2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数本章小结学案含解析新人教B版必修第二册

第四章指数函数、对数函数与幂函数本章小结学习目标1.复习指数函数、对数函数和幂函数的基本学问和性质.2.强化指数函数、对数函数、幂函数的运算实力.3.提高指数函数、对数函数、幂函数的应用实力,驾驭必备的数学思想方法.自主预习请大家画出本章的学问结构图:课堂探究类型1指数、对数的运算问题解决这类问题首先要娴熟驾驭指数式和对数式的积、商、幂、方根的运算法则,娴熟驾驭各种变形.如N1b=a,ab=N,logaN=b(其中N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的不同表示形式,因此在很多问题中要能娴熟【例1】(1)若xlog23=1,则3x+9x的值为()A.6 B.3 C.52 D.(2)已知2a=5b=c,1a+1b=1,则c=规律方法:类型2函数图像与性质的应用指数函数、对数函数、幂函数是中学数学中重要的函数,它们的图像和性质是考查的重点,应娴熟驾驭图像的画法及形态,熟记性质,特殊要留意指数函数与对数函数的底数在取不同值时,对图像和性质的影响.【例2】当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是()A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.0规律方法:跟踪训练已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=12(1)画出函数f(x)的图像;(2)依据图像写出f(x)的单调区间,并写出函数的值域.类型3数的大小比较问题比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用,最基本的方法是将须要比较大小的实数看成某类函数的函数值,然后利用该类函数的单调性进行比较.【例3】(1)已知a=log20.3,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c三者的大小关系是()A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a(2)设a=log132,b=log123,c=A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c规律方法:类型4分类探讨思想所谓分类探讨,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.分类探讨时应留意理解和驾驭分类的原则、方法与技巧,做到确定对象的全面,明确分类的标准,不重不漏地分类探讨.在初等函数中,分类探讨的思想得到了重要的体现,可依据函数的图像和性质,依据函数的单调性分类探讨,使得求解得以实现.【例4】已知函数f(x)=x-2m2+m+3((1)求m的值,并确定f(x)的解析式;(2)若g(x)=loga(f(x)-ax)(a>0,且a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数a的取值范围.规律方法:类型5函数与方程思想【例5】若函数f(x)=10|lgx|-a有两个零点,则实数a的取值范围是()A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1规律方法:核心素养专练1.求值:(1)21412-(-9.6)0-338-23+(1.5)-2;(2)log2512·log45-2.已知函数:①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=x12.则下列函数图像(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应依次是(A.②①③④ B.②③①④ C.④①③② D.④③①②3.已知0<a<1,x=loga2+loga3,y=12loga5,z=loga21-loga3,则(A.x>y>z B.z>y>xC.y>x>z D.z>x>y4.设a>0且a≠1,若P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),试比较P,Q的大小.5.若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则实数m的取值范围是.

6.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)探讨f(x)的单调性;(3)当a取何值时,图像在y轴的左侧?7.为减轻手术给病人带来的苦痛,麻醉师要给病人注射肯定量的麻醉剂,某医院确定在某小型手术中为病人采纳一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(1)试求从麻醉剂释放起先,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)依据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能醒悟过来,那么实施麻醉起先,至少须要经过多长时间,病人才能醒悟过来?参考答案自主预习略课堂探究【例1】(1)A(2)10解析:(1)由xlog23=1,得x=log32,所以3x+9x=3log32+3log322(2)由2a=5b=c,得a=log2c,b=log5c,1a+1b=1log2c+1log5c=logc2+logc规律方法:略【例2】C解析:如图所示,设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)=(x-1)2在(1,2)上的图像在f2(x)=logax的下方即可,当0<a<1时明显不成立.当a>1时,如图,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的图像在f2(x)=logax的下方,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2.∴loga2≥1,∴1<a≤2,故选C.规律方法:略跟踪训练解:(1)先作出当x≥0时,f(x)=12x的图像,利用偶函数的图像关于y轴对称,再作出f(x)在x∈(-∞(2)函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞),值域为(0,1].【例3】(1)C(2)D解析:(1)∵a=log20.3<log21=0,b=20.3>20=1,0<c=0.30.2<0.30=1,∴b>c>a.故选C.(2)∵a=log132<0,b=log123<0,log132>log133,log133>规律方法:略【例4】思路探究:(1)结合f(3)<f(5),与函数f(x)的奇偶性,分类探讨确定m的值及f(x)的解析式.(2)由g(x)为增函数,结合a探讨,求出a的取值范围.解:(1)由f(3)<f(5),得3-2m∴35-2m2∵y=35∴-2m2+m+3>0,解得-1<m<32∵m∈N,∴m=0或1.当m=0时,f(x)=x-2m当m=1时,f(x)=x-2m2综上,m=1,此时f(x)=x2.(2)由(1)知,当x∈[2,3]时,g(x)=loga(x2-ax).①当0<a<1时,y=logau在其定义域内单调递减,要使g(x)在[2,3]上单调递增,则需u(x)=x2-ax在[2,3]上单调递减,且u(x)>0.∴a2②当a>1时,y=logau在其定义域内单调递增,要使g(x)在[2,3]上单调递增,则需u(x)=x2-ax在[2,3]上单调递增,且u(x)>0.∴a2≤2,u∴实数a的取值范围为(1,2).规律方法:略【例5】B解析:若函数f(x)=10|lgx|-a有两个零点,则10|lgx|-a=0有两个实数根,即10|lgx|=a有两个实数根,转化为函数y=10|lgx|与y=a图像有两个不同的交点,为此只要画出y=10|lgx|的图像即可.当x≥1时,lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;当0<x<1时,lgx<0,y=10|lgx|=10-lgx=1x,所以y=这是分段函数,每段函数可依据正比例函数或反比例函数作出,如图.依题意,得a>1.规律方法:略核心素养专练1.解:(1)原式=9412-1-=32-1-32-2+232=32-1(2)原式=-12log52·12log25+log33-2log22=-14+1-2+2=32.D解析:依据幂函数、指数函数、对数函数的图像可知选D.3.C解析:依题意,得x=loga6,y=loga5,z=loga7.又0<a<1,5<6<7,因此有loga5>loga6>loga7,即y>x>z.4.解:当0<a<1时,有a3<a2,即a3+1<a2+1.又当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q;当a>1时,有a3>a2,即a3+1>a2+1.又当a>1时,y=logax在(0,+∞)上单调递增,∴loga(a3+1)>loga(a2+1),即P>Q.综上,可得P>Q.5.0解析:若关于x的方程|x-2|(x+1)-m=0至少有两个实数根,则|x-2|(x+1)=m至少有两个实数根,即函数y=|x-2|(x+1)与y=m的图像至少有两个交点.当x≥2时,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x-12当x<2时,即x-2<0时,y=-(x-2)(x+1)=-x-12所以y=x这是分段函数,每段函数图像可依据二次函数图像作出,如图.依题意,得0≤m≤946.解:(1)当a>1时,定义域为(0,+∞);当0<a<1时,由ax-1>0可知,定义域为(-∞,0).(2)设f(u)=logau,u=ax-1.当a>1时,x∈(0,+∞),u=ax-1是增函数,y=logau也是增函数.由复合函数单调性可知f(x)在(0,+∞)内为增函数.同理,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)内为增函数.(3)由图像在y轴的左侧可知,当x<0时,ax-1>0,解得0<a<1.7.解:(1)由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数.当0≤t≤0.1时,函数的图像是一条经过点O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标,得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=18而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入,得1=18所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=1综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=10(2)要使手术后的病人能醒悟过来,须要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18当t>0.1时,由18t-0.1≤解得t≥1.1.所以至少须要经过1.1小时后病人才能醒悟.学习目标(1)能应用指数幂和对数的运算性质解决指数式和对数式的化简求值问题;(2)能解决比较大小、解不等式等问题;(3)能建立函数模型解决实际问题.课堂探究一、指数、对数运算例1化简:(1)(8)-23×((2)lg2跟踪演练1计算:80.25×42+(32×3)6+log32×log2(log3二、指数函数、对数函数的图像及其应用例2如图,函数f(x)的图像为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2}跟踪演练2方程log2(x+2)=-x的实数解有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个三、指数函数、对数函数的性质及其应用例3(1)(2024全国Ⅰ理)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a(2)已知函数f(x)=1+lo①求f(-2)+f(log212);②解不等式f(x)<4.跟踪演练3设函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,2)上是增函数B.奇函数,且在(0,2)上是减函数C.偶函数,且在(0,2)上是增函数D.偶函数,且在(0,2)上是减函数四、函数模型的应用例4大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,经探讨发觉鲑鱼的游速可以表示为函数v=12log3θ100,单位是m/s,θ(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时①,它的游速是多少?(2)某条鲑鱼想把游速提高1m/s②,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍?

跟踪演练4某企业常年生产一种出口产品,近年来,该产品的产量平稳增长.记2013年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示:x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=log1找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取2013年和2024年的数据求出相应的解析式.课堂练习1.已知2x=3,log483=y,则x+2y的值为2.若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是()3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是()A.y=0.9576x100 B.y=(0.9576)C.y=0.9576100x D.y=4.(2024全国Ⅲ文)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则()A.flog314B.flog314C.f2-32>fD.f2-23>f核心素养专练A组:基础过关1.设a=log123,b=130.2A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c2.函数y=log12A.[-1,0) B.(0,1] C.(-∞,-1] D.[-1,+∞)3.(2-1)0+169-12+(4.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=-3|x| B.y=xC.y=log3x2 D.y=x-x25.函数y=ax在[0,1]上取得的最大值与最小值的和为3,则a等于()A.12 B.2 C.14 D6.将函数y=2x的图像,经过平移变换后,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像,则所作的平移变换为()A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度C.向上平移1个单位长度D.向下平移1个单位长度B组:实力提升1.已知函数f(x)=12x(x≥4),f(xA.1 B.18 C.1162.已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)在同一坐标系中的图像只可能是()3.已知f(x)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的取值范围是()A.110,1 B.0,C.110,104.若y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围为()A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+∞)5.已知幂函数y=(m2-5m-5)·x2m+1在(0,+∞)上为减函数,则实数m的值为.

6.一片森林原来面积为a,安排每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年削减p%,10年后森林面积变为a2.为爱护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止,森林面积为(1)求p%的值;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?参考答案课堂探究例1解:(1)原式=232-2=2-1×103×10-52=2-1×10(2)原式=12(lg2+lg9-lg10跟踪演练1解:∵log32×log2(log327)=log32×log23=lg2lg3×lg3lg2∴原式=234×214+22×33+1=21+4×27+例2答案:C解析:借助函数的图像求解该不等式.作出函数y=log2(x+1)图像如图.由x得x∴结合图像知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.跟踪演练2B解析:令y1=log2(x+2),y2=-x,分别画出两个函数图像,如图所示.函数y1=log2(x+2)的图像是由函数y1=log2x的图像向左平移2个单位长度得到.函数y2=-x的图像是由幂函数y=x12的图像关于y轴对称得到.由图像可知,明显y1与例3(1)B(2)解:①f(-2)+f(log2