福建省宁德市福鼎第七中学2020年高三数学理模拟试卷含解析

福建省宁德市福鼎第七中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则（?UA）∩B等于（）A．? B．{0，1} C．{1，2} D．{1，2，3}参考答案：C【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式得集合A，根据集合的定义求出?UA以及（?UA）∩B即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，B={x∈N|x≤3}={0，1，2，3}，∴?UA={x|0＜x＜3}，∴（?UA）∩B={1，2}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．2.集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，B={x|x＜﹣1}，则A∩（?RB）等于（）A．{x|x＞﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|﹣1≤x≤3} D．{x|﹣2≤x≤1}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出A，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，?RB={x|x≥﹣1}，∴A∩（?RB）={x|﹣1≤x≤3}．故选：C．【点评】本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题．3.“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知函数，对于任意的两个实数，下列关系不一定成立的是A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，则sin2α的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据二倍角公式即可求得sin2α的值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα=﹣=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．6.复数z满足：（z－i）（1－i）=2．则z=

A．一l－2i

B．一1十2i

C．1—2i

D．1+2i参考答案：7.设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值是A.

B.

C.

D.参考答案：D8.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D9.设的内角所对的边分别为.若，则的形状为（

）A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.不确定参考答案：A10.过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线方

程为A．y＝x

B．y＝－x

C．y＝x

D．y＝－x参考答案：C圆x2＋y2＋4x＋3＝0的圆心为P(－2,0)，半径r＝1，如图所示，过原点的直线l切圆于点A，则PA⊥l，|PA|＝1，|OP|＝2，在Rt△PAO中，∠POA＝30°，∴kl＝tan30°＝，∴l的方程为y＝x.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为_________________.参考答案：略12.某志愿者小组一共有6人，某一天中需要排成上午、下午两个班去参加服务，每班2人，则不同的排法的种数为

。参考答案：答案:9013.平面向量满足，，，，则的最小值为

.参考答案：14.已知，，则的值为________．参考答案：略15.抛物线的准线方程是

.【知识点】抛物线的几何性质

H7参考答案：解析：抛物线的标准方程为：，所以准线方程为：故答案为：.【思路点拨】先将方程化为标准方程，即可得到.16.若命题“存在x∈R，使2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．参考答案：17.已知，，且，则cos=

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）（2016?江西模拟）已知函数f（x）=x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（x）有且只有一个极值点，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范围即可；（2）根据“分界函数”的定义，只需x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判断函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=x2﹣2ax+1，由题意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1个零点，∴g（1）＜0，解得：a＞1；（2）若f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”，则x∈（1，+∞）时，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣）x2﹣2ax+lnx，则h′（x）=，①2a﹣1≤0即a≤时，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，且h（1）=﹣﹣a，∴h（1）≤0，解得：﹣≤a≤；②2a﹣1＞0即a＞时，y=（a﹣）x2﹣2ax的图象开口向上，存在x0＞1，使得（a﹣）﹣2ax0＞0，从而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx=x2﹣2ax+a2lnx，则m′（x）=≥0，m（x）在（1，+∞）递增，由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤，综上，a∈[﹣，]时，f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查新定义问题，是一道综合题．19.已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的定义求出a的值，进而可求b的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）先利用特殊位置，猜想点Q的坐标，再证明一般性也成立即可．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则?=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）?（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．20.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标方程．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l：θ=α（α∈[0，π），ρ∈R）与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|OM|的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用平方关系可得曲线C的普通方程，把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得出．（II）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），可得ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，即可得出．【解答】解：（I）曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0．（II）联立θ=α和ρ2+2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2=0，得ρ2+2ρ（cosα﹣sinα）﹣2=0，设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则ρ1+ρ2=2（cosα﹣sinα）=2，由|OM|=，得|OM|=，当α=时，|OM|取最大值．21.已知函数p（x）=lnx﹣x+4，q（x）=．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）﹣4＜q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线斜率，得到关于a的方程，解出即可；（2）分离参数a，令，求出函数的导数，求出函数的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题知p'（x）=q'（x），即，当x=1￡?p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的极值点，所以公切线的斜率为0，所以p（1）=q（1），lnl﹣1+4=ae，可得．（2）p（x）﹣4＞q（x）等价于，令，则，令φ（x）=x﹣lnx﹣1，则，即φ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．φ（x）min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，所以h（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．，因为解集中有且只有两个整数．22.设函数f（x）=lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，从而求出极小值；（Ⅱ）求出g（x）的表达式，令它为0，则有m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数，求出单调区间得到最值，画出h（x）的图象，由图象即可得到零点个数．【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+，其定义域为（0，+∞）．f′（x）=﹣=令f′（x）=0，x=e．f′（x）＞0，则0＜x＜e；f′（x）＜0，则x＞e．故当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=lne+=2．（Ⅱ）g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，其定义域为（0，+∞）．令g（x）=0，得m=﹣x3+x．设h（x）=﹣x3+x，其定义域为（0，+∞）．则g（x）的零点个数为h（x）与y=m的交点个数．h′（x）=﹣x2+1=﹣（x+1）