2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价二十四简单幂函数的图象和性质含解析北师大版必修1

PAGE6-课时素养评价二十四简洁幂函数的图象和性质(15分钟35分)1.下列结论正确的是 ()A.幂函数图象肯定过原点B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数C.当α>1时,幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点,故A不正确;y=x-1在(-∞,0)及(0,+∞)上是减函数,故B不正确;函数y=x2在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点12,2,则A.12 B.1 C.32【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点12,2,所以k=1,f12=12α=2,即α=-3.在下列四个图形中,y=x-1【解析】选D.函数y=x-124.幂函数的图象过点(3,3),则它的单调递增区间是 ()A.[-1,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα,因为幂函数的图象过点(3,3),所以f(3)=3α=3=312,解得α=12,所以f(x)=x5.(2024·北京高一检测)假如幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),则f(x)在定义域内 ()A.为增函数 B.为减函数C.有最小值 D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,4),所以f(2)=2a=4,解得a=2,所以f(x)=x2所以f(x)在定义域先递减再递增,有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是.

【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0.答案:(-∞,0)6.已知幂函数f(x)=x-m2-2①在区间(0,+∞)上单调递增;②对随意的x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.求幂函数f(x)的解析式,并求当x∈0,4时,f(x)【解析】因为函数在0,所以-m2-2m+3>0,解得:-3<m<1.因为-2<m<2,m∈Z,所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时,-m2-2m+3=4满意题意,当m=0时,-m2-2m+3=3不满意题意,所以f(x)=x4,所以f(x)在0,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,所以值域是0,(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.(2024·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1A.2 B.3 C.4 D.2或【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)xm2-3m+1为幂函数,所以m22.下列命题中,不正确的是 ()A.幂函数y=x-1是奇函数B.幂函数y=x2是偶函数C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数D.y=x12既不是奇函数【解析】选C.因为x-1=1x,1-x=-1x,所以A正确;(-x)2=x2,所以B正确;-x=x不恒成立,所以C不正确;y=3.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x;⑤f(x)=1x.f(x1+x22)>f(xA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解题指南】解决该题的关键是正确理解fx1+x22>f(x【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,fx1+x②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,fx1+x③在第一象限,函数f(x)=x3的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,fx1+x④函数f(x)=x的图象是凸形曲线,故当x1>x2>0时,fx1+x⑤在第一象限,函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线,故当x1>x2fx1+x故仅有函数f(x)=x满意当x1>x2>0时,fx1+x二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.下列函数中,其定义域和值域相同的函数是 ()A.y=x13 B.y=x-12 【解析】选A、B、C.A中y=x13=3x,定义域、值域都为R;B中y=x-12=1x定义域与值域都为(0,+∞);C中y=x三、填空题(每小题5分,共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-2是幂函数,且在【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)xm令m2-m-1=1,得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1;当m=2时,m2-2m-2=-2,函数f(x)=x-2,在(0,+∞)上单调递减,满意题意;当m=-1时,m2-2m-2=1,函数f(x)=x,在(0,+∞)上单调递增,不满意题意;所以实数m=2.答案:26.已知幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)【解析】因为幂函数f(x)=x-m2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,则指数是偶数且大于0,因为-m因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:16四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)经过点(2,2),试确定m【解析】因为幂函数f(