2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义1.4.2单位圆与周期性学案含解析北师大版必修4

PAGE§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4．1单位圆与随意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学问点一正弦函数、余弦函数的定义[填一填]1．单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．2．随意角的正弦函数、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆，对于随意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sinα；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cosα.通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了随意角的三角函数y＝sinx和y＝cosx，它们的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限其次象限第三象限第四象限sinα＋＋－－cosα＋－－＋[答一答]1．怎样理解正弦函数、余弦函数的定义？提示：(1)定义中，α是一个随意角，同时它也是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，事实上给出了两个对应关系，即实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的．学问点二单位圆与周期性[填一填]4．(1)终边相同的角的正、余弦函数sin(2kπ＋x)＝sinx，k∈Z.cos(2kπ＋x)＝cosx，k∈Z.(2)周期函数与周期一般地，对于函数f(x)，假如存在非零实数T，对定义域内的随意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期．(3)最小正周期对于一个周期函数f(x)，假如在它的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作它的最小正周期．[答一答]2．怎样理解周期函数的概念？提示：(1)周期是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满意f(x＋T)＝f(x)或不满意都不能说T是f(x)的周期．(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f[2(x＋eq\f(T,2))]＝f(2x)，则eq\f(T,2)是f(2x)的周期．(3)对于周期函数来说，假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特殊指明，一般都是指它的最小正周期．(4)并不是全部周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是随意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．(5)周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N＋)肯定也是周期．(6)在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT(k∈Z，且k≠0)也肯定属于定义域，因此周期函数的定义域肯定是无限集，而且定义域肯定无上界或者无下界．1．对三角函数定义的五点说明(1)角α的正弦、余弦虽然是用角α终边上一点P的坐标来定义的，但是正弦、余弦的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的大小有关，即由角α的终边的位置确定．(2)三角函数也是函数，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(3)同一个三角函数值能找到多数个角与之对应．(4)明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，离开α单独的“sin”“cos”等都无意义．(5)此处角的概念扩展以后，其三角函数的定义用的是坐标法，这与初中所学的直角三角形中的定义是统一的．2．三角函数的定义域(1)三角函数是以角为变量的函数，故从函数的角度，首先探讨其定义域，而确定函数的定义域离不开定义．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．3．三角函数在各个象限的符号三角函数在各个象限内的符号的正负可以这样来概括(这里只包含正弦、余弦)：“一全正，二正弦，三两负，四余弦”．(1)“一全正”的意思是：第一象限的角的正弦值、余弦值都是正的；(2)“二正弦”的意思是：其次象限的角的正弦值是正的，余弦值为负的；(3)“三两负”的意思是：第三象限的角的正弦值和余弦值是负的；(4)“四余弦”的意思是：第四象限的角的余弦值为正的，正弦值为负的．类型一随意角的三角函数的定义【例1】已知角α的终边在射线y＝4x(x≥0)上，求角α的正弦、余弦值．【思路探究】解答本题可先设角α终边上任一点的坐标，然后借助于三角函数的定义加以解决．【解】设α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y＝4x(x>0)．又∵x2＋y2＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(17),17),y＝\f(4\r(17),17))).于是sinα＝y＝eq\f(4\r(17),17)，cosα＝x＝eq\f(\r(17),17).规律方法(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义干脆求出相应的三角函数值．②留意到角的终边为射线，所以应分两种状况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要依据问题的实际状况对参数进行分类探讨．已知角α的终边在直线y＝eq\r(3)x上，求sinα、cosα的值．解：∵终边在直线y＝eq\r(3)x上，∴终边所处位置有两种状况．当终边在射线y＝eq\r(3)x(x≥0)上时，设α的终边与单位圆的交点为P(x，y)(x>0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)xx>0,x2＋y2＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝\f(\r(3),2))).∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2).同理，当终边在射线y＝eq\r(3)x(x≤0)上时可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝－\f(\r(3),2),cosα＝－\f(1,2))).类型二推断三角函数值的符号【例2】推断下列各式的符号：(1)sin(－670°)cos1230°；(2)sin8·cos8.【思路探究】eq\x(\a\al(推断出相关角的,终边所在的象限))→eq\x(\a\al(确定三角函,数值的符号))→eq\x(\a\al(运用积的,符号推断))【解】(1)因为－670°＝－2×360°＋50°，所以－670°是第一象限角，则sin(－670°)>0.又1230°＝3×360°＋150°，所以1230°是其次象限角，则cos1230°<0.所以sin(－670°)cos1230°<0.(2)因为2π＋eq\f(π,2)<8<2π＋π，即8rad是其次象限角，则sin8>0，cos8<0，所以sin8·cos8<0.规律方法确定正弦函数值、余弦函数值的符号需先确定角的终边所在的象限，再依据正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号进行推断，即“一全正，二正弦，三两负，四余弦”．推断下列各式的符号：(1)sin2018°·cos(－2018°)；(2)sin6·cos6.解：(1)因为2018°＝218°＋5×360°，所以2018°是第三象限角，所以sin2018°<0.又－2018°＝－6×360°＋142°，所以－2018°是其次象限角，所以cos(－2018°)<0.所以sin2018°·cos(－2018°)>0.(2)因为eq\f(3,2)π<6<2π，所以6弧度为第四象限角，所以sin6<0，cos6>0，所以sin6·cos6<0.【例3】若sin2α>0，且sinα<0，试确定α所在的象限．【思路探究】由sin2α>0，推出α是第一、第三象限角，由sinα<0，推出α是第三、第四象限角或在y轴的负半轴，从而可确定α在第三象限．【解】∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ<α<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z有2mπ<α<2mπ＋eq\f(π,2)(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z有2mπ＋π<α<2mπ＋eq\f(3π,2)(m∈Z)．∴α为第一或第三象限的角．又由sinα<0，可知α在第三或第四象限，或α终边在y轴的非正半轴上．综上可知，α在第三象限．规律方法对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中全部三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．(1)已知点P(sinα，cosα)在第四象限，则角α在(B)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限(2)下列各式：①sin(－100°);②cos(－220°)；③cos(－10);④cosπ.其中符号为负的有(D)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：(1)因为点P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα>0，,cosα<0，))由此可推断角α在其次象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在其次象限，故cos(－220°)<0；－10∈(－eq\f(7,2)π，－3π)，在其次象限，故cos(－10)<0，cosπ＝－1<0.类型三利用终边相同的角的公式化简、求值【例4】求下列三角函数值．(1)cos(－1050°)；(2)sin(－eq\f(31,4)π)；(3)log2(4sin1110°)．【思路探究】先利用终边相同的角的公式化简，再求值．【解】(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°，∴角－1050°与角30°的终边相同，∴cos(－1050°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵－eq\f(31,4)π＝－4×2π＋eq\f(π,4)，∴角－eq\f(31,4)π与角eq\f(π,4)的终边相同．∴sin(－eq\f(31,4)π)＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).(3)∵sin1110°＝sin(3×360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，∴log2(4sin1110°)＝log2(4×eq\f(1,2))＝log22＝1.规律方法解答此类题目的方法是先把已知角借助终边相同的角转化到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中重在体现数学上的转化思想．计算：sineq\f(25π,6)＝eq\f(1,2).解析：sineq\f(25π,6)＝sin(4π＋eq\f(π,6))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).类型四推断周期函数【例5】已知函数f(x)在其定义域上满意f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．【思路探究】证明一个函数是周期函数，只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，同时应留意多次运用所给式子的结构．【证明】∵f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－eq\f(1,fx＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，∴由周期函数定义可知，函数f(x)是以4为周期的周期函数．规律方法一般地，假如f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；假如f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．求下列函数的周期：(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R.解：(1)因为3cos(x＋2π)＝3cosx，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)因为sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin2x，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.——易错警示——三角函数定义中忽视字母的正负致误【例6】已知角α的终边上有一点P(－t,3t)(t≠0)，则cosα＝________.【错解】－eq\f(\r(10),10)【正解】由题意知r＝OP＝eq\r(－t2＋3t2)＝eq\r(10)|t|，①当t>0时，r＝eq\r(10)t，此时cosα＝eq\f(－t,\r(10)t)＝－eq\f(\r(10),10)，当t<0时，r＝－eq\r(10)t，此时cosα＝eq\f(－t,－\r(10)t)＝eq\f(\r(10),10)，故cosα＝eq\f(\r(10),10)或－eq\f(\r(10),10).【错解分析】忽视①处t的正负不确定，误认为t>0而得出r＝eq\r(10)t，从而导致答案cosα＝－eq\f(\r(10),10)的错误．【答案】eq\f(\r(10),10)或－eq\f(\r(10),10)【防范措施】分类探讨思想的应用在含有字母的式子的化简和运算过程中肯定要细心计算，且化简时会用到分类探讨思想．如本例中计算r时，有r＝eq\r(10t2)，要先对t的正负分类探讨再解．已知角α的终边在直线y＝－eq\r(3)x上，求sinα＋cosα的值．解析：角α的终边在直线y＝－eq\r(3)x上，令x＝m，y＝－eq\r(3)m(m≠0)，即P(m，－eq\r(3)m)，∴r＝eq\r(m2＋－\r(3)m2)＝2|m|.①当m>0时，r＝2m∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－\r(3)m,2m)＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,2m)＝eq\f(1,2).∴sinα＋cosα＝eq\f(1－\r(3),2).②当m<0时，r＝－2m∴sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－\r(3)m,－2m)＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(m,－2m)＝－eq\f(1,2).∴sinα＋cosα＝eq\f(\r(3)－1,2).综上，sinα＋cosα＝±eq\f(\r(3)－1,2).一、选择题1．已知P(1，－5)是角α终边上一点，则sinα＝(C)A．1 B．－5C．－eq\f(5,26)eq\r(26) D．eq\f(\r(26),26)解析：∵x＝1，y＝－5，∴r＝eq\r(26).∴sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(5,26)eq\r(26).2．若sinα·cosα<0，则α的终边落在(D)A．第一或其次象限 B．第一或第三象限C．第一或第四象限 D．其次或第四象限解析：∵sinα·cosα<0，∴sinα与cosα异号，∴α的终边落在其次或第四象限．3．在△ABC中，下列结论正确的是(A)A．若A为锐角，则sinA>0B．若sinA>0，则A为锐角C．A为锐角⇔sinA>0D．“A为锐角”与“cosA>0”不能