,

/.ZAFO=ZC=OOS

.\OD//BC,

.\ZD=ZEBC,

'/DE=BExZDEF=ZBEC,

/.△DEF^ABEC(ASA),

，BC=DF、EC=EF,

X*.*AO=OB,

，OF是aABC的中位线，

设OF=l,则BC=DF=2l,

VDF=DO-OF=1-t,

Al-t=2t,

解得:tg,

11J2