2024-2025学年新教材高中数学第4章指数与对数课时分层作业17对数的运算性质含解析苏教版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(十七)对数的运算性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC．eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)D．eq\f(logax,logay)＝logax－logayC[依据对数的运算性质知，C正确．]2．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则有()A．y∈(0,1) B．y∈(1,2)C．y∈(2,3) D．y∈(3,4)B[y＝eq\f(lg6,lg5)·eq\f(lg7,lg6)·eq\f(lg8,lg7)·eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg10,lg9)＝eq\f(lg10,lg5)＝log510，log55<log510<log525，即1<y<2．]3．已知a2＝eq\f(16,81)(a>0)，则logeq\s\do12(eq\f(2,3))a＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,27) D．2D[由a2＝eq\f(16,81)(a>0)，得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\s\do12(eq\f(2,3))eq\f(4,9)＝logeq\s\do12(eq\f(2,3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝2．]4．设7a＝8b＝k，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则k＝()A．15 B．56C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,56)B[∵7a＝k，∴a＝log7k．∵8b＝k，∴b＝log8k∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56．]5．若lgx－lgy＝a，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝()A．3a B．a3C．eq\f(a,3) D．eq\r(3,a)A[lgx－lgy＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝a，lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝lgeq\f(x3,8)－lgeq\f(y3,8)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))eq\s\up12(3)＝3lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))＝3a．]二、填空题6．若lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示log512等于．eq\f(b＋2a,1－a)[log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(b＋2a,1－a)．]7．(一题两空)里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．610000[由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0．001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4．所以eq\f(A1,A2)＝104＝10000．所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．]8．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于．100[∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lga＋lgb＝－eq\f(－4,2)＝2，∴ab＝100．]三、解答题9．计算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51．8；(2)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),lg1.2)；(3)(lg5)2＋lg2·lg50．[解](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2．(2)原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2),lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3lg3＋6lg2－3,2lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2)．(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1．10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a(2)设a＝lg2，b＝lg7，用a，b表示lgeq\f(8,7)，lgeq\f(50,49)．[解](1)∵10a∴lg2＝a．又∵10b＝3，∴lg3＝b，∴1002a－b＝100(2lg2－lg3)＝100eq\s\up12(lgeq\f(4,3))＝10eq\s\up12(2lgeq\f(4,3))＝10eq\s\up12(lgeq\f(16,9))＝eq\f(16,9)．(2)lgeq\f(8,7)＝lg23－lg7＝3lg2－lg7＝3a－b．lgeq\f(50,49)＝lg(2×52)－lg(72)＝lg2＋2lg5－2lg7＝lg2＋2(1－lg2)－2lg7＝2－a－2b．1．下列运算中正确的是()A．eq\r(3－π2)＝3－π B．(meq\s\up12(eq\f(1,4))neq\s\up12(－eq\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3)C．log981＝9 D．lgeq\f(xy,z)＝eq\f(lgxy,lgz)B[对于A,3－π<0，所以eq\r(3－π2)＝π－3，故A错，对于B，(meq\s\up12(eq\f(1,4))neq\s\up12(－eq\f(3,8)))8＝(meq\s\up12(eq\f(1,4)))8(neq\s\up12(－eq\f(3,8)))8＝eq\f(m2,n3)，故B正确，对于C，log981＝2，故C错，对于D，lgeq\f(xy,z)＝lgx＋lgy－lgz，故D错，故选B．]2．若log5eq\f(1,4)·log46·log6x＝2，则x＝()A．25 B．eq\f(1,25)C．－25 D．－eq\f(1,25)B[log5eq\f(1,4)·log46·log6x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－log54))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log46))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6x))＝－log5x＝2，∴log5x＝－2，∴x＝5－2＝eq\f(1,25)．]3．依据有关资料，围棋状态空间困难度的上限M约为3361，而可观测宇宙中一般物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0．48)()A．1033B．1053C．1073D[由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0．48－80＝93．28＝lg1093．28．故与eq\f(M,N)最接近的是1093．]4．设a表示eq\f(1,3－\r(5))的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是．－1[eq\f(1,3－\r(5))＝eq\f(3＋\r(5),4)，可得a＝eq\f(3＋\r(5),4)－1＝eq\f(\r(5)－1,4)．则log2a(2a＋1)＝logeq\s\do12(eq\f(\r(5)+1,2))＝logeq\s\do12(eq\f(\r(5)－1,2))eq\f(2,\r(5)－1)＝－1．]5．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg2＋lgx＋lgy，求eq\f(x,y)的值．[解]由已知条件得