2024-2025学年上海七宝中学高二上学期数学月考试卷（2024.12）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学月考2024.12一、填空题（本大题共12题，满分54分）1.斜线与平面所成角的范围为.2.设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的____条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”）

3.已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为．4.如图，在正三棱柱中，．若二面角的

大小为，则侧棱长为．5.给出下列命题：①平行六面体是斜四棱柱；②有两个相邻侧面为矩形的棱柱是直棱柱；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫做棱柱.其中正确的是个数是.6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若

侧面水平放置时，液面恰好过的四等分

点处，，当底面水平放置时，液面高为.7.空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别

为和的中点，则异面直线和所成角的大小是________．8.对下列命题：①三条两两相交的直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、

与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另

一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是.（填

上所有真命题序号）9.在正方体中，点是平面内一动点，满足，设直

线与平面所成角的最大值为________.10.如图，在棱长为1的正方体中，点，分别

是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是．11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，

且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为．12.如图，矩形中，，，分别为边上的定点，且，分别将沿着向矩形所在平面的同一侧翻折至与处，且满足，分别将锐二面角与锐二面角记为与，则的最小值为.二、选择题(本大题共有题，满分18分)13.是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14.已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（）A． B． C． D．15.已知平面，直线,点，平面之间的距离为，则在内到点的

距离为且到直线的距离为的点的轨迹是 （）A．圆 B．两个点 C．四个点 D．两条直线16.在正三棱柱中，，点满足，其中

，对于下列两个命题：①当时，有且仅有一个点，使得；

②当时，有且仅有一个点，使得⊥平面，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题； B．①为真命题，②为假命题；C．①为假命题，②为真命题； D．①为假命题，②为假命题；三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，

且．（1）求证：、、、四点共面；（2）设与交于点，求证：、、三点共线．18.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．19.（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，高为，（1）求异面直线和所成角的大小； （2）求与平面所成角的大小.20.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分,第三小题满分8分）已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将

沿折起，使得点到达点的位置.(1)证明：；(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围

21.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分,第三小题满分8分）在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点

，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右

侧，在的上方)，直线与相交于点.⑴设的两焦点为，求的值；⑵若，且，求点的横坐标；

⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若

存在，求出点的坐标，否则，说明理由.参考答案一、填空题1.；2.必要不充分；3.；4.；5.1；6.；7.或；8.③④；9.；10.；11.；12.；11.如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，

且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为．【答案】【解析】由平面，面，则面，面，所以，又且△BCD是以B为直角的等腰直角三角形，故，则△、△都为等腰直角三角形，将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1，所以，在等边△中E是CD中点，故，过M作面ACD垂线交面于N，且面，面，则，因为，面，面，故，又，面，故面，面，所以，面面，面面，且，易知：过M作面ACD垂线在面内，即面，而面，综上，点必在对角线上，且与所成角为，，则，在中，令，由，故，.二、选择题13.D；14.C；15.C；16.A三、解答题17.（1）证明略（2）证明略18.（1）证明略（2）存在，理由略（3）19.（1）（2）（3）20.已知面积为的菱形如图①所示，其中，是线段的中点．现将沿折起，使得点到达点的位置.(1)证明：；(2)若二面角的平面角大小为，求点到平面的距离；(3)若二面角的平面角，点在四面体的表面运动，且始终保持，求点的轨迹长度的取值范围.【答案】（1）证明略（2）（3）【解析】（1）证明：取中点，连结、,由四边形为菱形可知，，，,平面，（2）因为菱形的面积为，得，，，又因为二面角的平面角为，且大小为，所以，故点到平面的距离为，（3）取边上靠近点的四等分点，取的中点为，连接，，，同理，∵，平面，所以平面，故点的轨迹长度即为的周长.由于，，，且二面角的大小平面角，∵，∴，，则，，所以点的轨迹长度的取值范围为.21.在平面直角坐标系中，分别为椭圆的上下顶点，若动直线过点

，且与椭圆相交于两不同点(直线与轴不重合，且两点在轴右

侧，在的上方)，直线与相交于点.⑴设的两焦点为，求的值；⑵若，且，求点的横坐标；

⑶是否存在这样的点，使得点的纵坐标恒为？若

存在，求出点的坐标，否则，说明理由.【答案】（1）（2）（3