人教A版（2019）高中数学必修第二册10.1.2事件的关系和运算【课件】VIP

10.1.2事件的关系和运算主讲人：李丁学 科：数学（人教版）学 校：北京市第八十中学年 级：高一下学期高中数学学习目标与任务了解随机事件的并、交与互斥的含义；能结合具体实例进行随机事件的并、交运算.高中数学重点难点重点：事件的包含、互斥、互相对立，并事件、交事件的含义.难点：能进行随机事件的并、交运算，用简单事件表示复杂事件.高中数学随机试验特点可预知性随机性复习回顾1.随机试验把对随机现象的实现和对它的观察称为_随机试验

（简称试验，常用字母E表示）．可重复性高中数学2.样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E

的每个可能的基本结果称为样本点用

表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E

的样本空间用

表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果

1

，

2

，L

n

则称样本空间

1

，

2

，L

n

为有限样本

空间

1

，

2

，L

，

n

高中数学3.三种事件的定义在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件.在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件.在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件.高中数学随机事件我们将样本空间

的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母

A,

B,C

等表示.在每次试验中，当且仅当

A中某个样本点出现时，称为事件A发生.必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.不可能事件空集

不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生.我们称

为不可能事件.高中数学新课新知当几个集合是有限集时，求集合AUB与AI B中的元素个数常用列举法列出集合中的元素.AI

B中的元素个数即为集合A与B中

公共元素的个数；而当AI

B

时，AUB中的元素个数即为两个集合中元素个数__之___和___；而当AI

B

时，AUB中的元素个数即为A,

B中元素个数之和

减去

AI

B中的元素个数.高中数学从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单,有的复杂，我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件.例如：Ci

“点数为i

”，i

1,

2,3,

4,5,6；D1

“点数不大于3”；D2

“点数大于3”；E1

“点数为1或2

”；E2

“点数为2或3”；F

“点数为偶数”；G

“点数为奇数”；请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗？高中数学C6

{6}D1

“点数不大于3”

{1,

2,3}D2

“点数大于3”

{4,5,

6}E1

“点数为1或2

”

{1,

2};我们把上述事件用集合的形式写出来得到下列集合C1

{1}, C2

{2} C3

{3} C4

{4} C5

{5}E2

“点数为2或3”

{2,3}F

“点数为偶数”

{2,

4,

6}G

“点数为奇数”

{1,3,5}高中数学我们借助集合与集合的关系和运算以及事件的相关定义，我们发现这些事件之间有着奇妙的联系，可以分为以下几种情况.1.用集合的形式表示事件C1

“点数为1”和事件G

“点数为奇数”，它们分别是C1

1

和G

1,3,5

.显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生，事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是

1

1,3,5

，即C1

G.这时我们说事件G包含事件C1.高中数学一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A

或事件A包含于事件B

，记作B

A

或A

B

.如图10.1-4.注意：（1）不可能事件记为：

；（2）任何事件都包含不可能事件.特别地，如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B

A且A

B则称事件A与事件B相等，记作A

B.高中数学2. D1

“点数不大于3”

1,

2,3

；事件E1

“点数为1或2

”

1,

2

；E2

“点数为2或3”

2,3

.可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是

1,

2

U

2,3

1,

2,3

即E1

UE2

D1，这时我们称D1为事件E1和事件E2的并事件.高中数学一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件

或和事件

，记作A

UB

或A

B

.可以用图10.1-5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.高中数学3. C2

“点数为2

”

2

；E1

“点数为1或2

”

1,

2

E2

“点数为2或3”

2,3

.可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是

1,

2

I

2,3

2

即E1

I E2

C2，这时我们称C2为事件E1和事件E2的交事件.高中数学一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件

或积事件

，记作A

I B

或AB

.可以用图10.1-6中的蓝色区域表示这个交事件.高中数学4.

用集合的形式表示事件C3

“点数为3”和事件C4

“点数为4

”.它们分别是C3

3

，C4

4

.显然，事件C3与事件C4不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是

3

I

4

，即C3

I

C4

，这时我们称事件C3与事件C4互斥.一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A

I

B是一个不可能事件，即A

I

B

，则称事件A与事件B互斥

或互不相容

可以用图10.1-7表示这两个事件互斥.其含义是事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.高中数学5. 用集合的形式表示事件F

“点数为偶数”、事件G

“点数为奇数”.它们分别是F

2,

4,

6

，G

1,3,5

.在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为

2,

4,

6

U

1,3,5

1,

2,3,

4,5,

6

即F

UG

，且

2,

4,

6

I

1,3,5

，即F

I G

.此时我们称事件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.高中数学一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A

UB

，且A

I B

，则称事件A与事件B互为对立事件.事件A的对立事件记为A，可以用图10.1-8表示.其含义是事件A与事件A在任何一次试验中有且仅有一个发生.高中数学综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下高中数学类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事件A，B，C，A

UB

UC

或A

B

C

发生当且仅当A，B，C中至少有一个发生，A

I B

I C

或ABC

发生当且仅当A，B，C同时发生，等等.高中数学例题讲解例5

如图10.1-9，由甲乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.

(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并说明它们的含义及关系.分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组

x1,

x2

表示样本点.这样，确定事件A，B所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态.高中数学例5

如图10.1-9，由甲乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.

(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；解：（1）用x1

，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用

x1,

x2

表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为

0,

0

,

0,

1

,

1,

0

,

1,1

.高中数学例5

如图10.1-9，由甲乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；（2）根据题意，可得A

1,

0

,

1,1

,

B

0,

1

,

1,1

A

0,

0

,

0,

1

,

B

0,

0

,

1,

0

.高中数学例5

如图10.1-9，由甲乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并说明它们的含义及关系.（3）A

UB

0,

1

,

1,0

,

1,1

,

A

I B

0,0

;A

UB表示电路工作正常，A

I B表示电路工作不正常；A

UB和A

I B互为对立事件.高中数学例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球

标号为1和2

，2个绿色球

标号为3和4

，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1

“第一次摸到红球”，R2

“第二次摸到红球”，R

“两次都摸到红球”，G

“两次都摸到绿球”，M

“两个球颜色相同”，N

“两个球颜色不同”.(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；(2)事件R与R1

，R与G，M与N之间各有什么关系？(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？高中数学解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组

x1,

x2

表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

，

3，1

，

3，2

，

3，4

，

4，1

，

4，2

，

4，3

.高中数学事件R1

“第一次摸到红球”，即x1

1或2，于是R1

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

；事件R2

“第二次摸到红球”，即x2

1或2，于是R2

2,

1

,

3,

1

,

4,

1

,

1,

2

，

3,

2

，

4，2

.同理，有R

2,

1

,

1,

2

，G

3,4

,

4,3

，M

2,

1

,

1,

2

，

3,

4

，

4，3

，N

1,

3

,

1,

4

,

2,

3

,

2,

4

，

3,1

，

3,

2

，

4，1

,

4，2

.高中数学例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球

标号为1和2

，2个绿色球

标号为3和4

，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1

“第一次摸到红球”，R2

“第二次摸到红球”，R

“两次都摸到红球”，G

“两次都摸到绿球”，M

“两个球颜色相同”，N

“两个球颜色不同”.(2)事件R与R1

，R与G，M与N之间各有什么关系？（2）因为R

R1，所以事件R1包含事件R；因为R

I G

，所以事件R与事件