北京乙卷高考数学试卷

北京乙卷高考数学试卷一、选择题

1.下列函数中，在实数范围内单调递增的函数是（）

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=\frac{1}{x}$

C.$f(x)=2^x$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，且$f(1)=2$，$f(-1)=0$，$f(2)=4$，则$a$、$b$、$c$的值分别为（）

A.$a=1,b=2,c=1$

B.$a=1,b=-2,c=1$

C.$a=-1,b=2,c=1$

D.$a=-1,b=-2,c=1$

3.在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$d=2$，则$a_9$等于（）

A.17

B.15

C.13

D.11

4.下列各式中，正确的是（）

A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

B.$\lim_{x\to\infty}(2x-1)=\infty$

C.$\lim_{x\to1}(x^2-1)=0$

D.$\lim_{x\to1}(x^2+1)=2$

5.若$\sinx=\frac{3}{5}$，则$\cosx$的值为（）

A.$\frac{4}{5}$

B.$-\frac{4}{5}$

C.$\frac{3}{5}$

D.$-\frac{3}{5}$

6.已知$\triangleABC$中，$\angleA=45^\circ$，$a=2\sqrt{2}$，$b=4$，则$\angleC$的大小为（）

A.$45^\circ$

B.$135^\circ$

C.$30^\circ$

D.$60^\circ$

7.下列各式中，属于不等式的是（）

A.$2x+3=7$

B.$x^2-4>0$

C.$\sqrt{x}$

D.$\frac{1}{x}$

8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(1)$的值为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$0$

9.下列各式中，正确的是（）

A.$\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}$

B.$\int_0^1x^3dx=\frac{1}{4}$

C.$\int_0^1\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}$

D.$\int_0^1x^3dx=\frac{1}{2}$

10.若$a>b$，则下列各式中，正确的是（）

A.$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

B.$a^2>b^2$

C.$a+b>2ab$

D.$a^2+b^2>2ab$

二、判断题

1.在等差数列中，任意两项之和等于这两项的等差中项的两倍。（）

2.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内是连续的。（）

3.如果一个数列的极限存在，则这个数列是收敛的。（）

4.在直角坐标系中，所有通过原点的直线方程都可以表示为$y=kx$的形式，其中$k$是直线的斜率。（）

5.如果一个函数在某一点可导，则该点处的导数存在。（）

三、填空题

1.若$f(x)=x^3-6x^2+9x$，则$f'(0)$的值为______。

2.在$\triangleABC$中，若$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{4}{5}$，且$A+B+C=180^\circ$，则$\sinC$的值为______。

3.设函数$f(x)=e^{2x}$，则$f'(x)$的导数为______。

4.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=5$，公差$d=3$，则第$10$项$a_{10}$的值为______。

5.二项式$(x+2)^5$展开后，$x^3$项的系数为______。

四、简答题

1.简述函数的可导性与连续性的关系，并举例说明。

2.解释什么是等差数列，并给出一个等差数列的通项公式。

3.简要说明如何使用三角恒等变换来化简三角函数的表达式。

4.请描述极限的概念，并给出一个极限存在的例子。

5.说明如何求解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，并解释其解的判别式$b^2-4ac$的意义。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx$。

2.解一元二次方程$2x^2-4x-6=0$，并写出其解的判别式。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项为$a_1=2$，$a_2=5$，$a_3=8$，求第$10$项$a_{10}$的值。

4.若函数$f(x)=e^{x^2}$，求$f'(1)$的值。

5.在直角坐标系中，已知点$A(1,2)$和$B(4,6)$，求直线$AB$的方程。

开篇直接输出：

六、案例分析题

1.案例分析：某公司生产一种产品，其成本函数为$C(x)=5x+1000$，其中$x$为生产的数量。若每单位产品的售价为$10$元，求该公司的利润函数$P(x)$，并求出当生产$100$单位产品时的利润。

2.案例分析：某城市人口随时间$t$的变化可以用函数$P(t)=2000+5t-t^2$来描述，其中$t$以年为单位。求该城市在$t=0$年和$t=10$年时的人口数量。

七、应用题

1.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为$3$米、$4$米和$5$米，求这个长方体的体积和表面积。

2.应用题：一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶，在$2$小时内行驶了多少公里？如果以相同的速度行驶，求行驶$100$公里需要多少小时。

3.应用题：一个班级有$30$名学生，其中有$20$名女生。如果从该班级中随机抽取$5$名学生参加比赛，求抽取的$5$名学生中至少有$2$名女生的概率。

4.应用题：某工厂生产一种产品，每件产品的直接成本为$10$元，固定成本为$1000$元。如果售价定为$15$元，求该工厂每天至少需要生产多少件产品才能保证不亏损。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

6.D

7.B

8.A

9.A

10.D

二、判断题答案：

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.$f'(0)=-6$

2.$\sinC=\frac{4}{5}$

3.$f'(x)=2e^{2x}$

4.$a_{10}=5+(10-1)\times3=32$

5.$x^3$项的系数为$10\times2^4=160$

四、简答题答案：

1.函数的可导性是指函数在某一点的导数存在，而连续性是指函数在该点的极限存在且等于函数值。如果函数在某一点可导，那么该点必然连续，但连续不一定可导。例如，函数$f(x)=|x|$在$x=0$处连续，但不可导。

2.等差数列是指每一项与它前一项之差相等的数列。通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。

3.三角恒等变换是利用三角函数的基本关系进行化简的技巧，如和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。例如，$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$。

4.极限的概念是当自变量的值趋近于某一特定值时，函数值趋近于某一固定值。例如，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$表示当$x$趋近于$0$时，$\frac{\sinx}{x}$的值趋近于$1$。

5.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解可以用公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$来求解。判别式$b^2-4ac$的值可以判断方程的解的性质，当$b^2-4ac>0$时，方程有两个不相等的实数解。

五、计算题答案：

1.$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=(1^3-1^2+1)-(0^3-0^2+0)=1$

2.$2x^2-4x-6=0$的解为$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{4}=\frac{4\pm8}{4}$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，判别式$b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=16+48=64$。

3.$a_{10}=a_1+(10-1)d=2+9\times3=29$。

4.$f'(x)=2e^{2x}$的导数为$f''(x)=4e^{2x}$。

5.直线$AB$的斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6-2}{4-1}=1$，因此直线方程为$y-2=1(x-1)$，即$y=x+1$。

七、应用题答案：

1.长方体的体积$V=长\times宽\times高=3\times4\times5=60$立方米，表面积$S=2(长\times宽+长\times高+宽\times高)=2(3\times4+3\times5+4\times5)=2(12+15+20)=94$平方米。

2.行驶$2$小时行驶的距离$D=60\times2=120$公里，行驶$100$公里需要的时间$T=\frac{100}{60}\approx1.67$小时。

3.至少有$2$名女生的概率为$1-P(0\text{名女生})-P(1\text{名女生})$，其中$P(0\text{名女生})=\frac{C(10,5)}{C(30,5)}$，$P(1\text{名女生})=\frac{C(10,4)\cdotC(20,1)}{C(30,5)}$，计算得到概率。

4.每天生产$x$件产品时的利润为$P(x)=(15-10)x-1000=5x-1000$，要保证不亏损，即$P(x)\geq0$，解不等式$5x-1000\geq0$得到$x\geq200$，因此至少需要生产$200$件产品。

知识点总结：

1.函数的导数和积分

2.等差数列和等比数列

3.三角函数及其恒等变换

4.极限的概念和计算

5.一元二次方程的求解

6.直线方程和函数图像

7.概率计算

8.应用题的解决方法

各题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察对基本概念和公式的理解和应用能力，如函数的导数、积分、三角函数、不等式等。

2.判断题：考察对基本概念和公式的理解和辨析能力，如函数的连