专题11 相似形与解直角三角形-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages8787页专题11相似形与解直角三角形相似形部分1．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（

）A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形【答案】A【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．2．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求．3．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE＝．【答案】是/【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，

∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB与CD是垂直的，故答案为：是；（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴，∴AE=AB=．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为；（2）的面积为．【答案】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．【详解】解：（1）连接、、、、，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点，，，是线段的五等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，∵点是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面积为，故答案为：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．5．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．

(1)若点在上，求证：；(2)如图2．连接．①求的度数，并直接写出当时，的值；②若点到的距离为，求的值；(3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①，；②或(3)【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到；（2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先画出图形，然后证明出，利用相似三角形的性质求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可；②当点在上时，，，分别求得，根据正切的定义即可求解；②当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得出，，进而求得，证明，即可求解；（3）如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）∵将线段绕点顺时针旋转到，∴∵的平分线所在直线交折线于点，∴又∵∴∴；（2）①∵，，∴∵，∴，∴∴；如图所示，当时，

∵平分∴∴∴∴∵，∴∴，∴∵，∴∴，即∴解得∴．②如图所示，当点在上时，，

∵，∴，，∴，∴∴；如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，

∵，∴，∴∴即∴，，∴∵∴，∴，∴∴解得：∴，综上所述，的值为或；（3）解：∵当时，∴在上，如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，∴，，

∵，∴，∴，又，∴，又∵，∴，∴∵，，设，即∴，∴整理得即点到直线的距离为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．6．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置．（1）论证

如图1，当时，设与交于点，求证：；（2）发现

当旋转角时，的度数可能是多少？（3）尝试

取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离；（4）拓展

①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）；②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）；（4）①；②．【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得证；（2）分如图（见解析）所示的两种情况，先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据菱形的判定与性质可得，然后根据平行线的性质、角的和差即可得；（3）先根据三角形的三边关系可得当点共线时，取得最大值，再画出图形（见解析），利用勾股定理求出的长，然后求出的值，最后在中，解直角三角形即可得；（4）①如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，再同（3）的方法可求出的长，然后证出，根据相似三角形的性质即可得；②如图（见解析），只需考虑的情形，先利用勾股定理可得，再同（3）的方法可求出的长，从而可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质和可求出的长，最后根据余弦三角函数的定义即可得．【详解】证明：（1），，在和中，，，，，；（2）由题意，由以下两种情况：①如图，取的中点，连接，则，，是等边三角形，，，四边形是菱形，，，；②如图，当点与的中点重合，则，是等边三角形，，综上，的度数为或；（3）如图，连接，，，当且仅当点共线时，等号成立，如图，过点作于点，过点作于点，则即为所求，，，设，则，，，解得，，，在中，，在中，，即当点与点距离最大时，点到的距离为；（4）①如图，连接交于点，过点作于点，平分，，，（等腰三角形的三线合一），设，则，，，解得，即，在和中，，，，即，解得；②初中阶段没有学习钝角的余弦值，且，只需考虑的情形，如图，设与交于点，过点作于点，连接，，，设，则，，，解得，，，设，则，在和中，，，，即，解得，，，解得，则．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，较难的是题（4），正确画出相应的图形，并通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．7．（2020·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持．（1）当点在上时，求点与点的最短距离；（2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长；（3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）；（4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长．【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4）【分析】（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得，可得，求出AB=5，即可解出MP；（3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案；（4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间．【详解】（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小，∵AB=AC，△ABC为等腰三角形，∴PAmin=tanC·=×4=3；（2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，S上=S△APQ，S下=S四边形BPQC，∵，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，∴，当=时，，∴，AE=·，根据勾股定理可得AB=5，∴，解得MP=；（3）当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，由（2）可知sinC=，∴d=PQ，∵AP=x+2，∴，∴PQ=，∴d==，当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，d=CP·sinC=（11-x）=-x+，综上；（4）AM=2<AQ=，移动的速度==，①从Q平移到K，耗时：=1秒，②P在BC上时，K与Q重合时CQ=CK=5-=，∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP，∴∠QPC=∠BAP，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCQ，设BP=y，CP=8-y，，即，整理得y2-8y=，（y-4）2=，解得y1=，y2=，÷=10秒，÷=22秒，∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键．8．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中（1）度．（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．

【答案】【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解．【详解】解：（1）作图如下：

根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得，，故答案为：；（2）取中间正六边形的中心为，作如下图形，

由题意得：，,，四边形为矩形，，，，，在中，，由图1知，由正六边形的结构特征知：，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征．解直角三角形部分9．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）(1)求的大小及的值；(2)求的长及的值．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；（2）解：∵，，∴，如图，过作于，∵，设，则，∴，解得：，∴，∴．10．（2022·河北·中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．(1)求∠C的大小及AB的长；(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）【答案】(1)，(2)见详解，约米【分析】（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解．【详解】（1）解：∵水面截线，，，在中，，，，解得．（2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：水面截线，，，，为最大水深，，，，且，，，即，即，在中，，，，即，解得，，最大水深约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．相似形部分11．（2024·河北保定·一模）如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得出，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可．【详解】解：∵，∴∴∴，即，解得．故选：C．12．（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（

）A．12 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作，由三角形中位线定理可求出的长，由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得，即可求解；掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，通过勾股定理进行求解是解题的关键．【详解】解：如图，过作，，四边形是正方形，，，，，，，，，，在和中，∴()，，，；故选：D．13．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（

）

天冀的做法：添加条件．证明：∵，．∴（两组角对应相等的两个三角形相似）往琛的做法：添加条件．证明：∵,．∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题【答案】B【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意，故选：B．14．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论：I与是相似三角形；Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（

）A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确【答案】A【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．先利用平行线的判定方法得到，，，再根据平行线的性质得到，，从而可判断；分别延长、、，它们相交于一点，根据位似的定义可判断与是位似三角形．【详解】解：的各边按如图所示的方式向内等距缩得到，，，，∴，，同理可得：，，所以Ⅰ正确；分别延长、、，它们相交于一点，如图，与是位似三角形，所以Ⅱ正确．故选：A．15．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（

）A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米【答案】C【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则，，，∴，，∴，∴，∵米，米，∴，令，则，∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，，即，，，∴，则，∴米，∴光源与小明的距离应增加米，故选：C．16．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．【详解】解：根据题意得，∴，∴，∵，∴，故选：B．17．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知地面阴影（圆形）的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为（

）A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米【答案】D【分析】本题主要考查了位似图形．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．根据，得到，得到，即得．【详解】解：依题意知，，，∴，∴，∴，∵，，，∴，得，即桌面的直径为1米．故选：D．18．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（

）倍．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了中心位似图形的性质．熟练掌握中心位似图形的性质是解题的关键．由和是以点为位似中心的位似图形，可知，则，可求，然后作答即可．【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，∴，∴，解得，，∴应将放大为原图形的2倍，故选：B．19．（2024·河北邢台·一模）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（

）A．C点 B．F点 C．E点 D．G点【答案】D【分析】本题考查了位似变换．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．【详解】解：如图，连接，并延长，∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点，∴位似比为，∴点A的对应点是G，故选：D．20．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解【详解】解：连接，，，并延长如图所示，，∴的位似图形是，故选：C．21．（2024·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或；根据位似变换的性质计算，判断即可．【详解】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得，故选：D．22．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与的位似比为．

【答案】【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可．【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点，∴，该三角形与的位似比为；故答案为：；．23．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知．（1）四边形的外接圆半径为．（2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为．

【答案】【分析】本题考查位似图形的性质，正方形与圆的性质，旋转的性质；（1）根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长；（2）根据题意证明，设，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解．【详解】解：（1）如图，连接，

正方形与四边形是位似图形，四边形是正方形，，∴是四边形的外接圆直径，正方形的边长为4，，，，四边形的外接圆半径为，故答案为：．（2）∵，∵点在线段延长线上，又∴又∴∴设，在中，∴解得：（负值舍去）故答案为：．24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．

(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，，，，，是的中点，，在和中，，；（2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形，，，即，，，．25．（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上．第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上；第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点；第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上；第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts．(1)如图1，①______；②点到直线的距离是______；(2)如图2，求证；(3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度；(4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值．【答案】(1)①=；②2；(2)见解析；(3)；(4)7或．【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可；对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可；对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案．【详解】（1）①；②2．根据勾股定理，得．根据题意，可知，∴，，∴，解得，所以点A到的距离是2．故答案为：，2；（2）根据题意可知，∴，；（3）如图，连接，，则．，．，则．∵，，，∴．又．又根据勾股定理，得，，根据勾股定理，得，．（4）7或．由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，，则旋转所用时间为；当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知，，，在取点，使得，．设，则，由，得，解得∴点平移的距离为，平移所用的时间为，故当平移到点落在上时，所运动的总时间为．综上所述，的值为7或．【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键．解直角三角形部分26．（2024·河北张家口·三模）如图，点在上，交于点，，则下列说法不正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的外角性质以及平行线的判定及性质，关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定判定选项，根据三角形的外角性质及平行线的性质判断选项，利用解直角三角形求得，即可判断选项，利用平行线的性质及三角形的外角性质求得即可判断选项．【详解】解：∵，，，∴，∴，故正确，不符合题意；∵，，，∴，∴，故正确，不符合题意；∵，，∴∴，∴，故正确，不符合题意；∵，∴∵，∴故不正确，符合题意．故选：．27．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作于点E，设正六边形的边长为a，分别计算出和即可得到答案．【详解】解：连接，过点作于点E，设正六边形的边长为a，则，在直角三角形中，，，∴，∴，∴，故选：C．28．（2024·浙江温州·二模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，，则点A，D之间的距离为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质，连接和，作于点，由等腰三角形性质可知，，三点共线，，，利用解直角三角形得到，，最后利用计算求解，即可解题．【详解】解：连接和，作于点，，，，，三点共线，，，，，，，．故选：D．29．（2024·河北沧州·三模）如图，点在三角板的斜边上，，以为半径作圆，交斜边于另一点，其中为．则的值是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，正弦．熟练掌握圆周角定理，正弦是解题的关键．如图，连接，由，可得，进而可求．【详解】解：如图，连接，∵，∴，∴，故选：C．30．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为外一点，点和点在圆上，分别连接和交于点和点，，且，若，则的比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形．连接，得到是平行四边形，则，然后得到，然后得到，利用解直角三角形求比值即可．【详解】连接，∵∴是平行四边形，∴∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，又∵∴，∴，∴，∴，故选A．31．（2024·河北张家口·三模）有一题目：“如图，在四边形中，，，，，将边绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，求旋转角的度数．”嘉嘉说：“角为．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（

）A．淇淇说的对，且角的另外两个值是，B．淇淇说的对，且角的另外两个值是，C．淇淇说的不对，角就得D．两人都不对，角仅有2个不同值【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识．熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键．由旋转的性质可知，，，由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解；然后判断作答即可．【详解】解：由旋转的性质可知，，，由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解；①当时，如图1，

∴，如图1，作于，∴，∴重合，即，∴，∴；②当时，如图，连接，作于，∴，∴重合，即，∴在线段上，∴，∴；如图，点在的延长线上，

同理，，∴；③当时，如图3，

∴在以为直径的圆上运动，同时在以为圆心，为半径的圆上运动，由②可得，，∵，∴两个圆无交点，即此情况不成立；综上所述，角有3个不同值或或；∴淇淇说的对，且角的另外两个值是，，故选：B．32．（2024·河北保定·二模）题目“如图，，，P为线段上一动点，Q为点A关于点P的对称点，连接．当有一个内角为时，求的长．”甲的答案为；乙的答案为；丙的答案为，则下列说法正确的是（

）A．只有甲的答案对B．甲、乙两人的答案合在一起才完整C．甲、丙两人的答案合在一起才完整D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，对称的性质，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键，分点Q在线段上，点Q在线段的延长线上，两种情况讨论即可．【详解】解：①当点Q在线段上，时，，∴；②如图，当点Q在线段的延长线上，时，同理，可求得，∴，此时，即点P在线段上，此种情况符合条件；如图，当点Q在线段的延长线上，时，，∴，此时，即点P不在线段上，此种情况不符合条件，∴甲、乙两人的答案合在一起才完整，故选B．33．（2024·河北石家庄·三模）已知和都为等腰三角形，，，．（1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为；（2）当时，若，，时，的长为．【答案】5或【分析】（1）由，证明和都为等边三角形，则，，，证明，进而可得，（2）由题意知，，，则，同理（1），证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴和都为等边三角形，∴，，∴，即，∵，∴，∴，故答案为：；（2）解：由题意知，，，∴，同理（1），∴，∴，即，解得，；当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解；当在外部时，，如图①，记的交点为，由题意知，，，，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，由勾股定理得，，∴，，∴；当在内部时，，如图②，延长交于点，∵，∴，∴，∴，即，，即，∴，由勾股定理得，，∴，∴；综上所述，的长为5或，故答案为：5或．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键．34．（2024·河北张家口·三模）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，于点．（1）（用含的式子表示）；（2）若，则．【答案】【分析】（1）由圆周角定理得，进而可得；（2）由设，，根据勾股定理求得，，再由垂径定理及正切定义求解即可．【详解】解：（）∵，∴，∵，∴，故答案为：；（）由设，，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，熟练掌握勾股定理及垂径定理是解题得关键．35．（2024·河北石家庄·二模）如图，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，，在两个图形上方按照图中方式放置一个边长为6的等边三角形，经测量，此时，（1）的度数为；（2）点K到的距离为【答案】【分析】此题考查解直角三角形、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，适当添加辅助线是解题的关键．（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质求出，再求出，根据三角形外角的性质和等边三角形的性质即可得到答案；（2）延长交点，作于点N，则，证明，求出，证明四边形是矩形，得到，即可得到，即可得到点K到的距离．【详解】解：（1）∵如图，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，∴，∴，∵，∴，∵是等边三角形，∴，∴故答案为：（2）延长交点，作于点N，则，∴，∴∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴,∴解得，∴，∵四边形是正方形，∴，∴∴四边形是矩形，∴，∴，即点K到的距离为，故答案为：．36．（2024·河北石家庄·二模）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内．(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．(2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为(2)不能，理由见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．（1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得；（2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得．【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，∴，，，∵，∴，在中，，则，答：手臂端点离操作台的高度的长约为．（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远，∴此时，∵，，∴，即手臂端点不能碰到点．37．（2024·河北廊坊·二模）嘉嘉使用桌上书架如图所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想．(1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长(2)如图这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处．当她看书上距离桌面高度为的点时，她向下看的俯角为，眼睛到桌面高度，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：）【答案】(1)边缘点到走过的路径长(2)．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可．（）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解．【详解】（1）解：∵，∴，在中，，∴，由题意得：，∵，∴，∴边缘点到走过的路径长．（2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，∴，∴，∵向下看的俯角为，∴，∴．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键．38．（2024·河北唐山·二模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离的点G处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线），求张亮的身高约是多少厘米；(2)夕夕身高，头部高度为，踮起脚尖可以增高，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到，参考数据：，）【答案】(1)张亮的身高约厘米(2)夕夕能被识别【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．（1）根据正切值求出长度，再利用矩形性质得出，，从而求出结论．（2）过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，求出与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

则，四边形是矩形，，在中，．．，张亮的身高约厘米．（2）解：夕夕能被识别，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

同（1）知，四边形是矩形，，，，夕夕能被识别．39．（2024·河北石家庄·三模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．(1)如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；(2)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．（结果精确到，参考数据，，，，）【答案】(1)(2)不会，见解析【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．（1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案；（2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案．【详解】（1）解：延长交于点，，，，，在中，，，，，，投影探头的端点到桌面的距离，投影探头的端点到桌面的距离约为；（2）解：投影探头不会与桌面发生碰撞，理由：过点作，交的延长线于点，由题意得：，，，在中，，，，投影探头的端点到桌面的距离．投影探头不会与桌面发生碰撞．40．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接．(1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______．(2)求的长．(3)求线段与的长，并比较大小．【答案】(1)(2)(3)，的长为，的长【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、弧长公式、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键．（1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可；（2）根据圆周角定理和三角形的内角和定理可求得，然后解直角三角形即可求解；（3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得；连接，根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求得的长，然后比较大小即可．【详解】（1）解：∵八个方位将圆形八等分，∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为，故答案为：．（2）解：∵为的直径，∴．由题意知，∴，∴．（3）解：∵为的切线，∴．由（2）知，∴．如图，连接，则．∵，∴，则的长为．∵，∴的长．41．（2024·河北邯郸·二模）一款手动铡切刀的侧面示意图如图1所示，圆弧形刀刃和手柄构成刀身，点M，P，Q总在一直线上，与切割槽在转轴（点Q）处连接．延长支撑杆交切割槽于点K，当铡切刀绕点Q旋转时，与的另一个交点为T（图3），已知．(1)如图2，当与相切时，，求弦和的长；(2)如图3，在铡切刀从与相切的位置开始下降的过程中（点P未经过），判断的度数是否改变，若改变说明理由；若不改变，求出的度数．（结果保留一位小数，）【答案】(1)，的长度；(2)的度数不改变，总为【分析】（1）过点作，垂足为．过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，利用锐角三角函数求出，再证明为等边三角形，根据弧长公式即可求解；（2）根据圆周角定理求解即可【详解】（1）解：如图1，所在圆与相切于点，过点作，垂足为．过点作，作的垂直平分线，交于点，连接所在圆的圆心为点．，．在中，，．在中，，．，，为等边三角形，，的长度；（2）的度数不改变，总为．如图2，由（1）可知，在铡切刀从与相切的位置开始下降的过程中，为等边三角形，，圆周角所夹弧所对的圆心角为，，的度数不改变，总为．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，确定圆心，弧长公式，正确作出辅助线是关键．42．（2024·河北石家庄·二模）为了提高学生的行车安全意识，某学校数学活动小组设计了如图所示的模拟公路单点测速实验：先在笔直车道旁取一点安置测速仪，再在车道上确定两点、，当车辆经过、两点时，测速仪就会自动拍摄车辆的照片，根据两张照片的时间差和的距离就可以测算出车速．测得点到车道的距离为，，.（参考数据：，，，，，）(1)求的长（每一步的计算结果均精确到）；(2)《道路交通安全法》规定：普通道路行驶的小型机动车超速未超不扣分，只罚款，超速超过但未超过扣分并罚款，超速超过以上，扣分并罚款．若该路段对汽车限速，某小型汽车从到用时，这辆车是否超速了？如果超速了，驾驶员将受到哪种处罚？【答案】(1)(2)驾驶员超速未超，不扣分，只罚款【分析】（）过点作交于点，则，解和得，，再根据线段的和差关系即可求解；（）求出汽车的速度为，与限速比较即可判断，再求出超速的速度即可得出驾驶员将受到哪种处罚；本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：过点作交于点，则，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴；（2）汽车的速度为，∵，∴汽车超速了，，∵，∴驾驶员超速未超，不扣分，只罚款．43．（2024·河北沧州·三模）如图，，，，分别以点，点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，与相交于点．(1)求证：；(2)当直线与圆相切时，求的值；(3)当时，求阴影部分的面积．（结果保留）【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查全等三角形的判定，求角的正切值以及不规则图形的面积：（1）由得，，根据证明，得，由可得结论；（2）求出由勾股定理求出，从而可求出的值；（3）过作于，求出，根据阴影部分的面积的面积扇形的面积求解即可【详解】（1）证明：，，，在和中，，，，又，；（2）解：直线与圆相切，，，，，在中，，，，；（3）解：过作于，，，，，阴影部分的面积的面积扇形的面积．44．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．

(1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度．(2)求段关于的函数解析式；(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，）【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查一次函数图象的运用，行程问题，解直角三角形的运用，掌握一次函数图象的性质，解直角三角形的方法是解题的关键．（1）根据解直角三角形可求的值，根据无人机的速度可求出时间，由此即可求解；（2）运用待定系数法即可求解；（3）根据无人机与小明的路程，分别求值的解析式，根据一次函数图象的性质即可求解．【详解】（1）解：已知点坐标是，，无人机速度为，如图所示，作于点，

∴，，在中，，无人机从的时间为：，∴小明在斜坡上的跑步速度为；（2）解：，∴，∴，且，设直线所在直线的解析式为，∴，解得，，∴直线所在直线的解析式为；（3）解：设直线的解析式为，且，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵无人机与小明之间距离不超过，∴在段时，，即，解得，；在段时，，解得，；∴，∴∴小明沿方向运动，无人机与小明之间距离不超过的时长为．45．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，，，点是斜边的中点，点是边的中点，连接，点为线段上一点，作点关于直线对称点，连接、，设长为（）．(1)A的长为________．(2)求长度（用含的代数式表示）．(3)当点落在直线上时，求的值．(4)探究：直线会与的边或垂直吗？如果会，请直接写出的值．【答案】(1)(2)(3)(4)会，或【分析】（1）根据正弦的定义解即可得到答案；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由轴对称的性质可得；（3）先求出，再证明，得到，则；由轴对称的性质可得，解可得方程，解得；（4）当时，延长交于点G，由勾股定理得，则，由轴对称的性质可得，，则，求出则，解，得到，解得；当时，延长交于点M，则，则，解得到，解中，得到，，进而得到，再解中得到，解得，据此可得答案．【详解】（1）解：∵在中，，，，∴，故答案为：；（2）解：∵点D是斜边的中点，∴，∵，∴，∴由轴对称的性质可得（3）解：如图，当点F落在直线上时，∵点E是边的中点，∴，∵D为的中点，∴，∴，∴，由轴对称的性质可得，∵，∴，∴在中，，∴，解得；（4）解：当时，延长交于点G，在中，，∴，由轴对称的性质可得，，∴，∴，∴∴，∵在中，，∴，解得；当时，延长交于点M，则，∴，∴，∴中，∴∵在中，∴，∴，∴，在中，，∴，解得．综上所述，x的值为1或3．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质等等，熟练掌握轴对称的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．46．（2024·河北唐山·二模）如图1，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向点C运动，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．(1)点B到的距离为；(2)当时，求的长；(3)如图2，当时，求的值；(4)若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在区域（含边界）内的时长．【答案】(1)8(2)或10(3)2(4)【分析】（1）过点作，在中，利用锐角三角函数，求出的长即可；（2）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可；（3）过点作，延长交的延长线于点，证明，根据，设，得到，，平行得到，进而得到，求出的值，再利用正切的定义求解即可；（4）求出点在上和在上时的值，即可得出结果．【详解】（1）解：过点作，在，，，∴，∴到的距离为；（2）∵，∴，在中，，在中，当在点下方时：，当在点上方时：；综上：或10；（3）过点作，延长交的延长线于点，∵，∴，∴，∵旋转，∴，∴，∴，∴，∵，∴设，则：，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（4）当点在上时，则：，由（1）知：，∴，∴秒；当点在上时，过点作，过点作，则：，由（1）知：，则：，∴，同法（3）可得：，∴，∵，∴，∴，∴，设，∴，∵，∴，∴，∴，∴秒，∴点Q在区域（含边界）内的时长为秒．【点睛】本题考查解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．47．（2024·河北石家庄·三模）综合与实践【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，①求证：．②当正方形的边长为，时，则__________．【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，