学而思七年级数学培优讲义

第1讲与有理数有关的概念1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重【变式题组】A18%B8%C2%D8%02金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为(A5吨B5吨C3吨D3吨－EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(22),7)，正有理数{l正分数{0【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数ll负份数；按整数、分数{整数{lEQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up15(0),负)整数分类，有理数l分数{EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up29(〔正分数),l负分数)；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为兀＝…是无限EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up9(22),7)环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C.【变式题组】【例3】（宁夏）有一列数为－1，23，45，6，ⅆ,找规律到第2007个数是.【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，ⅆ⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以1【变式题组】5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想m反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反m＝－＝－【变式题组】1)1-03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为()【变式题组】其中正确的个数为()【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即【变式题组】【变式题组】【解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题＝－＝－【变式题组】的最大值.演练巩固·反馈提高04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是()05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是()07．下列结论中，正确的是()＝－＝－09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数bb值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.都不在原点时有以下三种情况:＝－⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示1和－3的两点之间的距离是4;⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7.培优升级·奥赛检测1能盖住的整数点的个数是()02第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有＝－组小值.数.14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.则股票A这天的收盘价为()正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18+(-)+ ()=,故选C.【变式题组】这一天延安市的最低气温比西安低()【例2】计算8326172615）⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解8326172615[8317）]＋[(+【变式题组】(-)++(-)+(-)+(-)计算【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.【变式题组】1202．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为2的长方形，2接着把面积为2的长方形等分成两个面积为4的正方形，再把面积为4的正方形等分成两个面积为8的长方形，如此进行下去，试利141811（）【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.将a、b、－a、－b表示在同一数轴上【变式题组】 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.=++（3311＋21116＋55＝61【变式题组】）+(-)【例6】试看下面一列数：25、23、21、19…⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.【变式题组】…依你发现的规律，解答下列问题.【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.将原式和倒序再相加得【变式题组】1111111（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数03．在112这三个数中，任意两数之和的最大04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数（）A4℃B．4℃C3℃D5℃（）13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋1034281371275⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？111114．将1997减去它的2，再减去余下的3，再减去余下的4，再减去余下的5……以此类115．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如3＋15来表示5，用4＋7＋28表示7111111A.141-4121-211111111+c＋d值是()大小关系是()的值得整数部分为（）3333第03讲有理数的乘除、乘方31．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.【例1】计算【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.【变式题组】【例2】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么()【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.绝对值较大，选D.【变式题组】b03．(山东烟台)如果a＋b＜0，a，则下列结论成立的是()04．(广州)下列命题正确的是()【例3】计算【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.【变式题组】02.⑴3⑵524【例4】（茂名）若实数a、b满足aab=0b,则b,则.__________【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是()【例5】已知x2x3【解法指导】an表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵x2⑴当xy2008=2(-1)2008=2【变式题组】01北京）若mn+(m2)2=0，则mn的值是.135万用科学记数法表示为()【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×1【变式题组】法表示正确的是()【例7】（上海竞赛）222【解法指导】找出的通项公式=2222222222=49个=99【变式题组】A.331101．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为()02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数()A．互为相反数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数为()1a其中能判断a、b互为相反数的个数是()+08．若ab≠则的取值不可能为()10的值为()的是()）＝01．已知有理数x、y、z两两不相等，则中负数的个数是21314151数字规律，猜测220101的个位数字是()03．已知ab2c3d4e5＜0，下列判断正确的是()x04．若有理数x、y使得y这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是()是()2003的值是()、c、d大小关系是().__________09第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是.13510．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果1方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.x22233mm证明：⑴A=AB=⑵11．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.x(3)πr2322【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑶是，它的系数为π,次数为2；3【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式(1)a(2)−1(3)1+x02．说出下列单项式的系数与次数(1)−x2y(2)【例2】如果2xny4与1m2x2y|m−n|都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.2【变式题组】32，求这个单项式.【例3】已知多项式−4x2y2+2x4y3−xy+1⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是2x4y3,二次项系数为－1，常数项是1.3【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a3−a2b+ab2−b302．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x3+x2−x−2(2)−4x3−x2+x−4【例4】多项式7xm+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为-【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为7xm+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即3n+17，故n＝2.已有三次项为【变式题组】01．多项式3x|m|y2+(m+2)x2y−1是四次三项式，则m的值为()02．已知关于x、y的多项式ax2+2bxy+x2−x−2xy+y不含二次项，求5a－8b的值.203．已知多项式−5x2ym2xy2−1x36是六次四项式，单项式2x3ny5−mz的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例5】已知代数式3x2−2x6的值是8,求3x2−x1的值.2【解法指导】由3x2−2x6=8，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由3x2−2x6=8得由3x2−2x=2【变式题组】3【例6】证明代数式16m−{8m−[m−9−(3−6m)]}的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母【变式题组】02．若代数式(x2ax−2y7)−(bx2【例7】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有()个【解法指导】首先写出符合题意的单项式axbycz,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来【变式题组】01．已知m、n是自然数，am−3b2c−1a2bn−3c41am1bn−1c是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝时，多项式5xn2−2x2−n2是三次三项式.01．下列说法正确的是()A．x−y是单项式B．3x2y3z的次数为5C．单项式ab2系数为0D．x4−1是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把三位数是()03．若多项式2y2+3x的值为1，则多项式4y2+6x−9的值是()04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为()05．若多项式k(k−1)x2−kx+x−3是关于x的一次多项式，则k的值是()06．若（1−n2)xny3是关于x、y的五次单项式，则它的系数是.位.08．若3amb3+4an+1bm+2=7ax+1by,则代数式xy+mn值为.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是.10．(河北)有一串单项式x,−2x2,3x3,⑵请你写出第n个单项式.式值为32，求这个单项式.13．若关于x、y的多项式2x2y−EQ\*jc3\*hps22\o\al(\s\up5(2),3)x3y4+(2a−3)x3y5与多项式−x2by4+3x2y−1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(01),的)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up6(有),若)第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数2中对于任意实数a、b、c都成立的是()2A.①②③B.①②④C.①③④D.②④对应的代数式的值最大的是()04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系()06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为元.07．已知a−b=2004,b−c=2005,c−d=2007.则(a−a−d09．已知−m2n=5,则5(m−2n)2得到ΔA1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，得到ΔA2B2C2，记其面积为S2；ⅆ;按此规律继续下去，可得到ΔA5B5C5，则其面积S5=195.所得到的不同长度值的线段种数：S值2语言表述均可)(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：1⑴当AP＝2AD时（如图②):1—1DPAB图①C11—=S四边形ABCD－2SΔABD－2SΔCDADPAB图②C=2SΔDBC＋2SΔABC.1—11⑷一般地，当AP＝nAD（n表示正整数）时，探求SΔPBC与SΔABC和SΔDBC之间的mm1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.1xa+2y3【例1】（济南）如果3和-3x3y2b-1是同类项，那么xa+2y3{{{{【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.解：由题意得【变式题组】1—【例2】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.解：因为化简后为三次二项式，而5x3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m-2＝0,∴m1【变式题组】1—【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项.【变式题组】01．一个多项式加上－3x＋2xy得x2－3xy＋y2,则这个多项式【解法指导】将（2a＋b)23a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.【变式题组】＝－【例5】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.【变式题组】02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.）【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法.【变式题组】(2)当x＝1时，有何结论;(3)当x1时，有何结论;【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5,当x＝－【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等∵原式中的多项式是关于x的二次多项式【变式题组】.__________=23,x＝－2,y＝－35,则e为()m-nm-n02．一个单项式减去x2－y2等于x2＋y2,则这个单项式是()03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是()A．二次三项式B．一次多项式C．三项式D．次数不高于2的整式＝－A3B27C7D．7＝－06．已知x，则x等于()A.432307．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是()3,7,1B.-3,-7,-1C.3,-7,-1D.-3,7,-1109．k＝时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋2－4中不含xy项.11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要天完成.＝－＝－，ｂ再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.＝－＝－的值的大小.（）02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位33c2c2aba2b________x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝1IaIa-b+a+b50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时.-1,试判断是否存在整数n,使A－B为五次六项式.c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数与cba的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现在设N=3194，请你当魔术师，求出abc来.13．(太原市竞赛题）将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc=第06讲一元一次方程概念和等式性质1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析.2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用.【例1】下面式子是方程的是()【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2＋3＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C.【变式题组】101．在①2x＋3y－1.②2＋5＝15－8，③11—数是甲处工作人数的3，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是()1【例2】下列方程是一元一次方程的是()1【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D.【变式题组】x-3个.8-3838故选择D.【变式题组】1是等式的是()1A．两边都减去－3cB．两边都乘以c②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A.【变式题组】--1＝－＝－11-⑵解：两边都乘以5得x611—两边都乘以－3得x＝－27【解法指导】要使方程x＋7＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式.【变式题组】平均速度为()A. 2 x-【例6】根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）【解法指导】生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家.解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝元，需交利息税×20%＝元，根【变式题组】01甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折售，则该商品现在售价是()【例7】（“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数.【变式题组】xx演练巩固反馈提高01．下面四个式子是方程的是()02，下列方程是一元一次方程的是()1四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为()x方程是()A.①②B.①③C.②④D.③④＝－mn＝－13．三个连续自然数的和是33，求这三个数.培优升级奥赛检测01．下列判断中正确的是()1结论正确的的个数是()06“祖冲之杯”邀请赛）方程x?50解是.第07讲一元一次方程解法1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用.2．会用一元一次方程解决实际问题【解法指导】当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．＝－【变式题组】（）【解法指导】此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．＝－【变式题组】A3（x－13x－1B3(x－1)3x＋1：－（）A2x＋2－4x－8＝1＝－＝－【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项去括号，得移项，得合并，得-18x＝－3回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1.【变式题组】01厦门）如果关于x的方程的解不是负值，那么a与b的关系是A.353502．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程()03四川）解方程【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错.即即去括号，得移项，得合并，得【变式题组】【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量.解：移项得两边分别通分得【变式题组】01．(大连)解方程，较简便的是()【例6】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342.【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解.⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略.解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是假设合并，得移项，得3【变式题组】01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：147⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什×【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.∴k＝8或k＝－8故k=±8【变式题组】01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x1，必须满足的条件是()整数k=4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为()元，根据题意，下面所列的方程正确的是()04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是()272-7扣除20%的利息税设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是()07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是()-3-k+2k=3是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x=⑴相等⑵互为相反数12随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解.⑵设个位数上的数为y.13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身3高的增长值多，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的4少，求甲、乙两组同学平均身高的增长值.14北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）含酒精的千克数为()02．下列四组变形中属于移项变形的是()＝－A.-|m－1|的值为()－＝－，A.131—3D307第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队米再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行()本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出 本.续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了千米和千米.——=———的值.车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人13“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米/时，骑车人速度为千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22第08讲实际问题与一元一次方程1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型?【例1】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润商品利润率＝商品进价；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）解：设原进价为x元，根据题意得【变式题组】01黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超次购物分别付款80元、252元?如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款()销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于()则标价为()【例2】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费?【变式题组】01．(东营)学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是()应,实际赠书3780册其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校03．(佛山)小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔()单程直达运行的时间为半小时?某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同?如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度根据题意得答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米?【变式题组】01．(长沙)汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走()3km后每千米收费元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是()03．(南宁)小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已【例4】(课本变形题)有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40m2墙面?每名一级技工比二级技工一天多粉刷10m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1?解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10)m2的墙面.根据题意得【变式题组】01．(随州)某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20%，则两年后城市绿化面积是原来的()02．(天津)一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独开2乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的32/3要同时开甲、乙两龙的时间()03．(乐山)某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力【例5】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程?答：该队战平了3场.【变式题组】01．(长沙)足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了()02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球【例6】(聊城)某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元?当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此方案一：将蔬菜全部进行粗加工.方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解?对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨)说对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得【变式题组】01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小【例7】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比?解：设站点每隔解：设站点每隔x分钟开出一辆根据题意，得，解得x＝6答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆?【变式题组】01美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x?3第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是()的标价为()20%，在这次买卖中，这家商店()03太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为()样在校学生将增加%，那么该校现有女生和男生人数分别是()05石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有()则这列火车长()07重庆）国家规定个人发表文章，出版着作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是元?60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合?如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是千克?开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的倍，摩托该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算?两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由?01第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润是出厂价80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长()02北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则x：y等于()米，按每立方米元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米元收费，已知某户4月份的煤气费平均每立方米元，那么4月份这用户应交煤气费()04四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可以喝矿泉水()06．某商场的电视机按原价9折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加()08“希望杯”邀请赛试题）某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是千米/时?09重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有6辆出租车钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？10第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费方法：每月用电不超过100度，按每度元元计算；每月用电超过100度，超⑵若某用户2002年2月份平均每度电费元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少12江西）剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂分别生产老式剃须可更换）和新式剃须刀（刀片可以更换）有关销售策略与售价等信息如下表所示：售价老式剃须刀新式剃须刀厂获得的利润是甲厂的两倍，问这段时间内，乙厂销售了多少把刀架？多少片刀片？⑵如果加水不过量，则还应加入浓度20%的酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓1．会识常见的几何图形，并了解它们的名称.2．会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，以根据三视图描述基本几何体或实物原型.(1)请说出①~⑥中几何体的名称，并简要叙述它们的一些特征.(2)将①~⑥中的几何体分类.【解法指导】认识几何体，以直观观察为主，一般特征也以观察者获得的形象加以表述即可．但对几何体尽可能地进行深入观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示其本质.解：(1)①圆柱：特征如，两个底面是圆的几何体.②圆锥：特征如，像锥体，且底面是圆.③正方形：特征如，所有面都是正方形.④长方体：特征如，其侧面均为长方形.⑤棱柱：