2025年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在二项式的展开式中，含的项的系数是()A.B.C.D.2、【题文】已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，△OAF的面积为a2(O为原点)，则此双曲线的离心率是()A.B.2C.D.3、【题文】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为直线x＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为()A.y＝4sinB.y＝－2sin＋2C.y＝－2sinD.y＝2sin＋24、设函数f（x）在点x0附近有定义，且有f（x0+△x）-f（x0）=a△x+b（△x）2，其中a，b为常数，则（）A.f'（x）=aB.f'（x）=bC.f'（x0）=aD.f'（x0）=b5、为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000

尾鱼，并给每尾鱼做上标记(

不影响存活)

然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500

尾鱼，其中有标记的鱼为40

尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为(

)

A.10000

B.20000

C.25000

D.30000

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为________________．7、【题文】已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则的取值范围是________．8、【题文】已知则____.9、已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为____．10、若f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈N*），且f（1）=2，则+++=______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)11、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共16分)17、【题文】（1）已知且求的值；

（2）已知求证：18、【题文】设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知且对一切都成立．

（1）若λ=1，求数列的通项公式；

（2）求λ的值，使数列是等差数列．19、如图；三棱锥A-BCD中，E；F分别是棱AB、BC的中点，H、G分别是棱AD、CD上的点，且EH∩FG=K．求证：

（1）EH；BD，FG三条直线相交于同一点K；

（2）EF∥HG．20、如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．

（Ⅰ）求证：B1C1⊥CE；

（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值．评卷人得分五、计算题(共2题，共12分)21、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．22、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．25、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．26、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】对于对于10-3r=4，∴r=2，则的项的系数是故选C【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】根据双曲线的性质得，|OF|＝c，|FA|＝b，于是|OA|＝a，由S△OAF＝a2及S△OAF＝ab，易得，b＝a，c＝2a，故此双曲线的离心率e＝2，故选B.【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】由题意知＝所以T＝π.则ω＝2；否定C.

又x＝是其一条对称轴，因为2×＋＝故否定D.

又函数的最大值为4，最小值为0，故选B.【解析】【答案】B4、C【分析】解：∵f（x0+△x）-f（x0）=a△x+b（△x）2；

∴=a+b△x；

∴f′（x0）==（a+b△x）=a；

故选：C

根据导数的定义即可求出答案．

本题考查导数的计算，关键是熟悉导数的定义．【解析】【答案】C5、C【分析】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为40500

设水库内鱼的尾数是x

则有2000x=40500

解得x=25000

故选C．

由题意可得，有记号的鱼所占的比例大约为40500

设水库内鱼的尾数是x

建立方程即可解得x

的值．

本题主要考查用样本的频率估计总体的分布，根据条件建立比例关系是解题的关键．【解析】C

二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝＝(3＋d)＝3.∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，即3x－y＋1＝0.【解析】【答案】3，3x－y＋1＝07、略

【分析】【解析】由题意知

作出可行域(如图所示)．

由

得a＝b＝c.

此时max＝7.

由得a＝b＝

此时min＝＝e.所以∈[e,7]．【解析】【答案】[e,7]8、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于则可知对可知可知=故答案为

考点：两角和差的三角公式。

点评：解决的关键是根据两角和差的三角关系式来求解，属于基础题。【解析】【答案】9、3x+y﹣4=0【分析】【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y﹣4=0

故答案为：3x+y﹣4=0

【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题．10、略

【分析】解：∵f（a+b）=f（a）•f（b）；

∴=f（b），令a=b=1；

则=f（1）=2；

令a=2，b=1；

则=f（1）=2；

令a=n，b=1；

则=f（1）=2；

∴+++=1006×2=2012．

故答案为：2012．

利用赋值法，f（a+b）=f（a）•f（b），转化为=f（b），令a=n，b=1；则f（n）=f（1）=2，问题得以解决．

本题主要考查了抽象函数的解法，赋值法式常用的方法，属中档题．【解析】2012三、作图题(共6题，共12分)11、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共16分)17、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）先利用角的拼凑与两角和与差的正弦或余弦公式计算出的正弦值或余弦值，然后根据三角函数值与角的范围，写出角即可；（2）利用两角和的正切公式来化简证明即可.

试题解析：(1)由得

由得

又∵

∴3分。

由得

6分。

∴8分。

（2）证明：

得10分。

12分.

考点：1.不等式的性质；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的公式.【解析】【答案】（1）（2）详见解析.18、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)本题已知条件是我们要从这个式子想办法得出与的简单关系式，变形为这时我们联想到累乘法求数列通项公式的题型，因此首先由得。

又这个式子可化简为这样就变成我们熟悉的已知条件，已知解法了；(2)这种类型问题，一种方法是从特殊到一般的方法，可由成等差数列，求出然后把代入已知等式，得这个等式比第(1)题难度大点，把化为有当n≥2时，整理，得特别是可变形为这样与第(1)处理方法相同，可得即从而说不得是等差数列．

试题解析：（1）若λ=1，则．

又∵∴2分。

∴

化简，得．①4分。

∴当时，．②

②-①，得∴（）．6分。

∵当n=1时，∴n=1时上式也成立；

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n-1（）．8分。

（2）令n=1，得．令n=2，得．10分。

要使数列是等差数列，必须有解得λ=0．11分。

当λ=0时，且．

当n≥2时，

整理，得13分。

从而

化简，得所以．15分。

综上所述，（）；

所以λ=0时，数列是等差数列．16分。

考点：递推公式，累乘法，与的关系，等差数列．【解析】【答案】(1)(2)．19、略

【分析】

（1）先证P为两个平面的公共点；利用两个平面的公共点在两个平面的公共直线上，证线共点；

（2）证明EF∥平面ACD；E，F，G，H，K共面于平面EFK，即可得证．

本题考查了用公理2证明点共线问题，考查平行关系的转化，考查了学生的空间想象能力和推理论证能力，本题较好的体现了线线、线面平行关系的转化．【解析】证明：（1）∵E；H分别是棱AB、AD上的点；

∴EH⊂平面ABD1’

又∵EH∩FG=K；∴K∈EH，即K∈平面ABD2’

同理可证；K∈平面BCD3’

∵平面ABD∩平面BCD=BD∴K∈BD4’

即EH；BD，FG三条直线相交于同一点K．5’

（2）连接EF；HG（如图）；

∵在△ABC中；E，F分别是棱AB，BC的中点；

∴EF∥AC6’

∵EF⊄平面ACD；7’

∴EF∥平面ACD8’

又∵H；G分别是棱AD，CD的点，且EH∩FG=K；

∴E；F，G，H，K共面于平面EFK；

且平面EFK∩平面ACD=HG9’

故EF∥HG10’20、略

【分析】

（Ⅰ）以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B1C1⊥CE．

（Ⅱ）求出平面CC1E的法向量和平面B1CE的法向量，利用向量法能求出二面角B1-CE-C1的正弦值．

本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．【解析】（Ⅰ）以点A为原点；AD为x轴，建立空间直角坐标系；

则B1（0，2，2），C1（1；2，1），C（1，0，1），E（0，1，0）；

=（1，0，-1），

∴B1C1⊥CE．

（Ⅱ）由题设知B1C1⊥平面CC1E；

∴平面CC1E的法向量

设平面B1CE的法向量

则

令z=-1，则

设二面角B1-CE-C1的平面角为α；

则cosα=cos＜＞=

∴sinα=．

∴二面角B1-CE-C1的正弦值为．五、计算题(共2题，共12分)21、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．22、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、综合题(共4题，共40分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）24、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．