2024-2025学年新教材高中数学第四章三角恒等变换4.2.4积化和差与和差化积公式作业含解析北师大版必修第二册

PAGE2.4积化和差与和差化积公式(15分钟30分)1.求值:sin20°+sin40°+sin60°-sin80°=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选C.sin20°+sin40°+sin60°-sin80°=2sin30°cos(-10°)+sin60°-sin80°=2×QUOTE×sin80°+QUOTE-sin80°=QUOTE.【补偿训练】

cos40°+cos60°+cos80°+cos160°的值为________.

【解析】原式=cos40°+cos80°+cos60°-cos20°

=2cosQUOTEcosQUOTE+cos60°-cos20°

=2cos60°·cosQUOTE+cos60°-cos20°=cos60°=QUOTE.

答案:QUOTE2.在△ABC中sinC=QUOTE,则此三角形的形态是()

A.等边三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.因为C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B)=QUOTE,所以2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTE,所以2cos2QUOTE=1,即cos(A+B)=0,所以A+B=QUOTE,所以C=QUOTE.故此三角形为直角三角形.3.函数y=sinQUOTEcosx的最大值为()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.因为y=sinQUOTEcosx=QUOTE=QUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTE,所以ymax=QUOTE-QUOTE=QUOTE.4.函数y=cosx+cosQUOTE的最大值是________.

【解析】y=2cosQUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE,所以ymax=QUOTE.答案:QUOTE5.已知sinα+sinβ=QUOTE,cosα+cosβ=QUOTE,求tanQUOTE的值.【解析】由sinα+sinβ=QUOTE,cosα+cosβ=QUOTE得,2sinQUOTEcosQUOTE=QUOTE,2cosQUOTEcosQUOTE=QUOTE,两式相除得tanQUOTE=QUOTE,则tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若sinα+sinβ=QUOTE(cosβ-cosα)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于()A.-QUOTEπB.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTEπ【解析】选D.因为α,β∈(0,π),所以sinα+sinβ>0.所以cosβ-cosα>0,cosβ>cosα,又在(0,π)上,y=cosx是减函数.所以β<α,所以0<α-β<π,由原式可知2sinQUOTE·cosQUOTE=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以α-β=QUOTE.2.在△ABC中,若B=45°,则cosAsinC的取值范围是()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.在△ABC中B=45°,所以cosAsinC=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEsinQUOTE,因为-1≤sinQUOTE≤1,所以QUOTE≤cosAsinC≤QUOTE.3.函数f(x)=sinQUOTEcosQUOTE是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的非奇非偶函数D.最小正周期为π的非奇非偶函数【解析】选D.f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTEsinQUOTE+QUOTE,所以T=QUOTE=π,f(x)为非奇非偶函数.【补偿训练】已知函数f(x)=g(x)cosQUOTE,若函数f(x)是周期为π的偶函数,则g(x)可以是()A.cosx B.sinxC.cosQUOTE D.sinQUOTE【解析】选D.当g(x)=cosx时,f(x)=cosxcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE+QUOTE,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;当g(x)=sinx时,f(x)=sinxcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTE,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;当g(x)=cosQUOTE时,f(x)=cosQUOTEcosQUOTE=-QUOTEsin2x+QUOTE,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为π;当g(x)=sinQUOTE时,f(x)=sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2x,此时f(x)是偶函数,周期为π.4.(2024·长沙高二检测)在△ABC中,QUOTEsinA+sinBsinC的最大值为()A.QUOTE+QUOTE B.2C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.QUOTEsinA+sinBsinC=QUOTEsinA+QUOTE≤QUOTEsinA+QUOTE=QUOTEsinA+QUOTEcosA+QUOTE≤QUOTE+QUOTE=2,当且仅当sinB=sinC=QUOTE,sinA=QUOTE时,等号成立,因此QUOTEsinA+sinBsinC的最大值为2.【误区警示】留意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现多变角转化为一变角形式.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设函数f(x)=sinQUOTE+cosQUOTE,则()A.y=f(x)的最小值为-QUOTE,其周期为πB.y=f(x)的最小值为-2,其周期为QUOTEC.y=f(x)在QUOTE单调递增,其图象关于直线x=QUOTE对称D.y=f(x)在QUOTE单调递减,其图象关于直线x=QUOTE对称【解析】选AD.f(x)=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2x,所以y=f(x)在QUOTE内单调递减,周期为π,又fQUOTE=QUOTEcosπ=-QUOTE是最小值,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=QUOTE对称.6.满意sin3x=cosx的x的值是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选AB.由题意可得sin3x-sinQUOTE=0,由和差化积公式可得2cosQUOTEsinQUOTE=0,则方程的根满意:QUOTE=kπ或QUOTE=kπ+QUOTE,整理可得x=QUOTEπ+QUOTE或x=kπ+QUOTE,即方程的根为QUOTE或QUOTE.【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知A+B=QUOTE,那么1+QUOTE(cos2A+cos2B)的最大值是________,最小值是________.

【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后依据已知角及角对应三角函数值的范围求解.【解析】因为A+B=QUOTE,所以1+QUOTE(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cosQUOTEcos(A-B)=1-QUOTEcos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值QUOTE;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值QUOTE.答案:QUOTEQUOTE8.(2024·温州高一检测)函数y=sinQUOTE-sinxQUOTE的值域是________.

【解析】y=sinQUOTE-sinx=2cosQUOTE·sinQUOTE=cosQUOTE.因为x∈QUOTE,所以x+QUOTE∈QUOTE.故y∈QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列各式的值:(1)cosQUOTE+cosQUOTE-2sinQUOTEcosQUOTE;(2)sin138°-cos12°+sin54°.【解析】(1)cosQUOTE+cosQUOTE-2sinQUOTEcosQUOTE=2cosQUOTE·cosQUOTE-QUOTEcosQUOTE=2cosQUOTEcosQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTEcosQUOTE-QUOTEcosQUOTE=0.(2)sin138°-cos12°+sin54°=sin42°-cos12°+sin54°=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tanQUOTE+QUOTE,若随意交换两个角的位置,y的值是否改变?并证明你的结论.【解析】不变.因为A,B,C是△ABC的三个内角,所以A+B+C=π,QUOTE=QUOTE-QUOTE.所以y=tanQUOTE+QUOTE=tanQUOTE+QUOTE=tanQUOTE+tanQUOTE+tanQUOTE.因此,随意交换两个角的位置,y的值不变.形如QUOTE的符号叫二阶行列式,现规定QUO