【压轴专练】专题06 乘法公式的四种题型大全（解析版）-2021-2022学年八上压轴题攻略

专题06乘法公式的四种题型大全类型一、平方差公式与几何图形综合例1．乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是________；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是________，面积是________；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式________；（用含a，b的式子表示）（4）小明展示了以下例题：计算：．解：原式=……．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：．【答案】（1）a2-b2；（2）a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）332【详解】解：（1）大的正方形边长为a，面积为a2，小正方形边长为b，面积为b2，因为阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，阴影部分面积=a2-b2，故答案为：a2-b2；（2）拼成矩形的长是a+b，宽是a-b，面积是（a+b）（a-b），故答案为：a-b，a+b，（a+b）（a-b）；（3）因为图1的阴影部分与图2面积相等，所以a2-b2=（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；（4）原式=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（34-1）（34+1）（38+1）（316+1）+1=（38-1）（38+1）（316+1）+1=（316-1）（316+1）+1=332-1+1=332.故答案为：332．【变式训练1】下面的图是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．把图剪开后，再拼成一个长方形，可以用来验证公式：．（1）（操作）用两种方法对所给图进行剪拼．要求：①在原图上画剪切线（用虚线表示）；②拼成四边形，在右侧画出示意图；③在拼出的图形上标出已知的边长．（剪切方法一）（剪切方法二）（2）（验证）选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程．（3）（延伸）给你提供数量足够多的长为a，宽为b的长方形，请你通过构图来验证恒等式：．（画出示意图）【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解【详解】解：（1）剪切方法一：剪切方法二：（2）利用图①证明，因为拼接前后的两个图形面积相等，拼接前的面积＝a2−b2，拼接后的面积＝（a−b）（a＋b），所以a2−b2＝（a−b）（a＋b）；（3）如图所示：上述图形的面积，可以验证：．【变式训练2】从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．A．B．C．（2）若，，求的值；（3）计算：．【答案】（1）B；（2）；（3）【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：，

上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）∵，∵∴（3）【变式训练3】（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是______；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是_________；（2）由（1）可以得到一个乘法公式是________；（3）利用你得到的公式计算：．【答案】（1）a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）1【详解】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）20212-2022×2020=20212-（2021+1）（2021-1）=20212-20212+1=1．类型二、完全平方公式变形例．已知，求与的值．【答案】【详解】，,，,．【变式训练1】已知，求的值．【答案】34【详解】解：根据非负性，得：，，，，，的值是34．【变式训练2】已知，求（1）的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴．【变式训练3】若把代数式化成的形式，其中，为常数，则______．【答案】【详解】解：∵＝x2−2x＋1−3＝（x−1）2−3，∴m＝−1，k＝−3，∴m＋k＝−4．故答案为：−4．类型三、完全平方公式字母的值例1．当k取何值时，是一个完全平方式？【答案】【详解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，∴﹣k＝±2×10×7，∴k＝±140，即当k＝±140时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式．【变式训练1】如果是一个完全平方公式，求k的值．【答案】．【详解】由题意得：，即，则解得．【变式训练2】若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数．例如：0＝02，1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，25＝52，36＝62，121＝112…．（1）若28+210+2n是完全平方数，求n的值．（2）若一个正整数，它加上61是一个完全平方数，当减去11是另一个完全平方数，写所有符合的正整数．【答案】（1）n＝4或n＝10；（2）所有符合的正整数是20、60或300．【详解】（1）解：∵a2+b2+2ab＝（a+b）2，∴若28＝a2，210＝b2，则a＝24，b＝25，2n＝2ab＝210，解得：n＝10若28＝a2，210＝2ab，所以b＝25，则2n＝b2＝210，解得：n＝10，若210＝a2，28＝2ab，所以b＝22，则2n＝b2＝24，解得：n＝4，所以n＝4或n＝10；（2）解：设正整数为x，则x+61＝a2，x﹣11＝b2（a＞b，且a，b是正整数），则a2﹣b2＝x+61﹣x+11＝72，故（a+b）（a﹣b）＝72，由于a+b与a﹣b同奇偶，故或或者，当时,解得：，∴x＝b2+11＝60；当时，解得：，∴x＝b2+11＝300；当时，解得：，∴x＝b2+11＝20．所以所有符合的正整数是20、60或300．类型四、完全平方公式与几何图形例1.数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形．（1）仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是____．（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①3，②【详解】解：（1）．（2）①，．．，．②设，则，．，．．．．即．．【变式训练1】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy=，则x-y=；（3）拓展应用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【答案】（1）；（2）或；（3）【详解】解：（1）由图知：（2）∵，∴∵，∴，∴或，故答案为：或（3）∵且，∴【变式训练2】数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：_________________；方法2∶_________________．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?（3）①已知，，请利用（2）中的等式，求的值．②已知，，请利用（2）中的等式，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①；②1【详解】解：（）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，∴阴影部分面积=；方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积∴阴影部分面积=．故答案为：，；（）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，∴；（）①∵，，，∴，∴；②，，，∴，∴．【变式训练3】阅读理解，解答下列问题：利用平面图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．（1）例如，根据下图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2根据图②能得到的数学公式是__________．（2）如图③，请写出（a＋b）、（a﹣b）、ab之间的等量关系是__________（3）利用（2）的结论，解决问题：已知x＋y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值．（4）根据图④，写出一个等式：__________．（5）小明同学用图⑤中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片，用这些纸片恰好拼出一个面积为（3a＋b）（a＋3b）长方形，请画出图形，并指出x＋y＋z的值．类似地，利用立体图形中体积的等量关系也可以得到某些数学公式．（6）根据图⑥，写出一个等式：___________．【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab；（3）56；（4）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（5）画图见解析，16；（6）（a＋b）3＝a2＋b2＋3a2b＋3ab2【详解】（1）根据图②各个部分面积之间的关系可得：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2；（2）图③中，大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个长方形的面积为ab，，故答案为：；利用（2）的结论，可知，x＋y＝8，xy＝2，（x﹣y）2＝（x＋y）2﹣4xy＝64﹣8＝56；（4）根据图④，大正方形的面积可表示为（a＋b＋c）2，内部9块的面积分别为：，（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋