2024-2025学年高考数学考点第五章三角函数解三角形解三角形理

PAGEPAGE1解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ概念方法微思索1．若角α，β在第一象限，α>β能否推出sinα>sinβ？在△ABC中，A>B是否可推出sinA>sinB?提示第一象限的角α>β不能推出sinα>sinβ.在△ABC中，由A>B可推出sinA>sinB.2．在△ABC中，已知a，b和锐角A，探讨a，b，sinA满意什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．提示图形关系式a<bsinAbsinA<a<ba＝bsinA或a≥b解的个数无解两解一解1．（2024•新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理可得；故；，故选．2．（2024•新课标Ⅲ）在中，，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，可得，，则．故选．3．（2024•新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的内角，，的对边分别为，，，，，，解得，．故选．4．（2024•新课标Ⅱ）在中，，，，则A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，，，，则．故选．5．（2024•新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则A． B． C． D．【答案】C【解析】的内角，，的对边分别为，，．的面积为，，，，．故选．6．（2024•山东）在中，角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，且满意，则下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，角，，的对边分别为，，，满意，可得：，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理可得：．故选．7．（2024•浙江）在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．【答案】，【解析】在直角三角形中，，，，，在中，可得，可得；，，即有，故答案为：，．8．（2024•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为___________．【答案】【解析】由余弦定理有，，，，，，，故答案为：．9．（2024•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，，，可得：，可得：，，．故答案为：．10．（2024•上海）在中，，，且，则___________．【答案】【解析】，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．11．（2024•江苏）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故答案为：9．12．（2024•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则___________，___________．【答案】，3【解析】在中，角，，所对的边分别为，，．，，，由正弦定理得：，即，解得．由余弦定理得：，解得或（舍，，．故答案为：，3．13．（2024•新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为___________．【答案】【解析】的内角，，的对边分别为，，．，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，则由于，则：，①当时，，解得，所以．②当时，，解得（不合题意），舍去．故：．故答案为：．14．（2024•北京）若的面积为，且为钝角，则___________；的取值范围是___________．【答案】；【解析】的面积为，可得：，，可得：，所以，为钝角，，，，．．故答案为：；．15．（2024•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理以及，，，则，，；（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；（Ⅲ）由，及，可得，则，，．16．（2024•北京）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）和的面积．条件①：，；条件②：，．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得，即，，，，即，联立，解得，，故．（Ⅱ）在中，，，由正弦定理可得，，．选择条件②（Ⅰ）在中，，，，，，，，由正弦定理可得，，，，，故；（Ⅱ）在中，，，17．（2024•新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知．（1）若，，求的面积；（2）若，求．【解析】（1）中，，，，，（负值舍去），，．（2），即，化简得，，，，，．18．（2024•山东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，_______？注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】①．中，，即，，，，，，．②．中，，．，即，．，．③．，即，又，，与已知条件相冲突，所以问题中的三角形不存在．19．（2024•江苏）在中，角、、的对边分别为、、．已知，，．（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值．【解析】（1）因为，，．，由余弦定理可得：，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因为，所以，在三角形中，易知为锐角，由（1）可得，所以在三角形中，，因为，所以，所以．20．（2024•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，证明：是直角三角形．【解析】（1），，解得，，；（2）证明：，，由正弦定理可得，，，，，，可得，可得是直角三角形，得证．21．（2024•浙江）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的取值范围．【解析】（Ⅰ），，，，为锐角三角形，，（Ⅱ）为锐角三角形，，，，为锐角三角形，，，解得，，，，的取值范围为，．22．（2024•上海）如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，，，．（1）求的长度；（2）若，求到海岸线的最短距离．（精确到【解析】（1）由题意可得，，弧所在的圆的半径，弧的长度为；（2）依据正弦定理可得，，，，，到海岸线的最短距离为23．（2024•新课标Ⅲ）的内角、、的对边分别为，，．已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．【解析】（1），即为，可得，，，若，可得，不成立，，由，可得；（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且，且，解得，可得面积，．24．（2024•天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在三角形中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得，，由余弦定理可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，从而，，故．25．（2024•北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ），，．由余弦定理，得，，；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，，，，为锐角，，．26．（2024•江苏）在中，角，，的对边分别为，，．（1）若，，，求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）在中，角，，的对边分别为，，．，，，由余弦定理得：，解得．（2），由正弦定理得：，，，，，．27．（2024•北京）在中，，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（1），，．由余弦定理，得，，；（2）在中，，，由正弦定理有：，，．28．（2024•新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．．，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．29．（2024•全国）在中，角、、对应边、、，外接圆半径为1，已知．（1）证明；（2）求角和边．【解析】（1）在中，角、、对应边、、，外接圆半径为1，由正弦定理得：，，，，，，化简，得：，故．解：（2），，解得，．30．（2024•天津）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）设，，求和的值．【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，又．，即，，又，．（Ⅱ）在中，，，，由余弦定理得，由，得，，，，，．31．（2024•北京）在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求边上的高．【解析】（Ⅰ），，即是锐角，，，由正弦定理得得，则．（Ⅱ）由余弦定理得，即，即，得，得或（舍，则边上的高．32．（2024•新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【解析】（1），，，．由正弦定理得：，即，，，，．（2），，，．1．（2024•武昌区校级模拟）珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压始终在进行，珠穆朗玛峰的高度也始终在改变．由于地势险峻，气候恶劣，通常采纳人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采纳了分段测量的方法，从山脚起先，直到到达山顶，再把全部的高度差累加，就会得到珠峰的高度年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员起先新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知直立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处测得到觇标底点和顶点的仰角分别为，，则、的高度差约为A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【答案】C【解析】依据题意画出如图的模型，则，，，所以，，所以，所以在中，（米．故选．2．（2024•庐阳区校级模拟）如图，为测得河对岸铁塔的高，先在河岸上选一点，使在铁塔底的正东方向上，测得点的仰角为，再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则铁塔的高为A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，．，解得．在中，．故选．3．（2024•平阳县模拟）在中，，点在线段上，且满意，则的最小值为A．0 B． C． D．【答案】D【解析】如图：令，且．所以，．，易知．可得，，，当且仅当时取等号．所以，．又因为在上单调递增，在单调递减，可知．故选．4．（2024•焦作四模）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为4，是方程的一个根，则的最小值为A． B． C．3 D．【答案】D【解析】由得或．因为，所以，所以．由余弦定理得（当且仅当时，等号成立）．因为的面积为4，所以，所以，所以，所以的最小值为．故选．5．（2024•长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边，两处的距离，一无人机在空中点处测得，的俯角分别为，，此时无人机的高度为，则的距离为A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，由题意作，可得，，，则，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故选．6．（2024•邯郸二模）如图，在中，．是边上的高，若，则的面积为A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】．故选．7．（2024•武昌区模拟）一艘海轮从处动身，以每小时24海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处视察灯塔，其方向是南偏东，在处视察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是A．6海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【解析】由题意可知：．，，．又．在中，由正弦定理得，即，．故选．8．（2024•山东模拟）泉城广场上耸立着的“泉标”，成为泉城济南的标记和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为A． B． C． D．【答案】A【解析】依据题意，画出图形为：所以，，，设，所以，，在中，利用余弦定理的应用，，解得．故选．9．（2024•开封三模）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则___________，的面积为___________．【答案】，【解析】由正弦定理得．将代入上式得：，故．所以．故答案为：，．10．（2024•昆明一模）在中，，，，在线段上，若与的面积之比为，则___________．【答案】1【解析】因为与的面积之比为，故；故；；；故答案为：1．11．（2024•贵州模拟）如图所示，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走146.4米到达，在测得山顶的仰角为，则山高___________米．，，结果保留小数点后1位）【答案】282.8【解析】，．，在中，由正弦定理得，即，（米．故答案为：282.8．12．（2024•香坊区校级二模）在中，、、所对的边分别为、、，且满意，，则___________；若，则的面积___________．【答案】1；【解析】依题意及正弦定理得，且，因此，，当时，，．又，因此，，则的面积．故答案为：1；．13．（2024•海南模拟）设的内角，，所对的边分别为，，．，分别为方程的两根．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ）方程可化为，解得，；因为，，所以，，所以，；因为，所以．（结果写成也对）（Ⅱ）由正弦定理，所以，所以的面积为．（结果写成也对）14．（2024•北京模拟）已知，，，分别为内角，，，的对边，若同时满意下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（Ⅰ）满意有解三角形的序号组合有哪些？（Ⅱ）在（Ⅰ）全部组合中任选一组，并求对应的面积．【解析】由①可得，，由②可得，解可得，（舍或，由为三角形的内角可得，①②不能同时成立，所以满意有解三角形的序号组合有①③④或②③④，（Ⅱ）选择①③④，由余弦定理可得，，所以，即，解可得，，，选②③④，由余弦定理可得，，，解可得，，．15．（2024•大兴区一模）在中，，，且的面积为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为上一点，且______，求的值．从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．【解析】（Ⅰ）由于，，，解得；由余弦定理得，解得；（Ⅱ）若选①，则当时，在中，由正弦定理，即，所以；因为，所以；所以，即．若选②，则当时，在中，由余弦定理知，．因为，所以，所以，所以，即．16．（2024•杨浦区二模）已知三角形中，三个内角、、的对应边分别为，，，且，．（1）若，求；（2）设点是边的中点，若，求三角形的面积．【解析】（1）中，，，，由余弦定理得，，即，整理得，解得或（不合题意，舍去），所以；（2）如图所示，点是边的中点，，，所以，即，解得，所以，的面积．故答案为：．17．（2024•福州模拟）的内角，，的对边分别为，，，设．（1）求；（2）若的面积等于，求的周长的最小值．【解析】（1）因为．由正弦定理得．明显，所以．所以，．所以，．（2）依题意，．所以时取等号．又由余弦定理得．．当且仅当时取等号．所以的周长最小值为．18．（2024•绍兴一模）在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ），；；所以：．（三角形内角）（Ⅱ）因为；（负值舍）；．19．（2024•中卫三模）设的内角，，的对边分别为，，，已知，且．（1）求角的大小；（2）若向量与共线，求的周长．【解析】（1），，，，，，又为的内角，；（2）向量与共线，，由正弦定理可知，，由（1）结合余弦定理可知，，即，，的周长为．20．（2024•丹东一模）已知同时满意下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求的面积．【解析】（Ⅰ）同时满意①，③，④．理由如下：若同时满意①，②．因为，且，所以．所以，冲突．所以只能同时满意③，④．因为，所以，故不满意②．故满意①，③，④．（Ⅱ）解：因为，所以．解得，或（舍．所以的面积．21．（2024•北辰区模拟）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得：，又，，，，解得；（Ⅱ）由，所以，由正弦定理得：，得，又，所以，所以，，所以，故答案为：．22．（2024•江苏模拟）在中，角、、的对边分别为、、．已知向量，，且．（1）求的值；（2）若，求的面积．【解析】（1）法一：由可得依据正弦定理可得，（法二）：由可得依据余弦定理可得，整理可得，（2）由（1）可知，的面积23．（2024•南通模拟）在中，角，，所对应的边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积．【解析】（Ⅰ），由正弦定理，得