2025年华东师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华东师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、数列中，若则该数列的通项（）A.B.C.D.2、在椭圆+=1内有一点P（1；-1），F为椭圆左焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）

A.

B.3

C.4

D.5

3、如图，长方形的四个顶点为曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A.B.C.D.4、【题文】在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为()A.79B.69C.5D.-55、【题文】一组数据的平均数和方差分别为和将这组数据中的每个数据都乘以3，所得到的一组新数据的平均数和方差分别为（）A.B.C.D.6、【题文】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A.B.C.D.7、【题文】等差数列中，则该数列前9项的和等于A.45B.36C.27D.188、在鈻�ABC

中，若b2+c2鈭�a2=bc

则A=(

)

A.90鈭�

B.150鈭�

C.135鈭�

D.60鈭�

9、若复数z=a+i

的实部与虚部相等，则实数a=(

)

A.鈭�1

B.1

C.鈭�2

D.2

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知直线过点A（2，3），斜率为-则此直线的方程____．11、若函数f（x）=x3-x2ax+4恰在[-1，4]上单调递减，则实数a的值为____．12、【题文】___________；13、【题文】在中，且则的面积等于____．14、【题文】（1）若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是__________

（2）若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是__________15、某公司欲将一批新鲜的蔬菜用汽车从A地运往相距125公里的B地，运费为每小时30元，装卸费为1000元，蔬菜在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（公里/小时）的2倍，为使运输的总费用不超过1200元，汽车的最高速度为每小时______公里．16、某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系；随机统计了某4天的用电量与当天气温．

。气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据得线性方程=+x中=-2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为______．17、如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB=8，MC=2，则CD=______．18、甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a

再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b

且ab隆脢{0,1,2,,9}.

若|a鈭�b|=1

则称甲乙“心有灵犀”.

现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)25、（本小题满分12分）一动圆和直线相切，并且经过点（I）求动圆的圆心的轨迹C的方程；（II）若过点P（2，0）且斜率为的直线交曲线C于MN两点．求证：OM⊥ON．26、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．27、【题文】

三；解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

17.(本小题满分10分）

已知复数若

⑴求

⑵求实数的值28、如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．

（Ⅰ）证明：A1C⊥平面BED；

（Ⅱ）求二面角A1-DE-B的大小．评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)29、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．30、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).31、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式评卷人得分六、综合题(共1题，共2分)32、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：法一：（排除法）由及递推关系，可求得将分别代入选项可排除A,B,D,故选C.法二：（构造法）设是首项为-2，公比为2的等比数列，所以考点：数列的递推公式.【解析】【答案】C2、D【分析】

由题意，可得c==1

∴F（1，0），椭圆的离心率为：e=

由椭圆的第二定义；可知2|MF|=|MN|；

如图所示；|MP|+2|MF|的最小值；

就是由P作PN垂直于椭圆的准线于N；|PN|的长；

∵椭圆的左准线方程为x=-

所以|MP|+2|MF|的最小值为：4+1=5

故选：D

【解析】【答案】根据题意；求出椭圆的离心率；焦点坐标和左准线方程，通过椭圆的第二定义将|MP|+2|MF|化简，结合平面几何的性质，即可求出|MP|+2|MF|的最小值．

3、D【分析】【解析】试题分析：由图可知阴影部分的面积为矩形面积为8，所以质点落在图中阴影区域的概率是考点：微积分基本定理与几何概型概率【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．

试题分析：由余弦定理知根据向量数量积的定义知．

考点：余弦定理和向量的数量积【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B8、D【分析】解：因为在鈻�ABC

中，若b2+c2鈭�a2=bc

结合余弦定理可知，cosA=12

所以A=60鈭�

．

故选D．

直接利用余弦定理；求出cosA

求出A

的值．

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．【解析】D

9、B【分析】解：z

的实部a

虚部是1

若实部与虚部相等；

则a=1

故选：B

．

根据复数的定义求出a

的值即可．

本题考查了复数的实部与虚部的定义，是一道基础题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

∵直线过点A（2，3），斜率为-

∴直线的点斜式方程为y-3=-（x-2）；

化简整理；可得x+3y-1=0，即为所求直线的方程。

故答案为：x+3y-1=0

【解析】【答案】由直线方程的点斜式列式；再化简整理为一般形式，即得所求直线的方程．

11、略

【分析】

先求出f′（x）=x2-3x+a；

∵函数恰在[-1，4]上递减；

∴不等式f′（x）≤0的解集恰好是[-1；4]；

也就是说：方程x2-3x+a=0的根是x1=-1，x2=4

用一元二次方程根与系数的关系，得：

所以a=-4

故答案为：-4

【解析】【答案】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′（x）=x2-3x+a，函数恰在[-1，4]上递减，说明f′（x）≤0的解集恰好是[-1，4]，最后利用一元二次方程根与系数的关系，可得出实数a的取值范围．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：

考点：求三角函数值．【解析】【答案】．13、略

【分析】【解析】

试题分析：在中，且根据余弦定理可得：代入数据计算可得或根据三角形的面积公式可以求得的面积等于或

考点：本小题主要考查三角形中正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用；考查学生转化问题的能力和运算求解能力.

点评：正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广泛，具体用哪个公式，要根据题目灵活选择.【解析】【答案】或14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

15、略

【分析】解：设汽车的速度为x公里/小时，则

∴（x-25）（x-75）≤0；

∴25≤x≤75；

∴汽车的最高速度为每小时75公里．

故答案为：75．

设汽车的速度为x公里/小时，则求出x的范围，即可得出结论．

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．【解析】7516、略

【分析】解：由表格得=（14+12+8+6）÷4=10，=（22+26+34+38）÷4=30

即样本中心点的坐标为：（10；40）；

又∵样本中心点（10，40）在回归方程上且b=-2

∴30=10×（-2）+a；

解得：a=50；

∴

当x=5时；y=-2×（5）+50=40．

故答案为：40．

根据所给的表格做出本组数据的样本中心点；根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．

本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解．【解析】4017、略

【分析】解：由已知得MA=PA=PB=4；

∵MA是切线；MCD是割线；

∴MA2=MC•MD；

∵MC=2；

∴16=2×（2+CD）；

解得CD=6．

故答案为：6

由切割线定理，得MA2=MC•MD；结合已知中PB=8，MC=2，可得CD的值．

本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用【解析】618、略

【分析】解：由题意知本题是一个古典概型；

试验发生的所有事件是从0123456789

十个数中任取两个共有10隆脕10

种不同的结果；

则|a鈭�b|=1

的情况有：0110122123323443

45545665677678878998

共18

种情况；

甲乙出现的结果共有10隆脕10=100

隆脿

他们”心有灵犀”的概率为P=950

故答案为：950

．

由题意知本题是一个古典概型.

试验发生的所有事件是从0123456789

十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10隆脕10

种不同的结果，而满足条件的|a鈭�b|=1

的情况通过列举得到共18

种情况；代入公式得到结果．

本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式.

在列举时，满足条件的事件容易漏掉，同学们做题时要按照一定的顺序比如从大到小来列举．【解析】950

三、作图题(共6题，共12分)19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)25、略

【分析】

（I）到F的距离等于到定直线的距离，2分根据抛物线的定义可知：的轨迹就是以F为焦点，为准线的抛物线，3分其中得为所求.6分（II）证明：过点P（2，0）且斜率为的直线的方程为①7分代入消去y可得②8分由韦达定理得由9分=∴12分（用斜率之积=－1证OM⊥ON亦可．）【解析】略【解析】【答案】26、略

【分析】本题考查线面平行，线面垂直，线线垂直，考查点到面的距离，解题的关键是掌握线面平行，线面垂直的判定方法，利用等体积转化求点面距离（1）利用线面垂直证明线线垂直，即证BC⊥平面PCD；（2）利用等体积转化求点A到平面PBC的距离．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵PC平面PCD，故PC⊥BC．4分(2)【解析】

(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE，DF，则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面PBC于F．易知DF＝故点A到平面PBC的距离等于．--12分(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥P-ABC的体积V＝S△ABC·PD＝．∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．∵VA-PBC＝VP-ABC，∴S△PBC·h＝V＝得h＝．故点A到平面PBC的距离等于．12分【解析】【答案】(1)证明：见解析；(2)点A到平面PBC的距离等于．27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（1）.4分。

（2）把Z=1+i代入即

得

所以

解得

所以实数b的值分别为-3，410分28、略

【分析】

法一：（Ⅰ）要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD；EF都垂直；

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角，然后解三角形，求二面角A1-DE-B的大小．

法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出证明A1C⊥平面DBE．

（Ⅱ）求出平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1-DE-B的大小．

本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．【解析】解：解法一：

依题设知AB=2；CE=1．

（Ⅰ）连接AC交BD于点F；则BD⊥AC．

由三垂线定理知，BD⊥A1C．（3分）

在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G；

由于

故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．

于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD；EF都垂直；

所以A1C⊥平面BED．（6分）

（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE；

故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角．（8分）

．．

又．．

所以二面角A1-DE-B的大小为．（（12分））

解法二：

以D为坐标原点；射线DA为x轴的正半轴；

建立如图所示直角坐标系D-xyz．

依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A1（2；0，4）．

．（3分）

（Ⅰ）因为

故A1C⊥BD，A1C⊥DE．

又DB∩DE=D；

所以A1C⊥平面DBE．（6分）

（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA1E的法向量，则．

故2y+z=0；2x+4z=0．

令y=1，则z=-2，x=4，=（4，1，-2）．（9分）等于二面角A1-DE-B的平面角，

所以二面角A1-DE-B的大小为．（12分）五、计算题(共3题，共18分)29、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．30、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋