2025年教科新版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年教科新版高二数学下册月考试卷625考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、直线x=3的斜率是（）

A.1

B.0

C.3

D.不存在。

2、设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围是(），则点横坐标的取值范围为（）A.B.C.D.3、若二项式()展开式的常数项为20，则的值为A.B.C.D.4、在右侧程序框图中,输入按程序运行后输出的结果是()A.100B.210C.265D.3205、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）A.B.4C.D.26、已知直线（a-2）x+ay-1=0与直线2x+3y+5=0垂直，则a的值为（）A.-6B.6C.-D.7、已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可以表示为7+9+11，我们把7，9，11叫做33的“质数因子”，若n3的一个“质数因子”为2013，则n为（）A.43B.44C.45D.468、已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)

的两个焦点分别为F1F2

若椭圆上不存在点P

使得隆脧F1PF2

是钝角，则椭圆离心率的取值范围是(

)

A.(0,22]

B.[22,1)

C.(0,12)

D.[12,1)

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、已知函数f（x）=则f（5）=____．10、已知集合A={y|y=2x，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=____．11、整数630的正约数（包括1和630）共有____个．12、已知点P（x，y）满足设A（2，0），则（O为坐标原点）的最大值为____．13、当时，程序段输出的结果是____14、设定义子在上的函数满足若则的值为15、【题文】已知且则____．16、若下列两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是____17、下列四个命题正确的是____．（填上所有正确命题的序号）

①∀x∈R，x2﹣x+≥0；

②所有正方形都是矩形；

③∃x∈R，x2+2x+2≤0；

④至少有一个实数x，使x3+1=0．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)24、已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞）恒有且当x＞1时，f（x）＜0．

（1）求f（1）的值；

（2）证明：函数f（x）在区间（0；+∞）上为单调递减函数；

（3）若f（3）=-1；

（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3x）＜-2．

25、【题文】已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）在中，分别是A、B、C的对边，若的面积为求的值.26、【题文】12分）某城市有一块不规则的绿地如图所示；城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李；小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=14，BC=10,AC=16,∠C=∠D．

(I)求AB的长度；

(Ⅱ)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．27、设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时；求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）当a=时；求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．评卷人得分五、计算题(共1题，共6分)28、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

因为直线x=3与x轴垂直；所以直线的倾斜角是90°，斜率不存在．

故选D．

【解析】【答案】通过直线方程；直接判断直线的斜率即可．

2、B【分析】试题分析：设点的横坐标为由题意，得．又由导数的几何意义，得（为点处切线的倾斜角）．又∵(），∴∴故选B．考点：1、导数的几何意义；2、正切函数的取值．【解析】【答案】B3、B【分析】试题分析：由二项式定理可知展开式中的常数项是所以因此答案为B。考点：二项式定理【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】试题分析：分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S值，模拟程序的运行过程，将变量在程序运行过程的值进行分析，并根据分析结果给出程序的实际功能，便不难得到答案．【解析】

由于程序中根据K的取值，产生的T值也不同，故可将程序中的T值从小到到，每四个分为一组，即（1，2，3，4），（5，6，7，8），，∵当K为偶数时T=当为偶数，即K=4n+3，n∈Z时，T=否则，即K=4n+1，n∈Z时T=-故可知：每组的4个数中，偶数值乘以累加至S，但两个奇数对应的K值相互抵消，即S=（2+4++40）=故选B考点：流程图【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同；宽是底面正三角形的高的矩形．由三棱柱的正视图的高为2；可得其侧视图的高也为2．

∵底面是边长为2的正三角形，∴其高为．

∴此三棱柱侧视图的面积=2×=2．

故选D．

【分析】由正视图得到三视图的高，也即其侧视图的高；底面正三角形的高即为侧视图的宽，据以上分析可求出此三棱柱的侧视图的面积．6、D【分析】解：∵直线（a-2x）+ay-1≠0与直线2x+3y+5=0垂直；则此两条直线的斜率都存在．

∴×=-1；

解得a=．

故选：D．

利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．

本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】D7、C【分析】解：由题意知，n3可表示为n个连续奇数的和；且所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的；

所以前n个正整数的三次幂的“数因子”共有1+2+3++n=个；

因为2015=2×1008-1；故2015是第1008个奇数；

而=990＜1008，=1035＞1008；

所以443的最大“数因子”是第990个奇数，453的最大“数因子”是第1035个奇数；

故第1008个奇数：2015应是453的一个“数因子”；

故选：C．

由题意和等差数列的前n项和公式，求出前n个正整数的三次幂的“数因子”的个数是再判断出2015是第1008个奇数，再由条件和特值法判断出2015应是453的一个“数因子”．

本题考查了新定义的应用，归纳推理，等差数列的前n项和公式，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．【解析】【答案】C8、A【分析】解：隆脽

点P

取端轴的一个端点时；使得隆脧F1PF2

是最大角．

已知椭圆上不存在点P

使得隆脧F1PF2

是钝角，隆脿b鈮�c

可得a2鈭�c2鈮�c2

可得：a鈮�2c

．

隆脿0<e鈮�22

．

故选：A

．

点P

取端轴的一个端点时，使得隆脧F1PF2

是最大角.

已知椭圆上不存在点P

使得隆脧F1PF2

是钝角，可得b鈮�c

利用离心率计算公式即可得出．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

∵当x≥4时；f（x）=f（x-1）

∴f（5）=f（4）=f（3）

而当x＜4时，f（x）=2x

∴f（5）=f（3）=23=8

故答案为：8．

【解析】【答案】此是分段函数求值；当x≥4时，所给表达式是一递推关系，其步长为1，故可由此关系逐步转化求f（5）的值．

10、略

【分析】

∵集合A={y|y=2x；x∈R}={y|y＞0}=（0，+∞）；

B={y|y=x2；x∈R}={y|y≥0}=[0，+∞）；

∴A∩B=（0；+∞）；

故答案为（0；+∞）．

【解析】【答案】根据指数函数的值域求得A；根据二次函数的值域求得B，再利用两个集合的交集的定义求得A∩B．

11、略

【分析】

首先将630分解质因数630=2×32×5×7；

然后注意到每一因数可出现的次幂数，如2可有2，21两种情况；

3有3，31，32三种情况；

5有5，51两种情况，7有7，71两种情况；

按分步计数原理；整数630的正约数（包括1和630）共有2×3×2×2=24个．

故答案为：24．

【解析】【答案】通过630分解质因数630=2×32×5×7；利用每一因数可出现的次幂数；求出整数630的正约数．

12、略

【分析】

画出点P（x，y）满足可行域；

根据题意；

分析可得：

表示的是点P的纵坐标；

由图知，可行域中最上面的点（1，）的纵坐标最大；

故答案为：

【解析】【答案】画出不等式组的可行域；判断出目标函数的几何意义，结合图象得到最大值．

13、略

【分析】【解析】试题分析：根据程序可知，因为所以考点：本小题注意考查条件语句的执行.【解析】【答案】14、略

【分析】由得所以【解析】【答案】215、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以

考点：1同角三角函数基本关系式；2三角函数的符号问题。【解析】【答案】16、（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）【分析】【解答】解：当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时；

（a﹣1）2﹣4a2＜0①，且4a2﹣4（﹣2a）＜0②．

解①求得a＜﹣1，或a＞解②求得﹣2＜a＜0．

可得此时实数a的取值范围为（﹣2；﹣1）．

故当a∈（﹣∞；﹣2]∪[﹣1，+∞）时；

两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0中至少有一个方程有实数根；

故答案为：（﹣∞；﹣2]∪[﹣1，+∞）．

【分析】先求出当两个方程x2+（a﹣1）x+a2=0和x2+2ax﹣2a=0都没有实数根时a的范围，再取补集，即得所求．17、①②④【分析】【解答】解：①∀x∈R，x2﹣x+=（x+）2≥0恒成立；故正确；

②所有正方形都是矩形；故正确；

③∃x∈R，x2+2x+2=（x+1）2+1≥1恒成立；故错误；

④至少有一个实数x=﹣1，使x3+1=0；故正确．

故答案为：①②④．

【分析】根据二次函数的图象和性质，可判断①③；根据矩形和正方形的定义，可判断②；根据三次函数的图象和性质，可判断④；三、作图题(共6题，共12分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共8分)24、略

【分析】

（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有

令x1=x2=1；代入上式解得f（1）=0；

（2）设x2＞x1＞0，则

∵x2＞x1＞0，∴∴＜0；

即f（x2）-f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）

∴f（x）在（0；+∞）上是减函数．

（3）∵f（3）=-1；∴f（9）=f（3）+f（3）=-2；

∴不等式f（3x）＜-2可化为f（3x）＜f（9）；

又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3x＞9；

即3x＞32；解得：x＞2；

即不等式的解集为（2；+∞）．

【解析】【答案】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=1求出f（1）=0；

（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用且＜0；判断符号并得出结论；

（3）根据题意，把不等式转化为f（3x）＜f（9），再由（2）的结论知3x＞9；故解此不等式即可．

25、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由已知条件由三角恒等变换化简得可得最小正周期为（2）先由得再由的面积为得到最后可由余弦定理可得

试题解析：（1）

3分。

5分。

（2）由

又的内角，

8分。

10分。

12分。

考点：1.三角恒等变换；2.正、余弦定理的应用；3.解三角形【解析】【答案】（1）（2）26、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）在△ABC中；由余弦定理得cosC的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD的值，由∠C=∠D得cosC=cosD，求得AB=7，从而得出结论．

（Ⅱ）小李的设计符合要求，因为由条件可得S△ABD＞S△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等边三角形．由此求得S△ABC的值；再乘以5000，即得所求．

解：（Ⅰ）在中；由余弦定理得。

①

在中，由余弦定理及整理得。

②4分。

由①②得：

整理可得6分。

又为三角形的内角，所以

又所以是等边三角形；

故即A；B两点的距离为14.8分。

（Ⅱ）____的设计符合要求.理由如下：

因为12分。

所以

考点：本试题主要考查了余弦定理的应用；考查三角形面积的计算，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题。

点评：解决该试题的关键是能灵活运用余弦定理得到cosD的值。【解析】【答案】（Ⅰ）A、B两点的距离为14.（Ⅱ）27、解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），{#mathml#}f′(x)=1x−a−1−ax2

{#/mathml#}（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，{#mathml#}f′(x)=1x−1

{#/mathml#}，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（Ⅱ）{#mathml#}f′(x)=−x2−3x+23x2

{#/mathml#}={#mathml#}(x−1)(x−2)3x2

{#/mathml#}令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当{#mathml#}a=13

{#/mathml#}时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（Ⅲ）当{#mathml#}a=13

{#/mathml#}时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=-{#mathml#}23

{#/mathml#}若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-{#mathml#}23

{#/mathml#}（*）又{#mathml#}g(x)=x2−2bx−512=(x−b)2−b2−512

{#/mathml#}，x∈[0，1]②当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，{#mathml#}[g(x)]min=g(0)=−512>−23

{#/mathml#}与（*）矛盾②当0≤b≤1时，{#mathml#}[g(x)]min=g(b)=−b2−512

{#/mathml#}，由{#mathml#}−b2−512≤−23

{#/mathml#}及0≤b≤1得，{#mathml#}12≤b≤1

{#/mathml#}③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，{#mathml#}