2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b；c}的不同集合B共有（）

A.1个。

B.2个。

C.3个。

D.4个。

2、椭圆的两个焦点分别为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.3、已知函数则不等式的解集是（）A.B.C.D.4、【题文】设若是与的等比中项，则的最小值为（）A.8B.9C.4D.5、【题文】复数等于A.B.C.D.6、设函数观察：根据以上事实，由归纳推理可得当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f（fn﹣1（x））=（）A.B.C.D.7、设双曲线的-个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8、设A，B为两个事件，已知P（A）=P（AB）=则P（B|A）=（）A.B.C.D.9、在空间给出下列命题(

设娄脕娄脗

表示平面；l

表示直线，ABC

表示点)

其中真命题有(

)

(1)

若A隆脢lA隆脢娄脕B隆脢娄脕B隆脢l

则l?娄脕

(2)A隆脢娄脕A隆脢娄脗B隆脢娄脕B隆脢娄脗

则娄脕隆脡娄脗=AB

(3)

若l?娄脕A隆脢l

则A?娄脕

(4)

若ABC隆脢娄脕ABC隆脢娄脗

且ABC

不共线，则娄脕

与娄脗

重合．A.1

个B.2

个C.3

个D.4

个评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、（1）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件.（2）“”是在区间上为增函数”的充要条件.（3）已知命题使得使得．则是真命题.（4）设分别是的内角的对边,若则是的必要不充分条件.其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11、下列各命题中正确命题的序号是____

①将的图象向右平移个单位长度；即得到函数y=sin2x的图象；

②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；

③“函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件是“”．12、【题文】已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于则该双曲线的方程为________．13、【题文】的值为________.14、函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为____．15、设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（-1＜ξ＜0）=______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共9分)23、如图，边长为的等边△所在的平面垂直于矩形所在的平面，为的中点．（1）证明：（2）求二面角的大小．评卷人得分五、计算题(共2题，共10分)24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、已知a为实数，求导数评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

∵A={a，b}，且A∪B={a，b；c}；

∴B可能为{c}或{a，c}或{b，c}或{a，b；c}；

则满足条件的集合B共有4个．

故选D

【解析】【答案】由集合A及A∪B；得到元素c一定属于集合B，列举出集合B的所有可能，即可得到满足题意集合B的个数．

2、C【分析】试题解析：依题设所求椭圆为又∴又∴所求椭圆方程为故选C考点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程【解析】【答案】C．3、A【分析】【解析】

因为已知函数则不等式分情况解得到为选A【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于设若是与的等比中项，可知那么可知当b=2a时成立；故选B.

考点：等比数列。

点评：主要是考查数列的等比性质的由于，以及基本不等式求解最值，属于基础题。【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、C【分析】【解答】解：观察：所给的函数式的分子不变都是x；

而分母是由两部分的和组成；

第一部分的系数分别是1，3，7，152n﹣1；

第二部分的数分别是2，4，8，162n

∴fn（x）=f（fn﹣1（x））=

故答案为：C

【分析】观察所给的前四项的结构特点，先观察分子，只有一项组成，并且没有变化，在观察分母，有两部分组成，是一个一次函数，根据一次函数的一次项系数与常数项的变化特点，得到结果．7、D【分析】解：设双曲线方程为

则F（c，0），B（0，b）

直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直；

所以即b2=ac

所以c2-a2=ac，即e2-e-1=0；

所以或（舍去）

先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为-1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式；则双曲线的离心率可得．

本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．【解析】【答案】D8、A【分析】解：由条件概率的计算公式，可得P（B|A）==

故选：A．．

由条件概率的计算公式P（B|A）==根据题意，代入数据计算可得答案．

本题考查条件概率的计算公式，是基础题；需要牢记条件概率的公式．【解析】【答案】A9、C【分析】解：在(1)

中；若A隆脢lA隆脢娄脕B隆脢娄脕B隆脢l

则由公理一知l?娄脕

故(1)

正确；

在(2)

中；A隆脢娄脕A隆脢娄脗B隆脢娄脕B隆脢娄脗

则由公理二知娄脕隆脡娄脗=AB

故(2)

正确；

在(3)

中；若l?娄脕A隆脢l

则A?娄脕

或A隆脢娄脕

故(3)

错误；

在(4)

中；若ABC隆脢娄脕ABC隆脢娄脗

且ABC

不共线；

则由公理二得娄脕

与娄脗

重合；故(4)

正确．

故选：C

．

在(1)

中；由公理一知l?娄脕

在(2)

中，由公理二知娄脕隆脡娄脗=AB

在(3)

中，A?娄脕

或A隆脢娄脕

在(4)

中，由公理二得娄脕

与娄脗

重合．

本题考查平面的基本性质及推论的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】试题分析：由题可知，当时，函数在区间上为增函数，若函数在区间上为增函数，则a的取值范围为故“”是函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；命题为假命题，命题为真命题，故是假命题；故错误；考点：正弦定理以及基本逻辑用语【解析】【答案】①④11、略

【分析】

①将的图象向右平移个单位长度，即得到函数=sin2x的图象；所以①正确；

②命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；满足特称命题的否定是全称命题的形式；所以②正确；

③“函数f（x）=cos2ax-sin2ax=cos2ax，它的最小正周期为π，所以所以a=±1”；

所以“函数f（x）=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；正确；

④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件是“”．显然两个向量的夹角是π满足题意；所以判断不正确；

正确命题是①②③．

故答案为：①②③．

【解析】【答案】利用函数的图象的平移判断①的正误；特称命题的否定判断②的正误；求出函数的周期判断③的正误；利用向量的数量积与夹角的关系判断④的正误．

12、略

【分析】【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝可得a＝结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.【解析】【答案】5x2－y2＝1.13、略

【分析】【解析】

试题分析：根据同角三角函数基本关系式

考点：同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值.【解析】【答案】14、-1【分析】【解答】解：由题意得f′（x）=+1

因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值；

所以f′（1）=0；即a+1=0，所以a=﹣1．

故答案为﹣1．

【分析】由题意得求出函数的导数f′（x）=+1，因为函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，所以f′（1）=0进而可以求出答案．15、略

【分析】解：∵随机变量ξ～N（0，1），P（ξ＞1）=p，

∴画出正态分布N（0；1）的密度函数的图象如图：

由图象的对称性可得；

∵ξ～N（0；1）；

∴P（-1＜ξ＜0）

=P（0＜ξ＜1）

∵P（ξ≥1）=p；

∴P（0＜ξ＜1）=-p；

∴P（-1＜ξ＜0）=-p．

故答案为：p．

随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），知正态曲线关于x=0对称，根据P（ξ≥1）=p，得到P（1＞ξ＞0）=-p；再根据对称性写出要求概率．

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现在选择或填空中．【解析】-p三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共9分)23、略

【分析】【解析】试题分析：证明：（1）以点为原点，分别以直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系依题意，可得∴∴即∴．6分（2）设且平面则即∴即取得取显然平面ABCD，∴结合图形可知，二面角为．12分考点：二面角，垂直的证明【解析】【答案】（1）能利用已知建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标，进而证明即可。（2）五、计算题(共2题，共10分)24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：【分析】【分析】由原式得∴六、综合题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．27、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y29=1

{#/mathml#}【分析】【解答】1、由题设条件知，点M的坐标为（），又