人教A版（2019）高中数学必修第二册10.2事件的相互独立性【课件】【课件】

10.2 事件的相互独立性主讲人：索云旺学 科：数学（人教版）学

校：北京市第八十中学年 级：高一下学期高中数学本节学习目标任务与学习指导本节的知识结构框图如下：

事件A和B独立的直观意义事件A和B相互独立的定义探究事件A和B独立的性质利用事件独立及性质求概率从知识结构框图可以看出本节的目标任务为：能利用事件

A

和事件

B

独立的直观意义或定义判断事件的独立性，生成个人利用独立性定义及其性质计算积事件的概率或一些复杂事件的概率的方法.高中数学本节的学习，希望同学们有整体的思考意识，明白人类是为了解决什么问题而发现与创造的本节的知识、方法，又是如何运用这些知识解决实际问题的，能在理解人类发现与创造的基础上，实施你们自己的再发现与再创造，能针对具体问题提出你们个人的想法，并在实际问题的求解过程中验证你们的想法，从而生成你们自己的概率知识、方法，并整合、更新自己的知识方法体系，提升自己的智慧!本节学习目标任务与学习指导高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题

1下面两个随机试验各定义了一对随机事件

A

和

B

.

试验

1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，

A

=“第一枚硬币正面朝上”，

B

=“第二枚硬币反面朝上”.

试验

2：一个袋子中装有标号分别是

1，2，3，4

的

4

个球，除标号外没有其他差异.

采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.

设

A

=“第一次摸到球的标号小于

3”，

B

=“第二次摸到球的标号小于

3”.

探究

1

你认为两个随机试验中事件

A

和

B

是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件

A

和

B

的关系下一个定义吗？

高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题

1探究

1

你认为两个随机试验中事件

A

和

B

是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件的关系用什么“词语”表达比较好呢？你能给你认为的事件

A

和

B

的关系下一个定义吗？

答：不是互斥事件，因为事件

A

和

B

互斥是指事件

A

和

B

在一次试验中不能同时发生，而这里的这两个事件可以同时发生；

用“独立”词语表达两事件

A

和

B

关系比较合适；

高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程情境与问题

1显然，对于试验

1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件

A

发生与否不影响事件

B

发生的概率.

对于试验

2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响所以事件

A

发生与否也不影响事件B

发生的概率.高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程相互独立事件的定义

1：事件

A

（或

B

）发生与否不影响事件B

（或

A

）发生的概率则称事件

A

和

B

是相互独立事件.

高中数学判断题：下列事件哪些是相互独立的？

①篮球比赛的“罚球两次”中，

事件

A

：第一次罚球，球进了.

事件

B

：第二次罚球，球进了.②篮球比赛的“一加一罚球”中，

事件

A

：第一次罚球，球进了.

事件

B

：第二次罚球，球进了.③袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.事件

A

：从中任取一个球是白球.

事件

B

：第二次从中任取一个球是白球.④袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.事件

A

：从中任取一个球是白球.

事件

B

：第二次从中任取一个球是白球.⑤在④题中，事件

A

与

B

，

A

与

B

，

A

与

B

是否相互独立？

一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程答：①④两题中事件

A

与事件

B

相互独立；

②③两题中事件

A

与事件

B

不相互独立；⑤题中事件

A

与

B

，

A

与

B

，

A

与

B

也相互独立.由此可得到结论：若事件

A和

B

是相互独立事件，则事件

A与

B

，A

与

B

，A

与

B

也相互独立.我们将其称为事件

A

和

B

相互独立的性质.

高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程探究

2 我们前面的研究知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(

A

B)

P(

A)

P(B)

，那么，你能否猜测相互独立事件

A

与

B

同时发生的概率公式呢？答：猜测相互独立事件

A

与

B

同时发生的概率公式为：P(

AB)

P(

A)P(B).

高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程在试验

1

中，用

1

表示硬币“正面朝上”，用

0

表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω

{(1

，1)

，(1，0)

，(0

，1)

，(0

，0)}，包含

4

个等可能的样本点.A

{(1，1)

，(1，0)}，B

{(1，0)

，(0

，0)},

AB

{(1，0)

}.

用古典概型概率计算公式，得P(A)

P(B)

1，P(AB)

1

.2 4于是P(

AB)

P(

A)P(B).积事件

AB

的概率

P(

AB)

恰好等于

P(

A)

与

P(B)

的乘积.高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程在试验

2

中，样本空间Ω

{(m

，n)

|

m

，n

{1，2

，3

，4}}，而A

{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2

，4)}，B

{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4

，2)}，AB

{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}

，所以P(A)

P(B)

1，P(AB)

1

.2 4于是也有P(

AB)

P(

A)P(B).积事件

AB

的概率

P(

AB)

也等于

P(

A)

与

P(B)

的乘积.高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程这两个随机试验都满足：事件

A

和

B

同时发生的概率是它们各自发生概率的乘积．对上述两个试验的共同属性进一步抽象概括，我们对具有这种概率关系的两个事件称为“相互独立”.

相互独立事件的定义

2：对任意两个事件

A

和

B

，如果

P(AB)

P(A)P(B)

成立，则称事件

A

与事件

B

相互独立，简称为独立．高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程小结：以上我们给出了相互独立事件的两个定义，定义

1

是两个事件相互独立的直观意义，是定性地对两个事件独立性做出判断，这就是所谓的凭直觉判断.定义

2

是两个事件相互独立的数学定义，是定量地对两个事件独立性做出判断，这就是所谓的推理判断.

在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义

2判断，而是根据实际意义来加以判断的.

根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难.高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程譬如，必然事件Ω

与任意事件是否相互独立？用定义

1

因为必然事件Ω

总会发生，不会受任何事件是否发生的影响，当然，也不影响其他事件是否发生.

所以，必然事件Ω

与任意事件是相互独立.用定义

2 设

A

为任意事件，P(

)

1,

P(

A)

P(

A)

P(

)P(

A),

即必然事件与任意事件独立．高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程练习

1

证明：若事件

A

和

B

是相互独立事件，则事件

A

与

B

也相互独立.

证明：

对于

A

与

B

，因为

A

AB

AB

，而且

AB

与

AB

互斥，所以P(

A)

P(

AB

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

A)P(B)

P(

AB)，所以P(

AB)

P(

A)

P(

A)P(B)

P(

A)(1

P(B))

P(

A)P(B)

.由事件的独立性定义，

A

与

B

相互独立.类似地，可以证明事件

A

与

B

，

A

与

B

也都相互独立.高中数学一、两个事件相互独立的定义以及求解相互独立事件同时发生的概率方法的探索发现、创造过程练习

2（教材例

1）

一个袋子中有标号分别为

1，2，3，4

的

4

个球，除标号外没有其他差异.

采用不放回方式从中任意摸球两次.

设事件

A

=“第一次摸出球的标号小于

3”，事件

B

=“第二次摸出球的标号小于

3”，那么事件

A

与事件

B

是否相互独立？解：因为样本空间Ω

{(m

，n)

|

m

，n

{1，2

，3

，4}，且m

n}，A

{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}

，B

{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}

，所以P(A)

P(B)

6

1，P(

AB)

2

1

.12 2 12 6此时

P(

AB)

P(

A)P(B)

，因此，事件

A

与事件

B

不独立.高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程情境与问题

2（教材例

2）

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为

0.8，乙的中靶概率为

0.9.求下列事件的概率：

两人都中靶；恰好有一人中靶；

两人都脱靶；

至少有一人中靶.分析：设

A

=“甲中靶”，

B

=“乙中靶”.

由于两个人射击的结果互不影响，所以

A

与

B

相互独立，

A

与

B

，

A

与

B

，

A

与

B

都相互独立.题目所求概率的四个事件：“两人都中靶”，“恰好有一人中靶”，“两人都脱靶”，“至少有一人中靶”都是复杂事件.这些复杂事件用事件

A

，

B

，

A

，

B

表示出来是解题的关键.

高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程我们可以借助树状图完成这个任务．如图，树状图有四个分支，第一支表示甲和乙都中靶，第二支表示甲中靶且乙脱靶，第三支表示甲脱靶且乙中靶，第四支表示甲和乙都脱靶．由此得到：“两个人都中靶”=

AB

，，“恰好有一人中靶”=

AB

AB“两个人都脱靶”=AB

，“至少一人中靶”=

AB

AB

AB

，显然，

AB

AB

AB

和

AB

互为对立事件．高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程解：设

A

=“甲中靶”，

B

=“乙中靶”，则

A

=“甲脱靶”，

B

=“乙脱靶”.

由于两个人射击的结果互不影响，所以

A

与

B

相互独立，A

与

B

，A

与

B

，A

与

B

都相互独立.

由已知可得，

P(

A)

0.8

，P(B)

0.9

，P(

A)

0.2

，P(B)

0.1.

AB

=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得

P(

AB)

P(

A)P(B)

0.8

0.9

0.72.

“恰好有一人中靶”=

AB

AB

，且

AB

与

AB

互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得

P(

AB

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

A)P(B)

P(

A)P(B)

0.8

0.1

0.2

0.9

0.26.

高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程“两人都脱靶”=

AB

，所以

P(

AB)

P(

A)P(B)

(1

0.8)

(1

0.9)

0.02.

方法

1：事件“至少有一人中靶”=

AB

AB

AB

，且

AB

，

AB

与

AB

两两互斥，所以

P(

AB

AB

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB)

P(

AB

AB)

0.72

0.26

0.98.方法

2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为

1

P(

AB)

1

0.02

0.98.

高中数学一个成语，已知甲每轮猜对的概率为

324

，乙每轮猜对的概率为

3

.

在每轮活动中，甲和乙猜对与否二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程情境与问题

3（教材例

3）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜互不影响，各轮结果也互不影响.

求“星队”在两轮活动中猜对

3

个成语的概率.

分析：问题所求概率的事件：“两轮活动‘星队’猜对

3

个成语”是复杂事件，是事件“甲猜对1

个，乙猜对

2

个”与事件“甲猜对

2

个，乙猜对

1

个”的和事件.为了将复杂事件用简单事件表示出来，我们设

A

=“两轮活动‘星队’猜对

3

个成语”.设

A1

，A2

分别表示甲两轮猜对

1

个，2

个成语的事件，

B1

，B2

分别表示乙两轮猜对

1

个，2

个成语的事件.

这样，有

A

A1B2

A2

B1

.

那么，如何求出甲两轮猜对

1

个，2

个成语的事件的概率，即求出P(

A1

),

P(

A2

)

呢？

高中数学4 4 4 4 81所以，

P(

A

)

3

1

1

3

3

.

二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程这就需要我们将事件

A1

，A2

用更基本的事件表示出来.

A1

表示事件“甲两轮猜对

1

个”是两个互斥事件“第一轮猜对

1

个，第二轮猜错”、“第二轮猜对

1

个，第一轮猜错”的和事件.对此设C

表示事件甲猜对.这样，

A1

CC

CC.

2 1216 9 9同理，可以求出P(

A

)

9

；P(B

)

4

；P(B

)

4

.

其实，我们也可以借助表格，求出

P(

A1

),

P(

A2

),

P(B1

),

P(B2

).

高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程首先，设

Ai

表示事件“甲在两轮中猜对

i

个成语”；

B

i

表示事件“乙在两轮中猜对

i个成语”

(i

0,1,

2).

由两轮猜的结果的独立性，容易求得事件

A0

,

A1

,

A2

的概率．第一轮第二轮猜对个数概率猜对猜对23

3

94 4 16猜错13

1

34 4 16猜错猜对11

3

34 4 16猜错01

1

14 4 160 1216 16 16 8 16P(A)

1,P(A)

3

3

3,P(A)

9

.0 1 2同理可得

B

,

B

,

B0 129 9 9的概率分别为P(B

)

1

,

P(B

)

4

,

P(B

)

4

.高中数学二、求解相互独立事件同时发生的概率方法的验证、体验过程解：设

A1

，A2

分别表示甲两轮猜对

1

个，2

个成语事件，

B1

，B2

分别表示乙两轮猜对

1

个，2

个成语事件.

根据独立性假定，得

31 2P(

A

)

2

3

1

3

，P(

A

)

( )2

9

.44 4 8 16

221 2P(B)

2

2

1

4，P(B

)

( )

4

.3 3 9 39

8 9 16

9

12

3

4

9

4

5

.设

A

=“两轮活动‘星队’猜对

3

个成语”，则

A

=

A1

B2

A2

B1

，且

A1

B2

与

A2

B1

互斥，A1

与

B2

，A2

与

B1分别相互独立，所以

P(

A)

P(

A1

B2

)

P(

A2

B1

)

P(

A1)P(B2

)

P(

A2

)P(B1

)

125

因此，“星队”在两轮活动中猜对

3

个成语得概率是 .高中数学三、回顾反思、生成个人判断两个事件是否独立的方法以及求解相互独立事件同时发生的概率方法1. 判断给定的两个事件是否独立的方法有两种：第一种是根据给定的特定背景的随机试验直观判断，根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难.例如，抛掷两枚骰子，

A

=“第一枚骰子出现偶数点”，

B

=“第二枚骰子出现奇数点”，那么

A

和

B

相互独立．又如，摸球两次，事件

A

=“第一次摸出球的标号小于

3”，事件

B

=“第二次摸出球的标号小于

3”，如果是有放回摸球，那么事件

A

与事件

B

相互独立，如果采用不放回摸球，那么事件

A与事件

B

不独立（实验

2）．再如，设事件

A

=“甲地明天有雨”，

B

=“乙地明天有雨”．如果甲、乙两地相距遥远，则可以认为事件

A

与事件

B

是相互独立的；如果甲、乙两地相距很近，则可以认为事件

A

与事件B

是不独立的.高中数学三、回顾反思