2024学年吉林市蛟河实验高二数学（上）期末考试卷附答案解析

学年吉林市蛟河实验高二数学（上）期末考试卷2025.01一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知等差数列{an}满足a6+a7+a8＝6，则a7等于（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）直线5x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣5，2） D．（5，2）3．（5分）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A． B． C． D．4．（5分）抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．5．（5分）已知x，y∈R，向量，，，且，（）A．﹣1 B．1 C．2 D．36．（5分）若圆C的圆心为（1，2），且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 C．x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x+4y+1＝07．（5分）已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．28．（5分）双曲线的上焦点F2到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分.）（多选）9．（6分）下列命题中错误的是（）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为Ax+By+C＝0 D．任何一条直线至少要经过两个象限（多选）10．（6分）在同一平面直角坐标系中，直线mx﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2的位置可能为（）A．B． C．D．（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线B1C与直线AF垂直 B．平面AEF截正方体所得的截面面积为 C．三棱锥F﹣ACE的体积为2 D．点A1与点G到平面AEF的距离相等三、填空题：（本大题共3小题，每小题10分，共15分.）12．（10分）已知双曲线（其中a＞0）的右焦点为F（2，0），则a＝，W的离心率为．13．（5分）若数列{an}为等比数列，且a1+a2＝1，a3+a4＝4，则a9+a10＝．14．（5分）已知直线l与椭圆交于A，B两点（2，1），则直线l的方程为．四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．（1）求a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．16．已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．17．如图，正直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AB＝AA1，∠ABC＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）证明：直线MN⊥直线BC：（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0）．直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN的长度．19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn＝3n﹣1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

2024-2025学年吉林省吉林市蛟河实验中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BACCAADA一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知等差数列{an}满足a6+a7+a8＝6，则a7等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差数列的性质进行求解．【解答】解：等差数列{an}满足a6+a7+a2＝6，∵a6+a6+a8＝3a6＝6，∴a7＝3．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）直线5x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣5，2） D．（5，2）【分析】求出直线的斜率，结合选项，即可作答．【解答】解：直线的斜率k＝﹣，所以直线的一个方向向量，﹣），且λ，λ≠0都是直线的方向向量，当λ＝8时，方向向量为（2，由选项可得只有A选项正确．故选：A．【点评】本题考查直线的方向向量的求法，属于基础题．3．（5分）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A． B． C． D．【分析】根据向量的基底和共面向量基本定理逐一判断即可．【解答】解：对于A：因为由于，所以，，，所以不能构成空间的另一个基底．对于B：由于，所以，，，所以不是空间的另一个基底．对于C：假设存在m，n，使得，则，无解是空间的另一个基底．对于D：因为，所以，，，所以不是空间的另一个基底．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．4．（5分）抛物线的准线方程为（）A． B． C． D．【分析】写出抛物线的标准方程，求出准线方程．【解答】解：由题可得抛物线的标准方程为，所以抛物线的准线方程为．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）已知x，y∈R，向量，，，且，（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可．【解答】解：因为，所以2x﹣2+3＝0⇒x＝0，又，，，所以设，即，解得y＝﹣1，所以x+y＝﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查空间向量共线、垂直的性质，属于基础题．6．（5分）若圆C的圆心为（1，2），且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 C．x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x+4y+1＝0【分析】根据直线与圆相交的性质，算出圆的半径，可得圆的标准方程，然后化成标准方程，可得答案．【解答】解：因为点C（1，2）到x轴的距离d＝5，所以圆的半径r满足：r＝＝，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝8，化成一般式，得x6+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0．故选：A．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．7．（5分）已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】由已知4a1，2a2，a3成等差数列可得4a2＝4a1+a3，结合等比数列的通项公式可求公比q的值．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴6a2＝4a3+a3，设数列{an}的公比为q，则a2＝a2q，a3＝a1q5，∴4a1q＝2a1+a1q3．∵a1≠0，∴8q﹣q2﹣4＝3，∴q＝2．故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质，以及运算能力．属基础题．8．（5分）双曲线的上焦点F2到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】由点到直线的距离公式，结合a，c的关系，求得a，可得渐近线方程，进而得到所求之积．【解答】解：双曲线的上焦点F6（0，c）（c＞0）到双曲线一条渐近线y＝ax的距离为，可得＝，又1+a2＝c8，可得a＝2，即有渐近线方程为y＝±2x，则双曲线两条渐近线的斜率之积为﹣2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个符合题意的选项，每选对一个得3分；若只有3个符合题意的选项，每选对一个得2分.）（多选）9．（6分）下列命题中错误的是（）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为Ax+By+C＝0 D．任何一条直线至少要经过两个象限【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断出AB的真假；利用直线一般式方程的条件判断出C的真假；举例说明判断出D的真假．【解答】解：对于A，直线的倾斜角，A正确；对于B，倾斜角为，B错误；对于C，直线的一般式方程为Ax+By+C＝3，A2+B2≠8，C错误；对于D，当直线与x轴或y轴重合时，D错误．故选：BCD．【点评】本题考查直线的倾斜角与向量的关系的应用，属于基础题．（多选）10．（6分）在同一平面直角坐标系中，直线mx﹣y+1＝0与圆x2+y2＝2的位置可能为（）A．B． C．D．【分析】求出直线过的定点坐标，判断定点在圆内，可得结论．【解答】解：直线mx﹣y+1＝0恒过定点（2，1），又02+12＜8，∴点（02+y2＝2的内部，又直线的斜率存在，故A，B．故选：ABD．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，属基础题．（多选）11．（6分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线B1C与直线AF垂直 B．平面AEF截正方体所得的截面面积为 C．三棱锥F﹣ACE的体积为2 D．点A1与点G到平面AEF的距离相等【分析】利用反证法证明A错误；求出平面AEF截正方体所得的截面面积判断B正确；求出三棱锥F﹣ACE的体积判断C；证明面面平行判断D．【解答】解：如图，对于A，B1C⊥EF，假设直线B1C与直线AF垂直，∵EF∩AF＝F，∴B2C⊥平面AEF，由正方体的结构特征可知1⊥AE，而BB1∩B2C＝B1，∴AE⊥平面BB1C8C，而AB⊥平面BB1C1C，过点A有两直线AB、AE与平面BB5C1C垂直，与过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条矛盾，故A错误；对于B，连接AD1，FD2，∵E，F分别是BC1的中点，∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，∴面AEF截正方体所得的截面面积为S＝•，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，取B1C6的中点H，连接A1H，GH，A1H∥AE，又A3H∩GH＝H，∴平面A1GH∥平面AEF，则点A1与点G到平面AEF的距离相等，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：（本大题共3小题，每小题10分，共15分.）12．（10分）已知双曲线（其中a＞0）的右焦点为F（2，0），则a＝1，W的离心率为2．【分析】由a，b，c关系可得a，再由可求离心率．【解答】解：由题意可得双曲线焦点在x轴上，且b2＝3，c＝4，则a2＝c2﹣b6＝4﹣3＝4，由a＞0得a＝1，故W的离心率．故答案为：5；2．【点评】本题考查双曲线的几何特征以及离心率的求法，属于基础题．13．（5分）若数列{an}为等比数列，且a1+a2＝1，a3+a4＝4，则a9+a10＝256．【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解．【解答】解：数列{an}为等比数列，且a1+a2＝3，a3+a4＝3，所以q2＝＝2，则a9+a10＝（a1+a3）q8＝256．故答案为：256．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．14．（5分）已知直线l与椭圆交于A，B两点（2，1），则直线l的方程为7x+8y﹣22＝0．【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程．【解答】解：设点A（x1，y1），B（x4，y2），点M（2，有，将A，B两点代入椭圆方程，得，两式作差得，整理得，则直线l的斜率为，则直线l的方程为，即2x+8y﹣22＝0，经检验2x+8y﹣22＝0符合题意．故答案为：3x+8y﹣22＝0．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，重点考查了点差法及直线的点斜式方程，属中档题．四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．（1）求a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式．【分析】（1）根据题中所给的条件，将n＝1，n＝2分别代入求得结果；（2）得出数列的相邻两项之间的递推关系，验证前两项，从而得出数列为等比数列，从而写出数列的通项公式．【解答】解：（1）已知，当n＝1时，可得a2+8S1+2＝2，解得a2＝4，当n＝7时，可得a3+3S8+2＝0，S2＝a1+a2＝3，解得a3＝﹣8．（2）当n≥2时，（an+1﹣an）+3（Sn﹣Sn﹣5）＝0，即（an+1﹣an）+6an＝0，an+1＝﹣4an（n≥2），又a2＝﹣2a1，所以an+1＝﹣7an，n∈N*，所以数列{an}是首项为﹣2，公比为﹣2的等比数列，所以．【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．16．已知圆M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；（2）若直线x+3y+C＝0与圆M交于A，B两点，且，求C的值．【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案．【解答】解：（1）由x2﹣2x+y7+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y7+4y+4＝15，则圆M的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）4＝15，圆M的圆心坐标M（1，﹣2）；（2）由，得圆心M到直线x+3y+C＝8的距离为，则圆心M到直线x+4y+C＝0的距离，得C＝15或﹣5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．17．如图，正直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AB＝AA1，∠ABC＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）证明：直线MN⊥直线BC：（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．【分析】（1）取BC的中点O，连接ON，OM，由题意可得ON∥AB，OM∥BB1，可证得BC⊥平面MON，进而可证得结论；（2）由题意可证得∠A1BB1为直线A1B与平面BCC1B1所成的角，求出它的正切值，进而求出它的角的大小．【解答】证明：（1）取BC的中点O，连接ON，OM，因为N，M的中点，OM∥BB1，又因为直棱柱中，∠ABC＝90°，OM⊥BC，所以BC⊥平面MON，而OM⊂平面MON，所以BC⊥MN；（2）因为BB1⊥平面A6B1C1，A4B1⊂平面A1B8C1，可得A1B6⊥BB1，∠A1B7C1＝90°，BB1∩B6C1＝B1，所以A5B1⊥平面BCC1B8，所以∠A1BB1为直线A5B与平面BCC1B1所成的角，且∠A3BB1∈[0，]，所以tan∠A1BB1＝＝4，所以∠A1BB1＝45°．【点评】本题考查线线垂直的证法及线面角的求法，属于中档题．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2，0）．直线y＝x﹣1与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求线段MN的长度．【分析】（1）由已知椭圆的一个顶点，离心率列出方程组，解得b的值，则椭圆C的标准方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，得到关于x的一元二