2024-2025学年高二上学期期末数学考点《导数与不等式》含答案解析

高中PAGE1高中清单11导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③转化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清单02】分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．【清单03】等价转化法①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.【清单04】最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清单05】值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题核心方法：变量分离【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函数(1)求函数图象上点到直线的最短距离；(2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范围.【变式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线y=fx的切线，交轴于点，再过作曲线y=fx的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）.(1)证明：数列为等差数列；(2)若数列的前项和为，求实数的值；(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围..【变式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值.(1)求的值；(2)求函数在点处的切线方程；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【变式1-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数.(1)若在处的切线方程为，求实数的取值；(2)试讨论的单调性；(3)对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围.【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题核心方法：变量分离【例2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若时，不等式有解，求的取值范围.【变式2-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【变式2-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡）已知函数．（1）若在点处的切线斜率为．①求实数的值；②求的单调区间和极值．（2）若存在，使得成立，求的取值范围．【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题核心方法：分类讨论法【例3】（2024·福建·三模）函数，其中为整数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)当x∈0,+∞时，恒成立，求的最大值.【变式3-1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立，求a的取值范围.【变式3-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且．(1)求函数在点处的切线方程；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【变式3-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数．(1)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题核心方法：分类讨论法【例4】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．(1)求证：；(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．【变式4-1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：；(3)设，若存在实数使得，求的最大值.【变式4-2】（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，，使得.【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全国·专题练习）已知函数．(1)试讨论的极值；(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.【变式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.（1）求的值；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【变式5-3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在0,+∞的函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．【考点题型六】等价转化法解决问题核心方法：等价转化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函数是自然对数的底数）.(1)若函数在处的切线方程为，求实数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．【变式6-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若在上至少存在一个，使得成立，求m的取值范围.【考点题型七】值域法解决双参等式问题核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【变式7-1】（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为.【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，函数.（1）求函数的最小值；（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.提升训练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．[0,8]3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（

）A． B．C． D．7．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（

）A． B． C． D．48．（2022高三·全国·专题练习）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是．三、解答题11．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．12．（2024·陕西西安·三模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求的取值范围．13．（24-25高三上·浙江金华·开学考试）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．14．（2024·西藏拉萨·二模）已知函数.(1)当时，求函数的最值；(2)若方程在上有解，求实数的取值范围.15．（24-25高三上·北京西城·期中）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围.16．（24-25高三上·湖北·期中）已知为函数的极小值点.(1)求的值；(2)设函数，若对，，使得，求的取值范围.17．（23-24高二下·四川雅安·期中）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.清单11导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】分离参数法用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．③转化：，使得能成立；，使得能成立．④求最值.【清单02】分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解．【清单03】等价转化法①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.【清单04】最值定位法解决双参不等式问题（1）,,使得成立（2）,,使得成立（3）,,使得成立（4）,,使得成立【清单05】值域法解决双参等式问题,,使得成立①，求出的值域，记为②求出的值域，记为③则,求出参数取值范围.【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题核心方法：变量分离【例1】（24-25高三上·江西·期中）已知函数(1)求函数图象上点到直线的最短距离；(2)若函数与的图象存在公切线，求正实数a的最小值；(3)若恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）由与平行且与相切的直线的切点到直线的距离最短，结合导数几何意义求切点坐标，应用点线距离公式求结果；（2）利用导数几何意义求、的切线方程，结合公切线列方程得，应用导数研究右侧最值，即可得结果；（3）问题化为恒成立，导数研究右侧最值求参数范围.【详解】（1）设与平行且与相切的直线，与的切点为，由题设，令，知，则M到直线的距离最短，所以.（2）设点是公切线在上的切点，则，则切线方程为，即，设点是公切线在上的切点，则，则切线方程为，即，综上，，，消去得，设函数，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以最大值为，则，即，所以，实数a的最小值为.（3）由，从而恒成立，设，则，设，则，则在上递减且，当时，，即单调递增；当时，，即，单调递减；所以得最大值为，则的取值范围是.【变式1-1】（24-25高三上·山西太原·期中）已知函数，令，过点作曲线y=fx的切线，交轴于点，再过作曲线y=fx的切线，交轴于点，……，以此类推，得到数列（）.(1)证明：数列为等差数列；(2)若数列的前项和为，求实数的值；(3)当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和【分析】（1）根据切线方程，求得与坐标轴的交点，整理数列递推公式，结合等差数列的定义，可得答案；（2）根据指数幂运算的运算律公式，结合（1）的结论以及等比数列，可得答案，（3）根据不等式构造函数，利用导数研究函数的最值，可得答案.【详解】（1）证明：由题意得曲线y=fx在点处的切线方程为，即，令，解得，则，即（），所以数列是以为首项、为公差的等差数列；（2）由（1）可得（），所以，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，其前4项的和为，所以实数；（3）原不等式等价于在0,+∞上恒成立，令，，则，令，，则，所以在0,+∞上递减，所以，令h′x<0，则；令h′所以hx在0,2上递增，在上递减，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理..【变式1-2】（24-25高三上·天津河北·期中）已知函数在处取得极小值.(1)求的值；(2)求函数在点处的切线方程；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可；（2）根据导数的几何意义求解切点坐标与切线斜率，即可得切线方程；（3）构造函数，求导得到函数的单调性，即可求解最值求解．【详解】（1）由，可得，由，解得，此时，时，单调递减，x∈0,+∞时，故是函数的极小值点，符合题意，所以.（2）由题可得：，在点1,f1处的切线方程为即（3）由恒成立，则恒成立，令，则，当时，，当x∈0,+∞时，，所以当时，恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．【变式1-3】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）设函数.(1)若在处的切线方程为，求实数的取值；(2)试讨论的单调性；(3)对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)1(2)单调递减区间是，单调递增区间是；(3)【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）根据导数的几何意义直接列出方程即可求解；（2）根据导数的正负讨论单调性即可；（3）分，三类讨论，分离出参数，右边设，分别求出其在：和时的最值，最后得到的范围.【详解】（1）由，则，因为在处的切线方程为，所以，即.（2）由（1）知，，，因为，所以时，f′x<0，当时，f′所以单调递减区间是，单调递增区间是.（3）若任意的x∈0,+∞，恒有即，在x∈0,+∞上恒成立，即，其中，当时，成立，当时，，则恒成立，令，令h′x<0，即，解得，故hx在故hx<0，所以此时，又因为，故，当时，，则恒成立，令h′x>0，即，解得，而h′x<0时，，故时，f′x时，f′x>0，此时故在时取得最小值，，即，又因为，故，综上所述，实数a的取值范围为.【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题核心方法：变量分离【例2】（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数.(1)讨论在区间上的单调性；(2)若时，不等式有解，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，求出函数的单调区间.（2）根据给定条件，将不等式分离参数得，再构造函数，，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（1）函数，求导得，由，得，当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增；当时，由，得；由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增.（2）依题意，不等式在时有解，即在时有解，令，，求导得，由，得；由，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最大值，因此，所以实数的取值范围是.【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.【变式2-1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．【详解】（1）因为，，令f'(x)=0，解得当时，，单调递减，当时，，单调递增，则的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）依题意，存在，使得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，因此，故的取值范围为．【变式2-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．(1)求a，b的值；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【知识点】根据极值点求参数、利用导数研究能成立问题、根据极值求参数、导数的运算法则【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．【详解】（1），则．因为函数在处取得极值4，所以，解得此时．易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则是函数的极大值点，符合题意．故，．（2）若存在，使成立，则．由（1）得，，且在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡）已知函数．（1）若在点处的切线斜率为．①求实数的值；②求的单调区间和极值．（2）若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；（2）.【知识点】利用导数研究能成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数的定义域为(0,+∞)，且，①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.②由①得，令，即，解得；令，即，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.（2）因为，由，即，即，设根据题意知存在，使得成立，即成立，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题核心方法：分类讨论法【例3】（2024·福建·三模）函数，其中为整数.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)当x∈0,+∞时，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)2【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可；（2）当时，可得恒成立；当时，转化问题为对于恒成立，设，，进而利用导数分析求解即可.【详解】（1）当时，，则，而，则，所以函数在处的切线方程为，即.（2）当时，，则恒成立，当时，由，得，即，则，即对于恒成立，设，，则，当时，显然恒成立，则函数在上单调递增，则，满足题意；当时，令，即，解得，此时函数在上单调递减，则，不满足题意.综上所述，的最大值为2.【变式3-1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）【分析】（1）求导，分和两种情况，解不等式，求出函数的单调性；（2）在（1）的基础上，考虑，和三种情况，结合函数单调性和最值，得到不等式，求出答案.【详解】（1）因为，，①若，则恒成立，在0,+∞上单调递增，②若，令，得，当时，f′x<0，当时，f′x>0，综上所述，当时，在0,+∞上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知，，当时，f′x>0，所以又趋向于0时，趋向于，故不恒成立；当时，，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增；所以，由恒成立，可得，因为，所以，解得综上，a的取值范围为.【变式3-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）已知函数的导函数为，且．(1)求函数在点处的切线方程；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程；（2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围.【详解】（1）求导得，令，则，，即：．（2）方法一，，①当时，左边右边，不等式显然成立．②当时，令当时，在上单调递减③当时，令，当时，单调递减；当时，单调递增．综上：的取值范围为．法二，令，，令，所以恒成立，在上递增．①若，即对在单调递减，，与矛盾，无解，舍去．②若，即，在上递增.故．③若即：时，使得，，即：即：，故综上．【变式3-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数．(1)当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；(2)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)个，理由见解析(2)【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点【分析】（1）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断；（2）根据题意，分与讨论，利用导数判断函数的单调性，然后再由的正负分情况讨论，代入计算，即可求解.【详解】（1），令，则，当时，，则在上单调递增.因为，，所以存在唯一的，使得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.又，所以，又，所以当时，在上有且只有一个零点.（2）①当时，，与当时，矛盾，故不满足题意.②当时，，，令，则，.记函数，，则，当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减，所以，所以.又因为在上单调递增，所以，所以在上单调递增.（i）若，则，所以在上单调递增，则，符合题意；（ii）若，则，使得，即，使得，因为，且在上单调递增，所以存在唯一的，使得.当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，其中，且.所以，因为，所以.又因为，所以，所以，满足题意.结合①②可知，当时，满足题意.综上，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为解决本问的关键.【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题核心方法：分类讨论法【例4】（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数．(1)求证：；(2)过点作直线与函数的图象均相切，求实数的值；(3)已知，若存在，使得成立，求实数的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题【分析】（1）等价变形所证不等式，再构造函数，利用导数求出最大值即得.（2）设出直线与函数图象相切的切点，利用导数求出切线方程，再与联立结合判别式求出值.（3）结合（1）的结论，按分类，借助导数讨论得解.【详解】（1）函数的定义域为，不等式，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，因此，所以.（2）依题意，，设直线与函数图象相切的切点为，则切线的方程为：，又直线过点，于是，整理得，即，令，求导得，即在上单调增，又，因此，切线的方程为，由与函数的图象相切，得，即，于是，解得，所以实数的值是.（3）①当时，，则，使，符合题意；②当时，，，则，又由（1）知，，因此，不合题意；③当时，令，当时，，则，当时，，则，则，令，求导得，由，得时；由，得时，函数在上单调递增，在上单调递减，因此，即当时，不合题意，所以的最大值为.【变式4-1】（2024·湖南娄底·一模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：；(3)设，若存在实数使得，求的最大值.【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)证明见解析；(3).【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题【分析】（1）求出f′x，判断导数正负得到函数（2）利用分析法转化要证结论，要证，即证，令，即证，利用导数判断hx单调性，求出最大值即可得证；（3），分别讨论当时和时是否存在使得，即可求解.【详解】（1）的定义域为，所以当时，f′x>0；当时，f所以的增区间为，减区间为1,+∞.（2）要证，即证，令，即证，，令，则，所以在R上单调递减，又，当时，；当时，.在上单调递增，在0,+∞上单调递减，，所以，即得证.（3）当时，，即存在满足题意；当时，由（2）知，，此时gx<0综上，所以的最大值为.【变式4-2】（23-24高三上·广西玉林·开学考试）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当时，，使得.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求解单调区间作答.（2）由（1）求出函数在的最大值，结合题意构造函数，利用导数推理作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，，当时，恒有，函数在上单调递减；当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增；当时，由，得或，单调递减，由，得，单调递增；所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值，于是当时，，使得成立，当且仅当时，成立，即当时，成立，令函数，求导得，令，求导得，于是函数，即在上单调递增，，因此函数在上单调递增，，即当时，成立，所以当时，，使得.【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题核心方法：最值定位法【例5】（2024高二·全国·专题练习）已知函数．(1)试讨论的极值；(2)设，若，，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究双变量问题【分析】（1）先讨论的单调性，再确定极值（2），，使得等价于，分别求出与，即可求解【详解】（1）函数的定义域为，．当时，，所以在上为增函数，此时函数不存在极值．当时，由，解得，故在上单调递增．由，解得，故在上单调递减．此时函数在处取得极大值．无极小值．综上所述，当时，函数不存在极值．当时，函数在处取得极大值，无极小值．（2）由（1）知当时，在上为增函数，故无最大值，此时不符合题意；当时，．易知在上单调递减，所以．因为，，使得，所以，即解得，所以实数a的取值范围是．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围.【答案】【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、利用导数研究双变量问题【分析】转化对，，，，恒有成立为，利用二次函数的性质和导数分别求解两个函数的最小值，代入解不等式即可【详解】若对，，，，恒有成立，只需在，上，即可.，，，在，，，，故与，是单调递增区间.在，，故，是单调递减区间.因此的极小值为又，所以所以，解得的范围为.【变式5-2】（23-24高二下·安徽滁州）已知函数，，若函数的图象与函数的图象的一个公共点的横坐标为且两函数图象在点处的切线斜率之和为.（1）求的值；（2）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究双变量问题【分析】（1）由题意列方程组，解出的值；（2）把对任意，不等式恒成立，转化为，分别求出和，建立不等式，即可求出k的范围.【详解】解：（1）因为，所以，即，

又，所以，由题意得，所以由得（2）由（1）得，对任意的，恒成立，所以，因为，令得，令得或.所以函数在上单调递减，在上单调递增.而，所以，而，当时，，故，所以实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，(1)若，，总有成立，故；(2)若，，有成立，故；(3)若，，有成立，故；(4)若，，有，则的值域是值域的子集．【变式5-3】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，时，，是定义在0,+∞的函数，且．（1）求函数的解析式；（2）若对于，，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【知识点】由奇偶性求函数解析式、利用导数研究双变量问题【分析】（1）根据奇偶性概念即可求出解析式；（2）将对于，，使得成立转化为，然后求出函数的最值，解不等式即可.【详解】（1）设，则，所以，又是奇函数，所以，所以，又，所以（2）由题意得．当时，，所以在上单调递增，所以；当时，，所以在上单调递增，所以，所以．对于，因为，，所以，当且仅当即时等式成立．所以，所以，整理得，所以实数a的取值范围是．【考点题型六】等价转化法解决问题核心方法：等价转化法【例6】（23-24高三上·四川成都）已知函数是自然对数的底数）.(1)若函数在处的切线方程为，求实数的值；(2)若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题【分析】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解.（2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可.【详解】（1）由题意，知，则.因为函数在处的切线方程为，所以，解得.（2）令，则，即，所以，即因为，使得成立，即，使得成立，所以.①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增，所以，所以.②当时，令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，即，故.综上所述，实数的取值范围为.【变式6-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）=mx--lnx，mR，函数在上为增函数，且．(1)当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值;(2)求θ的值;(3)若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求m的取值范围．【答案】(1)增区间是，减区间为，函数有极大值;(2)(3)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题【分析】（1）由，得到，利用导数法求解；（2）根据题意得到在上恒成立，转化为恒成立求解；（3）令分，，讨论求解.【详解】（1）解：∵，∴，，∴．令，则．∴，和的变化情况如下表：+0递增极大值递减

即函数增区间是，减区间为，函数有极大值是;（2）由已知在上恒成立，即，在上恒成立，∵，∴，故在上恒成立，只需，即，∴只有，由，知；（3）令当时，由，则，，此时不存在，使得成立当时，，所以在上单调递增，所以，令，则，所以实数m的取值范围是.【变式6-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若在上至少存在一个，使得成立，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【知识点】利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值点【分析】（1）求出（），再利用导数与函数单调性之间的关系求出单调区间，进而求出极值点即可.（2）构造函数，当时，得出在不存在使不等式成立；当时，判断，判断函数在单调递增，只需即可.【详解】解：（1）因为（）由，得，令，解得，，解得，所以函数在上为单调递减；在上单调递增，所以为函数的极小值点（2）构造函数，当时，，，，所以在不存在使得成立.当时，因为，∴，，所以在恒成立，故在单调递增，，所以只需，解之得，故的取值范围.【考点题型七】值域法解决双参等式问题核心方法：值域法【例7】（23-24高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数.（1）若，求曲线在处切线方程；（2）讨论的单调性；（3）时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见详解；（3）【知识点】利用导数研究双变量问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）利用导数的几何意义直接求切线方程，；（2）首先求函数的导数，，分和两种情况讨论函数的单调性；（3）由题意可知的值域是，值域是，，所以分别求两个函数的值域，转化为子集问题求实数的取值范围.【详解】（1）由已知时，，，，，故曲线在处切线的方程是，即.（2）定义域为0,+∞，，当时，恒成立，所以在0,+∞上单调递增；当时，时恒成立，时恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减；综上述，当时，在0,+∞上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）由已知，转化为在的值域和在的值域满足：，易求.又且，在上单调递增，故值域.所以，解得，即.【点睛】本题考查利用导数求切线方程和讨论函数的单调性，本题第三问考查双变量的问题，对任意，存在问题求参数的取值范围，若满足，，使，只需满足，若是，只需满足.【变式7-1】（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题【分析】，在，上单调递增，即可得出函数的值域．再求出的导函数，即可得到的解析式，令，，，设函数的值域为．利用二次函数的单调性可得．根据题意：对任意，，总存在，，使得成立，可得．进而得出实数的取值范围．【详解】解：，在，上单调递增，，．的值域．因为所以，，令，，，设函数的值域为．对任意，，总存在，，使得成立，．．，．又．．解得：，实数的取值范围为．故答案为：．【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，函数.（1）求函数的最小值；（2）若对于任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题【分析】（1）求的导函数，判断的单调性，确定单调区间，从而确定最小值点以及最小值；（2）由题意可知值域为值域的子集且，求出的值域进行运算即可.【详解】（1），则且，所以时或，，则在和4,+∞上单调递增，在上单调递减，又，，所以当时，有最小值.（2）由题意可知值域为值域的子集且则，在单调递增即解得.【点睛】结论点睛：一般地，已知函数，若，，有，则的值域是值域的子集.提升训练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解.【详解】因为不等式恒成立，所以不等式恒成立．设，则由题意知函数的图象恒不在直线的下方.易知，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，当时，，当时，，当时，．直线恒过点，当直线与曲线相切时，设切点为，则解得或，故当直线与曲线相切时的值为或．在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示，数形结合，可知，实数的取值范围为，故选：A．【点睛】方法点睛：将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，先求出直线与曲线相切时的值最后作出两函数图象，数形结合即可得解.2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．[0,8]【答案】D【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解．【详解】不妨设，因为对一切都成立，所以对一切都成立，令，则．定义域为，则原问题转化为在上单调递增；，当时，，在单调递增；当时，需在上恒成立，即在上恒成立，对于图象过定点，对称轴为，故要使得在上恒成立，需满足a>0且，解得，综合可得，即的取值范围为,．故选：D.【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求.3．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、根据分段函数的单调性求参数【分析】问题等价于在单调递增，根据分段函数在定义域内单调递增的等价条件求解即可.【详解】解：设.由对任意，都有，即，也就是，所以在单调递增.当时，单调递增，所以，所以；当时，单调递增，所以恒成立，即恒成立，又因为，所以，所以只需即可，所以或，所以.在单调递增，还应该满足，即或，又因为，所以.故选：A4．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究能成立问题【分析】利用导函数证明在区间上单调递增，从而得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从而得出范围.【详解】，∴时，f′x>0∴在区间上单调递增，∴当时，，令，则，令，则，∵，∴时，h′x>0，∴∴，∴在上单调递增，∴，由题意可知，∴.故选：B5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可.【详解】已知，由得，，构造函数则是R上的增函数，则由得：，即，令，，当则单调递减，当，则单调递增，∴，则又则.故选：C.6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.【详解】函数，因为，，所以f′x≥0，故在上单调递增，所以.又，所以在上也是单调递增，所以.因为对任意的，总存在，使成立，等价于，所以，解得，故实数a的范围是.故选：D.7．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的最小值是（

）A． B． C． D．4【答案】D【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可.【详解】由能成立，问题转化为，令，由；由，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，则，故m的最小值为4．故选：D.8．（2022高三·全国·专题练习）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果.【详解】由题意可知：，因为，则，注意到，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，又因为，由二次函数性质可知，可得，即实数的取值范围是.故选：C.二、填空题9．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题【分析】分离参数可得在区间上有解，转化为求函数的最小值即可求.【详解】,不等式，即在区间上有解.设，，则，令，设，,，则在区间上单调递增，故，即.故要使在区间上有解，则.即实数的取值范围是.故答案为：.10．（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是．【答案】【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】构造函数，利用单调性得到，分离参数，求出，，的最大值即可【详解】由条件得，构造函数，对其求导得，令得，于是当时，f′x<0，函数单调递减；当时，f′x>0因为，，所以，，根据，得到，分离参数得对恒成立，只需构造函数，，对其求导得，令得，于是当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，于是，因此k的取值范围是故答案为：三、解答题11．（23-24高二下·广东湛江·期中）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)单调增区间为和(1,+∞)，减区间为(2)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式【分析】（1）利用导数判断单调性即可；（2）由（1）得，，由题意得，即，解出不等式即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，，令得或．当(1,+∞)时，，当−1,1时，，所以的单调增区间为和(1,+∞)，减区间为−1,1．（2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故实数a的取值范围为．12．（2024·陕西西安·三模）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若当时，恒成立，求的取值范围．【答案】(1)．(2)．【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成