2024学年山西大学附中高二数学（上）12月考试卷附答案解析

学年山西大学附中高二数学（上）12月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．经过，两点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C． D．3．已知直线被圆截得的弦长为4，则（

）A．或3 B． C．3 D．或14．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（）A．B．C． D．5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．7．如图，双曲线，是圆的一条直径，若双曲线过，两点，且离心率为，则直线的方程为（

）A．B．C． D．8．设点是抛物线的焦点，过抛物线上一点，沿轴正方向作射线轴，若的平分线所在直线的斜率为，则点的坐标为（）A．B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（）A．焦点B．准线方程C．点或D．以为直径的圆与抛物线的准线相切10．以下四个命题表述正确的是（）A．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于B．已知点在圆上，则的最大值是4C．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点11．已知椭圆分别为的左，右焦点，A，B分别为的左，右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为B．存在点，使得C．若，则外接圆的面积为D．的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．过点的圆的切线方程为.13．已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为．14．过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线，．(1)若，求的值；(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程．16．已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆相交于不同的两点和，求的值.17．已知抛物线的焦点到准线的距离为2．(1)斜率为的直线与交于，两点.若，求的方程；(2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．18．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，其中一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的方程；(2)的左、右焦点分别为，若过的直线与交于两点.当两点均在的左支上时，求面积的取值范围.19．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】D【详解】设倾斜角为，因为，所以，又，所以.故选：D2．【答案】A【详解】双曲线的渐近线方程是，即.故选：A.3．【答案】A【分析】先求出圆心和半径，根据直线截圆所得弦长求出弦心距，结合点到直线距离得到方程，，即可解得【详解】根据化为，圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，又因为直线截圆的弦长为，所以有，即，解得；又圆心到直线的距离为：，所以，即，解得或.故选：A4．【答案】B【详解】由题可知，，解得，则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点，则圆的方程为.故选：B.5．【答案】C【详解】因为等于点到准线的距离，作垂直于准线于,根据抛物线的定义可知，所以当PQ垂直于准线时交准线于,，有最小值，,最小值为.当且仅当在与抛物线的交点时取得等号.故选：C.6．【答案】C【详解】设动圆圆心为，半径为因为圆的圆心为，半径为，由题有，又动圆过点，得，即，则到两定点的距离之和为，由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为，故选：C.7．【答案】D【详解】由题意，则，即，由圆方程知，设，，则，，又，两式相减得，所以，直线方程为，即．故选：D．8．【答案】D【详解】根据题意，抛物线的焦点，准线方程：，设直线与准线交于点，由抛物线定义得，，根据题意，，，所以，则，所以，且，所以四边形为平行四边形，则，得，所以点的坐标为.故选：D9．【答案】AC【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，故A正确，B错误；因为为抛物线上的一点，，所以，解得，所以，解得，所以点或，故C正确；不妨取，则的中点坐标为，因为点到准线的距离为，所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与轴相切，故D错误.故选：AC10．【答案】BD【详解】选项A：圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故A错误；选项B：圆的圆心为，半径，设，则，解得，所以的最大值是4，故B正确；选项C：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，由切线的性质知，为直角三角形，所以，当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，故C错误；选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，令，解得，所以直线过定点，故D正确．故选：BD．11．【答案】ACD【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，故有：，解得：，椭圆的离心率，故A正确；B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；C选项，设，则，若，即，在中，由余弦定理可得，因为，所以，根据正弦定理可知，，故C正确；D选项，设，则：，令，则，所以，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD12．【答案】【详解】因为点的坐标满足圆的方程，所以点在圆上，如图所示：所以圆的切线方程为：.故答案为：13．【答案】【详解】椭圆，则，，，所以，又，由余弦定理，即，所以，所以.故答案为：14．【答案】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示：令，于是有，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：，因为，所以，即，在直角三角形中，设，根据勾股定理可得：，或舍去，即，在直角三角形中，，由勾股定理可知：，因为，所以，或舍去，由，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.15．【答案】(1)(2)或【详解】（1）因为，，，所以，所以，解得或，当时，，，直线，重合，不满足要求，当时，，，直线，平行，满足要求，所以；（2）由，解得，即与的交点为，当直线过原点时，此时直线斜率为，所以直线的方程为，当直线不过原点时，设的方程为，将代入得，所以直线的方程为，故满足条件的直线的方程为或.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为：．（2）联立，消去后，得关于的一元二次方程，化简得，则，，，所以.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为，设直线的方程为，与联立得，，则，则，设Ax1,由，可得，解得，符合，所以的方程为；（2）F1,0，设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率为，当时，；当时，，当时，，此时当且仅当，即时，等号成立；综上，直线OQ的斜率的最大值为.18．【答案】(1)；(2).【详解】（1）椭圆即，所以椭圆的焦点坐标为，又双曲线的渐近线为，故依题意可得，解得，所以双曲线的方程为；（2）依题意直线的斜率存在时不为，所以可设直线的方程为，设Ax1,由，可得，由得，所以，，则，，因为两点均在的左支上，所以，解得，即，所以，令，则，，所以，因为在上单调递减，所以，所以，所以.19．【答案】(1)答案见详解(2)①证明见详解；②存在；【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点，其中且.（ⅰ）由可知三点共线且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点，由题意可知，即，经化简，得的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．（2）设点，其中且，（ⅰ）由（1）可知的方程为，因为，所以，所以三点共线，且，解法一：设直线的方程为，联立的方程，得，则，由（1）可知，所以，所以为定值1；解法二：设，则有，解得，同理，由，解得，所以，所以为定值1；由椭圆定义，得，因为，所以，解得，同理可得，所以．因为，所以的周长为定值．（ⅱ）当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，解法