1.4 角平分线第1课时（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步课堂（北师大版）

北师大版数学八年级下册第1课时第一章三角形的证明4角平分线学习目标1.证明并掌握角平分线的性质定理及判定定理;（重点）2.能利用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．复习回顾角平分线的定义OBA从一个角的顶点出发的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线.几何语言:C

一、创设情境，引入新知还记得角平分线上的点有什么性质吗?角平分线上的点到这个角两边的距离相等.你能证明这一结论吗？PAOBCDE已知：如图，OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,求证：PD=PE.PAOBCDE12二、自主合作，探究新知探究一：角平分线的性质∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO

≌△PEO(AAS).∴PD=PE.证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2二、自主合作，探究新知性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.定理的作用：

证明线段相等.应用格式：∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.∵OP

是∠AOB的平分线，PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC知识要点二、自主合作，探究新知跟踪练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若AC=3cm，则AE+DE=

.3cm2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，BE=5，BC=4，则点E到AB的距离是

.3cm例1：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分别为E，F.求证：AB=AC.ABCDEF二、自主合作，探究新知证明:∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL).∴

∠B=∠C.∴AB=AC.典型例题二、自主合作，探究新知探究二：角平分线的判定PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．想一想：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.思考：这个结论正确吗？逆命题已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.BADOPE二、自主合作，探究新知证明：作射线OP，∴点P在∠AOB

角的平分线上.∵PD⊥OA,PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在Rt△PDO和Rt△PEO

中，

OP=OP（公共边），PD=PE（已知），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.二、自主合作，探究新知知识要点判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.PAOBCDE应用条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.例2：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.二、自主合作，探究新知典型例题

2.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，若DA=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE的度数为(

)A.30°B.40°C.50°D.60°三、即学即练，应用知识1.如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()A.PC＝PD

B.∠CPO＝∠DOP

C.∠CPO＝∠DPO

D.OC＝ODBA4.如图，∠AOB=60°，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则∠1=_________.3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC的长为_________.三、即学即练，应用知识30°35.如图所示，在△ABC中，AD为其角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是9cm2，AB=5cm，AC=4cm，求DE的长.三、即学即练，应用知识

6.已知:如图所示，P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.三、即学即练，应用知识证明:

∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDF=∠PEG=90°.在Rt△PFD和Rt△PGE中,∵PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴PD=PE.∵P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,∴OC是∠AOB的平分线.四、课堂小结一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等过角平分线上一点向两边作垂线段角平分线性质定理辅助线添加判定定理在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

1.如图所示，P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接CD交OP于点E，下列结论不一定正确的是 (

)A.PC=PDB.OC=ODC.OP垂直平分CDD.OE=CD五、当堂达标检测DC3.如图所示，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，若DA=5cm，DE=5cm，∠ACD=30°，则∠DCE的度数为

.五、当堂达标检测30°4.如图所示，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点.若PH=5，则PQ长的最小值为

.5五、当堂达标检测5.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证:AM⊥DM;解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°.∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.五、当堂达标检测(2)若BC=8，求点M到AD