第二章点线面1

投影的基本知识直线的投影换面法第二章点直线平面的投影要求：掌握有关投影的概念；掌握点、直线、平面的投影特性，并能够熟练作出其投影图；掌握换面法及其应用。要求概念清楚，作图准确。重点：各种几何元素的性质和投影规律；点和直线位于平面上的几何条件和投影特性；换面法及其应用。难点：重影点；换面法。点的投影平面的投影第一节投影的基本知识一、投影的形成和分类PACBabc投射线投影空间物体投影面SS投射中心PACBabc中心投影PACBabcSPACBabcS正投影斜投影平行投影中心投影平行投影正投影斜投影第一节投影的基本知识一、投影的形成和分类按照投射线是否彼此平行，投影可分为中心投影法和平行投影法两大类：第一节投影的基本知识二、投影法的特性(1)具备三个要素：形体、投射线和投影面。AaPA1A2(2)在投影面和投射中心或投射方向确定之后，形体上每一点必有其唯一的一个投影与之对应。(3)形体上一点的一个投影不能唯一确定其空间位置。投影法的一般特性：1)真实性：当平面几何图形平行于投影面时，投影反映其实形；PPP真实性积聚性类似性第一节投影的基本知识二、投影法的特性工程中一般用多面正投影来图示三维形体。正投影法的特性：2)积聚性：当平面几何图形垂直于投影面时，投影积聚为点或直线；3)类似性。当平面几何图形倾斜于投影面时，投影为原图形的类似形，即直线的投影为直线、N边形的投影为N边形、圆的投影为椭圆。第二节点的投影一、三投影面体系的建立IIIIIIIVVVIVIIIVHXOWYZVHXOWYZ正立投影面侧立投影面水平投影面投影轴YHXYWZVHWXYZVWHOAaa’a”aa’a”实际上，三投影面体系可看作是三维直角坐标系。因此，点的位置可由它的三面投影确定，也可用它的三个直角坐标来确定。第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影1.点的三面投影展开并去掉投影面的范围点的投影特性：YHXYWZXYZVWHOAaa’a”aa’a”1)点的投影连线垂直于投影轴。2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到对应的相邻投影面的距离，也等于点的坐标。空间点到W、V、H的距离分别为该点的X、Y、Z坐标。第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影2.点的投影特性YHXYWZ已知A、B两点的两个投影，试补画它们的第三投影。ba'例：aa"b"b'结论已知一点的任意两个投影，可求出该点的第三个投影。第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影2.点的投影特性YY例：已知点在空间直角坐标系中的坐标为A（20，15，25），画出该点的三面投影。a'a"aX=20Z=25Y=15Y=15o第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影2.点的投影特性YHXYWZVHWXYZVWHOAaa’a”a’aa”Bb’b”bb’b”b1）投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与空间点重合，在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。Cc’c”cc’c”c2）投影轴上的点有两个坐标为零，在包含该轴的两个投影面上的投影与空间点重合，在另一投影面上的投影与原点重合。第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影3.特殊位置的点的投影特性3)位于原点上的点，其三个坐标值为零，且它在三个投影面上的投影都与原点重合。OAaYWVHOXWYZXZYHa"a'Bb"bb'a"aa'bb'b"结论：水平投影——前后，左右；正面投影——上下，左右；侧面投影——前后，上下。由立体图知A、B两点的空间位置关系：A点在B点的左前上方；或：B点在A点的右后下方。第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影4.两点的相对位置

空间两个点，若它们在某个投影面上的投影重合，则称这两个点为该投影面的重影点。OYWXZYHa"aa'b（b'）b"AaVHOXWYZa"a'Bb"bb'第二节点的投影二、点在三投影面体系中的投影5.重影点通常把不可见点的投影符号加上括号。问题：已知，A、B两点的三面投影，求直线AB的三面投影。第三节直线的投影一、直线的投影及其投影特性OYWXZYHba'aa"b"b'结论：直线的投影可由直线上任意两点的投影来决定。1.直线的投影ABCDEFabcde(f)垂直于投影面的直线，在该投影面上的投影积聚为一点。平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。不垂直于投影面的直线，其投影仍为直线，长度小于线段实长。第三节直线的投影一、直线的投影及其投影特性2.直线的投影特性二、直线对投影面的相对位置一般位置直线正平线//V面投影面平行线水平线//H面

侧平线//W面正垂线⊥V面（//H面、//W面）

投影面垂直线铅垂线⊥H面

（//V面、//W面）

侧垂线⊥W面

（//H面、//V面）

直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，称为该直线对H面、V面、W面的倾角，分别用α、β、γ表示。第三节直线的投影1.一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。VHWBAbaa'b'a"b"αβγXZYHYWa'a"b'b"ba投影特性：直线的三面投影都倾斜于投影轴、且投影的长度小于直线的实长；直线的投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影XZYHYW2.投影面平行线(1)正平线VHWBAabb'a'a"b"b"a'a"b'ba正面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映α和γ。其余两投影平行于相应的投影轴。αγ二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影(2)水平线XZYHYWVHWBAabb'a'a"b"a'b"b'a"ba水平投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映β和γ。其余两投影平行于相应的投影轴。γβ2.投影面平行线二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影(3)侧平线XZYHYWVHWBAabb'a'a"b"b"b'a"baa'侧面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映α和β

。其余两投影平行于相应的投影轴。βα2.投影面平行线二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影3.投影面垂直线(1)正垂线正面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并反映直线的实长。VHWBAXZYHYWaba'（b'）a"b"b"a"baa'（b'）二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影(2)铅垂线水平投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并反映直线的实长。VHWBAXZYHYWa（b）a'b"a"b"a"a'b'a（b）b'3.投影面垂直线二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影(3)侧垂线侧面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并反映直线的实长。VHWBAXZYHYWaa'(b"）a"（b"）a"a'b'ab'bb3.投影面垂直线二、直线对投影面的相对位置第三节直线的投影从属性：位于直线上的点，其投影一定在它所在直线的同面投影上，反之亦然。定比性：位于直线上的点，其分割直线段长度之比在投影后保持不变

。ABCabcc'a'b'HVXOXOa'b'c'acb三、点与直线的相对位置第三节直线的投影XOa'b'k'akb例：已知直线AB及点K的投影，试判断点K是否属于AB。本题有两种解题方法（1从属性2定比性）。a"b"k"a'k'akb'k'bk三、点与直线的相对位置第三节直线的投影例：已知直线CD的投影，点E在CD上，CE∶ED=m∶n，试求点E的投影。mnXOc'd'cdmne'e三、点与直线的相对位置第三节直线的投影空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况

。其中，平行和相交属于同面直线，而交叉属于异面直线。四、两直线的相对位置第三节直线的投影BDACADCBKABCDEFabcddcabbdcake(f)平行两直线相交两直线交叉两直线平行两直线的投影特性为：空间相互平行的两直线，其同面投影必相互平行；反之，若两直线的同面投影分别平行，则这两条直线在空间也彼此平行。四、两直线的相对位置第三节直线的投影1.平行两直线[例]

已知AB∥CD，试补全AB、CD的两面投影。d′aa′b′c′bdcXO四、两直线的相对位置第三节直线的投影1.平行两直线[例]判断两条侧平线AB、CD是否平行。d′aa′b′c′bdcXOYwYHZa″b″d″c″答：AB与CD不平行相交两直线的交点是两直线的共有点。四、两直线的相对位置第三节直线的投影2.相交两直线相交两直线的投影特性为：相交两直线的同面投影均相交，且交点的投影符合点的投影性质。反之亦然。a″c″ZWVHYXOabdcBKb″d″k″kb′c′a′d′k′CDAd′aa′b′c′bdcXOk′kYwYHZc″a″d″b″k″[例]试过E点作直线，使该直线与AB、CD都相交。四、两直线的相对位置第三节直线的投影2.相交两直线d′aa′b′c′bcdXOee′k2k1k1′k2′[例]判断直线AB与CD是否相交。四、两直线的相对位置第三节直线的投影2.相交两直线d′aa′b′c′bdcXZOYwYHXOd′a′b′c′bc