浙江省台州市三校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题【含答案解析】

2024学年第一学期台州三校期中考试试卷高一年级数学学科一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为集合，，故.故选：B.【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2.下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义依次判断各个选项.【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误；对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误；对于C，即，满足函数的定义，故C正确；对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误.故选：C.3.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由根式有意义可以列出不等式求解.【详解】依题意得，解得，所以的定义域为,故选：D.4.若，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性，可得答案.【详解】由函数在上单调递减，且，则；由函数在上单调递增，且，则，由，则.故选：A.5.已知，，则a、b、c的大小关系为（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，又函数在上单调递增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小关系为．故选：C6.已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】分别解不等式可得、，结合充分、必要条件可得，建立不等式组，解之即可求解.【详解】由，得，即，由，，得，即，因为“”是“”的必要不充分条件，所以，得（等号不能同时成立），解得，即实数的取值范围为.故选：A7.过点与圆相切两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为，根据直线与圆的位置关系可得出，设两条切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，利用根与系数的关系求出的值，再由结合同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若切线斜率不存在时，则直线方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，则有，整理可得，则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以，，所以，，由题意，，由，解得.故选：D.8.已知正实数，，满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式解法求解.【详解】解：因为，所以，即，因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为，故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性，逐项判断即得.【详解】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是；对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是；对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是；对于D，函数的定义域为，，是奇函数，D不是.故选：BC10.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】用列举法表示集合，利用集合的基本运算和元素与集合的关系即可判断选项A，B错误，选项C，D正确.【详解】由题意得，.A.，选项A错误.B.，选项B错误.由集合与元素的关系得，，，选项C，D正确.故选：CD.11.如图，在直棱柱中，各棱长均为，则下列说法正确的是（）A.异面直线与所成角的正弦值为B.当点M在棱上运动时，则直线与平面所成角的最大值为C.当点M在棱上运动时，最小值为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】根据可知所求角为，利用余弦定理可求得结果，即可判断A；连接交于点，连接，证明平面，可得线段的长度即为点到平面的距离，进而可判断B；将四边形与沿着棱展开，可知所求距离之和的最小值即为，即可判断C；利用正弦定理可求得外接圆半径，从而确定三棱锥外接球半径，代入球的表面积公式即可判断D.【详解】对于A，连接，，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为，，，，所以异面直线与所成角的正弦值为，故A错误；对于B，连接交于点，连接，在菱形中，，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，所以线段的长度即为点到平面的距离，在等边三角形中，，则直线与平面所成角的正弦值为，当点与点重合时，取得最小值，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，所以直线与平面所成角的最大值为，故B正确；对于C，将四边形与沿着棱展开得四边形，则的最小值即为，故C正确；对于D，，，是边长为的正三角形，的外接圆半径，三棱锥外接球半径，三棱锥外接球表面积，故D正确.故选：BCD.【点睛】思路点睛：求解最短距离问题的基本思路是能够利用展开图，将问题转化为平面上两点连线距离的求解问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定是______．【答案】，【解析】【分析】直接根据全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，即可得到.【详解】因为全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，所以命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.13.已知，若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得，，利用基本不等式运算求解即可.【详解】因为，若，，可知，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14.设函数，若且，则当取得最小值时__________.【答案】##【解析】【分析】根据函数的特征结合基本不等式计算求参即可.【详解】因为函数，又因为且，则,所以，所以,则，则当取得最小值时,所以,所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）求和；（2）已知，写出集合的所有非空子集.【答案】（1），（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出集合，利用交集和并集定义可求得集合和；（2）求出集合，利用子集的定义可得出集合的所有非空子集.【小问1详解】因为，，则，.【小问2详解】因为全集，，则，所以，集合的所有非空子集为：、、、、、、.16.设．注：（1）证明：；（2）若，求的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据公式，结合条件，即可求解；（2）首先根据条件得到，再利用表示，最后根据基本不等式，即可求解.【小问1详解】，．均不为0，则，．【小问2详解】由可知．，当且仅当时，取等号，．的最小值为.17.已知集合，.（1）当时，求；（2）已知“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，，再计算并集得到答案.（2）根据必要条件得到，考虑，，三种情况，分别计算得到答案.【小问1详解】，得，所以.，当时，，.【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以.当时，，不符合题意；当，即时，，符合题意；当时，，所以，解得.综上所述：.18.已知函数.（1）解不等式；（2）若，试判断的单调性，并用定义证明.【答案】（1）（2）在上为增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）换元令，原不等式可化为，解得，再结合至少函数单调性运算求解；（2）根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明.【小问1详解】令，则，原不等式可化为，解得，即，可得，故原不等式的解集为.【小问2详解】在上为增函数，证明如下：因为，任取，，且，则.因为，则，，可得，即，所以函数在上为增函数.19.已知函数，且.（1）判断函数的奇偶性；（2）若，试判断函数的单调性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值.【答案】（1）奇函数；（2）单调递增，；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义判断即可.（2）由，得，结合指数函数单调性判断的单调性，再脱去法则“f”，分离参数借助基本不等式求出最小值即得.（3）求出值，再换元并构造函数，求出新函数的定义域，再结合二次函数最值分类讨论求解.【小问1详解】函数的定义域为R，，所以函数奇函数.【小问2详解