热点08 解直角三角形及其应用

热点08解直角三角形及其应用中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）二、解直角三角形（每年1道，3分）三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。

考向一：特殊角的三角函数值的运算【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】满分技巧特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。1．（2023•天津）的值等于（）A．1 B． C． D．22．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝．3．（2023•菏泽）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．4．（2023•内江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，则sinB的值为．5．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．6．（2023•西藏）计算：．考向二：解直角三角形【题型2利用已知信息求解对应角的三角函数值】满分技巧解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：做垂线1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．2．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【题型3利用三角函数值求解几何图形的线段】满分技巧此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。1．（2023•西宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为.（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）2．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为；点D的坐标为．考向三：解直角三角形的应用【题型4坡度坡角问题】满分技巧坡度坡角的意义：坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米C．米 D．米3．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【题型5仰角俯角问题】满分技巧仰角俯角的意义：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角1．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【题型6方向角问题】满分技巧方向角遵循——上北下南，左西右东。因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。1．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．2．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．3．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）重难通关练（建议用时：30分钟）1．（2023•无锡）cos60°的值为（）A． B． C． D．2．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（）A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米3．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米4．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．25．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（）A． B． C． D．6．（2023•南通）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A． B． C． D．7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．9．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．10．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）11．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．（结果保留根号）12．为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．13．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是．14．（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为m．（精确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）15．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．16．（2023•内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．18．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）19．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，）20．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）培优争分练（建议用时：30分钟）1．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15° B．45° C．30° D．60°3．（2024•界首市校级一模）如图，滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．150tan18°米 B．150sin18°米C．米 D．米4．（2024•道里区模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、B、D三点在同一直线上，若AB＝（8+8）米，则这棵树CD的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米5．如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若AD＝CD，AB＝BD，则tan∠C的值为（）A． B．2 C． D．6．（2024•平城区一模）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（）A． B．C． D．7．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°8．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是．9．（2024•平城区一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为米．（结果保留根号）10．（2024•秦都区校级一模）计算：（1）sin230°+2sin60°+tan45°+cos230°；（2）﹣2sin45°+2cos60°+|1﹣|+（）﹣1．11．（2024•秦都区校级一模）如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D．（1）求坡顶B的高度；（2）求楼顶C的高度CD．12．（2024•河南一模）我国的无人机水平位居世界前列，“大疆”无人机更是风靡海外．小华在一条东西走向的笔直宽阔的沿江大道上玩无人机航拍．已知小华身高AB为1.8m，无人机匀速飞行的速度是2m/s，当小华在B处时，测得无人机在C处的仰角为45°；3s后，小华沿正东方向前进3m到达E处，无人机沿正西方向匀速飞行到达F处，此时测得无人机在F处的仰角为72.6°，已知无人机的飞行路线CF平行于地面（直线l）．求无人机在C处时距离地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin72.6°≈0.95，cos72.6°≈0.30，tan72.6°≈3.20）13．（2024•沈丘县一模）第31届世界大学生运动会于2023年7月28日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD的大致高度，当他步行至点A处，测得此时塔顶C的仰角为42°，再步行20米至点B处，测得此时塔顶C的仰角为65°（如图2所示，点A，B，D在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）14．数学兴趣小组的成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向，AC＝50m；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD∥AB，求古树C，D之间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.32）15．（2024•遂平县一模）宝岩寺塔始建于北宋时期，已有近千年的历史，为仿木结构楼阁式七级砖塔，整体呈奶黄色，平面呈六角形，塔角雕饰龙首，塔身浮雕壁画，如今已经成为驻马店西平县的地标性建筑．某实践探究小组想测得宝岩寺塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表．实践探究活动记录表活动内容：宝岩寺塔的高度活动日期：2024年3月12日成员组长：xx组员：xxxxxxxxxxxx工具：测角仪，皮尺等测量示意图说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在A，B两处通过测角仪可测得∠DAC，∠DBC的度数，以及使用皮尺测得AB的长度．测量数据角的度数∠DBC＝53°∠DAC＝30°∠BCD＝90°边的长度AB＝28.8米计算数据求塔高（CD）（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin，cos53°≈，）特殊说明（点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上）16．（2024•鹿城区校级一模）【问题背景】一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．【问题探究】如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为．斜坡CD的坡比为，两观测点CD的距离为15m．学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．任务1：计算C，D两点的垂直高度差．任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．【问题解决】为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为；小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为．任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．

热点08解直角三角形及其应用考向一：特殊角的三角函数值的运算【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】满分技巧特殊角的三角函数值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函数值，可以直接记数值，也可以记定义，然后现退对应函数值，但显然，直接熟记对应数值会便捷很多。1．（2023•天津）的值等于（）A．1 B． C． D．2【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．【解答】解：原式＝+＝，故选：B．2．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9+1﹣2×＝9+1﹣1＝9，故答案为：9．3．（2023•菏泽）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝．【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．故答案为：1．4．（2023•内江）在△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，则sinB的值为．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b，c的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：∵a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，∴（a﹣6）2+|c﹣10|+＝0，∴a﹣6＝0，c﹣10＝0，b﹣8＝0，∴a＝6，c＝10，b＝8，∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∵△ABC中，∠A、∠B，∠C的对边分别为a、b、c，∴sinB＝＝＝．故答案为：．5．（2023•金华）计算：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|．【分析】先计算零次幂、化简二次根式，再代入特殊值的函数值算乘法并化简绝对值，最后算加减得结论．【解答】解：（﹣2023）0+﹣2sin30°+|﹣5|＝1+2﹣2×+5＝1+2﹣1+5＝7．6．（2023•西藏）计算：．【分析】利用负整数指数幂，特殊锐角的三角函数值，零指数幂，立方根的定义进行计算即可．【解答】解：原式＝4+2×﹣1﹣3＝4+﹣1﹣3＝．考向二：解直角三角形【题型2利用已知信息求解对应角的三角函数值】满分技巧解直角三角形口诀“直乘斜除，对正临余”——求直角三角形的直角边，多用乘法；求斜边，多用除法。求已知角的对边，多用正弦或正切值；求已知角的临边，多用余弦值。常见辅助线：做垂线1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故选：C．2．（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（）A． B． C． D．【分析】连接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故选：A．3．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．【分析】设AD＝t，根据已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：设AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案为：．【题型3利用三角函数值求解几何图形的线段】满分技巧此类计算更多的是注意审题，因为题目中可能会要求精确位数，或者保留几位有效数字，这时候要注意，一般计算到最后一步才带入参考数据计算，然后四舍五入。1．（2023•西宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为8.0.（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【分析】根据正弦定义求解即可．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∴sinA＝，∵AB＝12，∠A＝42°，sin42°≈0.67，∴BC＝12×0.67≈8.0，故答案为：8.0．2．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，根据等腰直角三角形的性质可得CE＝2，再通过解直角三角形可求得OE的长，进而可求解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴CE＝BD＝2cm，在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，∴tan37°＝，∴OE＝2.7cm，即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm．故答案为：2.7．3．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A（3，0），B（0，4），点C在x轴负半轴上，连接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为；点D的坐标为．【分析】过点C作CE⊥AB于E，先求处AB＝5，再设BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，进而得BC＝，由三角形的面积公式得S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即5×2t＝4×（3+OC），则OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），此时OC＝﹣3＝2，故此可得点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD为等边三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，进而再求出m即可得点D的坐标．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：∵点A（3，0），B（0，4），由两点间的距离公式得：AB＝＝5，设BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC•OB＝AB•CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合题意，舍去），∴t＝2，此时OC＝﹣3＝2，∴点C的坐标为（﹣2，0），设点D的坐标为（m，n），由两点间的距离公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD为等边三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，将m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，当n＝时，m＝3﹣2n＝，∴点D的坐标为或．故答案为：（﹣2，0）；或．考向三：解直角三角形的应用【题型4坡度坡角问题】满分技巧坡度坡角的意义：坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，坡度越大，坡角越大，坡面越陡1．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J【分析】根据题意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），故选：B．2．（2023•长春）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC＝32米），则彩旗绳AB的长度为（）A．32sin25°米 B．32cos25°米C．米 D．米【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．【解答】解：如图，由题意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故选：D．3．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，该车的高度AO＝1.7m．如图2，打开后备厢，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平面的夹角∠B'AD＝27°．（1）求打开后备厢后，车后盖最高点B'到地面l的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足为点E，先求出B′E的长，再求出B′E+AO的长即可；（2）过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m，从而得出C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比较即可．【解答】解：（1）如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行线间的距离处处相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．（2）没有危险，理由如下：如图，过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′•cos60°＝0.3m．∵平行线间的距离处处相等，∴C′到地面的距离为2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴没有危险．【题型5仰角俯角问题】满分技巧仰角俯角的意义：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角.俯角：视线在水平线下方的叫俯角1．（2023•衢州）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，AB＝b，AB的最大仰角为α．当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a+bcosα D．a+bsinα【分析】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根据点A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案【解答】解：如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB•sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC•sin45°＝a×＝a，∴点A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，故选：D．2．（2023•日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，则灯塔的高度AD大约是（）（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m【分析】根据题意可得：AD⊥BD，然后设CD＝xm，则BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AD⊥BD，设CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD•tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD•tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴灯塔的高度AD大约是36m，故选：B．3．（2023•浙江）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【分析】（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义得到EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），根据全等三角形的性质得到结论；（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，根据三角函数的定义得到MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），根据全等三角形的性质得到PN＝MP＝54.0cm，于是得到结论．【解答】解：（1）过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm），∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（ASA），∴EF＝DF＝35.1cm，∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），∴小杜最少需要下蹲208﹣195.1＝12.9厘米才能被识别；（2）如图2，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm），∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA），∴PN＝MP＝54.0cm，∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm），∴小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），∴小若头顶超出点N的高度为：123﹣106.0＝17.0（cm）＞15cm，∴踮起脚尖小若能被识别．【题型6方向角问题】满分技巧方向角遵循——上北下南，左西右东。因为这类题目常和特殊角结合，故作辅助线时，谨记一个原则：不能破坏已有的特殊角。1．（2023•眉山）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是海里．【分析】过点C作CH⊥AB于H．证得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【解答】解：过点C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：渔船与灯塔C的最短距离是6（+1）海里．故答案为：6+6．2．（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）．【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，设BD＝xnmile，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BD⊥AC于D，则∠BDC＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝31°，∠CBD＝61°，设BD＝xnmile，∴AD＝BD•tan31°，CD＝BD•tan61°，∵AC＝10nmile，∴x•tan31°+x•tan61°＝x（0.60+1.80）＝10，∴x＝BD≈4.2nmile，答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2nmile．3．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3600米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，解直角三角形求出AD，CD．在Rt△BCD中，解直角三角形即可求出BC；（2）求出AD，BD，进而求出AB，根据速度公式即可得到结论．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝3600米，cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝3600×＝1800（米），CD＝×3600＝1800（米）．在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴∠B＝45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝1800（米），∴BC＝＝1800≈1800×1.414≈2545（米）．答：B养殖场与灯塔C的距离约为2545米；（2）AB＝AD+BD＝1800+1800≈1800×1.732+1800≈4917.6（米），600×9＝5400（米），∵5400米＞4917.6米，∴能在9分钟内到达B处．重难通关练（建议用时：30分钟）1．（2023•无锡）cos60°的值为（）A． B． C． D．【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：cos60°＝．故选：B．2．（2023•南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（）A．米 B．米 C．x•sinα米 D．x•cosα米【分析】根据题意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答．【解答】解：由题意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C两处相距米，故选：B．3．（2023•十堰）如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米【分析】由∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，得∠ABC＝∠ACB＝45°，则AC＝AB＝5米，由∠BAD＝90°，∠D＝30°，得∠ABD＝60°，则＝tan60°＝，所以AD＝AB，则CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC≈3.66米，于是得到问题的答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝5米，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠D＝30°，∴∠ABD＝60°，∴＝tan∠ABD＝tan60°＝，∴AD＝AB，∴CD＝AD﹣AC＝AB﹣AC≈1.732×5﹣5≈3.66（米），∴CD的长度约为3.66米，故选：D．4．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故选：C．5．（2023•淄博）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接EG，DG．若正方形ABCD与EFGH的边长之比为：1，则sin∠DGE等于（）A． B． C． D．【分析】由题意得：，解得：，进而求解．【解答】解：过点D作ND⊥GE交GE的延长线于点N，由题意知，两个正方形之间是4个相等的三角形，设△ABG的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为x，小正方形的边长为x，即ED＝BG＝HC＝AF＝b，AG＝BH＝CE＝DF＝a，EG＝b，由题意得：，解得：，在△GDE中，EG＝GH＝b，则NE＝ND＝ED＝b＝x，EG＝GH＝（a﹣b）＝x，则tan∠DGE＝＝，则sin∠DGE＝，故选：A．6．（2023•南通）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A． B． C． D．【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AD＝120m，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：AD＝120m，在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40（m），在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝120（m），∴BC＝BD+CD＝160（m），∴这栋楼的高度为160m，故选：B．7．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．8．（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故选：A．9．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．10．如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，则共需钢材约m（结果取整数）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根据等腰三角形的三线合一性质可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC，AD的长，从而求出AB的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需钢材约＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案为：21．11．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．（结果保留根号）【分析】过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，先求出EM的长，在Rt△EBM中求出BM的长，然后求出BN的长，在Rt△FBN中求出FN的长，即可求出DF的长．【解答】解：如图，过点E作EM⊥过点B的水平线于M，过点F作FN⊥过点B的水平线于N，由题意可知CM＝DN＝AB＝30米，又∵CE＝15米，∴EM＝15米，在Rt△EBM中，∠EBM＝45°，∴BM＝EM＝15米，又∵A是CD的中点，∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，在Rt△BFN中，tan∠FBN＝，∵∠FBN＝30°，BN＝15米，∴，∴FN＝米，∴DF＝（30﹣）米．故答案为：（30﹣）．12．为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A地和B地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路AB．如图，经勘测，AC＝6千米，∠CAB＝60°，∠CBA＝37°，则改造后公路AB的长是千米（精确到0.1千米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中利用∠CAB的余弦函数求出AD，利用∠CAB的正弦函数求出CD，然后再Rt△BCD中利用∠CBA正切函数求出DB，进而可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图：在Rt△ADC中，AC＝6，∠CAB＝60°，，，∴AD＝AC•cos∠CAB＝6cos60°＝3（千米），（千米），在Rt△CDB中，∠CBA＝37°，，，∴（千米），∴（千米）．答：改造后公路AB的长是9.9千米．故答案为：9.9．13．某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m（AC＝1m）的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是．【分析】延长CD交EF于点G，根据题意可得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，然后利用三角形的外角性质可得∠DEC＝∠ECD＝30°，从而可得ED＝CD＝30m，最后在Rt△EGD中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：延长CD交EF于点G，由题意得：DB＝AC＝FG＝1m，CG⊥EF，DC＝AB＝30m，∠EDG＝60°，∠ECG＝30°，∵∠EDG是△EDC的一个外角，∴∠DEC＝∠EDG﹣∠ECG＝30°，∴∠DEC＝∠ECD＝30°，∴ED＝CD＝30m，在Rt△EGD中，EG＝ED•sin60°＝30×＝15（m），∴EF＝EG+FG＝（15+1）m，∴该建筑物的高是（15+1）m，故答案为：（15+1）m．14．（2023•泰安）在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量．如图，在塔前C处，测得该塔顶端B的仰角为50°，后退60m（CD＝60m）到D处有一平台，在高2m（DE＝2m）的平台上的E处，测得B的仰角为26.6°．则该电视发射塔的高度AB为m．（精确到1m．参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5）【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，然后设AC＝xm，则EF＝AD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△FBE中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，由题意得：AF＝DE＝2m，EF＝AD，BA⊥DA，设AC＝xm，∵CD＝60m，∴EF＝AD＝AC+CD＝（x+60）m，在Rt△ABC中，∠BCA＝50°，∴AB＝AC•tan50°≈1.2x（m），在Rt△FBE中，∠BEF＝26.6°，∴BF＝EF•tan26.6°≈0.5（x+60）m，∴AB＝BF+AF＝[2+0.5（x+60）]m，∴1.2x＝2+0.5（x+60），解得：x＝，∴AB＝1.2x≈55（m），∴该电视发射塔的高度AB约为55m，故答案为：55．15．（2023•北京）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．16．（2023•内蒙古）计算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．【分析】根据绝对值的性质、零指数幂和负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×＝2﹣2+1+4﹣1＝2+2．17．（2023•绥化）如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得出CH﹣CH＝40，进而求出答案；（2）求出HP，根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥EF于点H，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝，∴HB＝CH，在Rt△CHD中，∠CDH＝45°，∴CH＝DH，又∵BH﹣DH＝BD＝40，∴CH﹣CH＝40，解得CH＝20+20，即河两岸之间的距离是（20+20）米；（2）在Rt△CHP中，HP＝HD＝PD＝20+20﹣（12+12）＝8+8，∴tan∠CPE＝＝＝＝．18．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACG＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长OA，ED交于点M，根据垂直定义可得∠AOB＝90°，从而利用平行线的性质可得∠DMA＝∠AOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠DAM＝∠GAC＝58°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ADM＝32°，然后在Rt△ADM中，利用锐角三角函数的定义求出AM的长，从而利用线段的和差关系求出MO的长，比较即可解答．【解答】解：（1）∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°，∴∠GAC的度数为58°；（2）该运动员能挂上篮网，理由如下：延长OA，ED交于点M，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵DE∥OB，∴∠DMA＝∠AOB＝90°，∵∠GAC＝58°，∴∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°，在Rt△ADM中，AD＝0.8米，∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米），∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米），∵2.924米＜3米，∴该运动员能挂上篮网．19．（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，）【分析】先说明三角形ABD是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出BD，再在Rt△ACD中用直角三角形的边角间关系求出CD，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度．【解答】解：由题意知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC．∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝∠ABD＝45°．∴BD＝AD＝10（米）．在Rt△ACD中，CD＝AD•tan∠CAD＝AD•tan60°＝10（米）．∴（米）．答：该建筑物BC的高度约为27.3米．20．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）【分析】当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC∥AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根据已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．【解答】解：点C离地面的高度升高了，理由：如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，∵BC⊥MN，AH⊥MN，∴BC∥AH，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ADC＝∠GAE＝60°，∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，∴DK＝288﹣208＝80（cm），在Rt△CDK中，CD＝＝＝160（cm），如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，CD＝160cm，∴DQ＝CD•cos54°≈160×0.6＝96（cm），∴96﹣80＝16（cm），∴点C离地面的高度升高约16cm．培优争分练（建议用时：30分钟）1．（2024•秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当AB为斜边，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cosA＝＝＝；②当AC为斜边，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cosA＝＝；综上所述，cosA的值等于或．故选：C．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（）A．15° B．45° C．30° D．60°【分析】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tanB＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．3．（2024•界首市校级一模）如图，滑雪场有一坡角为18°的滑雪道，滑雪道AC长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（）A．150tan18°米 B．150sin18°米C．米 D．米【分析】根据正弦的定义进行解答即可．【解答】解：∵sinC＝，∴AB＝AC•sinC＝150sin18°米，答：滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为150sin18°米，故选：B．4．（2024•道里区模拟）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A、B、D三点在同一直线上，若AB＝（8+8）米，则这棵树CD的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【分析】根据题意可得：CD⊥AB，设BD＝x米，然后在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，然后根据AD+BD＝AB，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：CD⊥AB，设BD＝x米，在Rt△BDC中，∠CBD＝60°，∴CD＝BD•tan60°＝x（米），在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，tan∠DAC＝1，∴AD＝＝（米），∵BD+AD＝AB，∴x+x＝8+8，解得x＝8，∴CD＝x＝8（米），∴这棵树CD的高度约为8米．故选：B．5．如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，若AD＝CD，AB＝BD，则tan∠C的值为（）A． B．2 C． D．【分析】根据正切的定义表示出tan∠C，再结合题中所给线段之间的关系即可解决问题．【解答】解：由题知，因为AD＝，所以设CD＝k，则AD＝．又因为AB＝BD，且∠B＝90°，所以AB＝BD＝k，则BC＝k+k＝2k．在Rt△ABC中，tan∠C＝．故选：D．6．（2024•平城区一模）如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20cm，AB＝160cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（）A． B．C． D．【分析】点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，由含30°角的直角三角形的性质得DF＝2AD＝40cm，再由勾股定理得AF＝20cm，则BF＝（160﹣20）cm，然后由含30°角的直角三角形的性质得BE＝（80﹣10）cm，则EF＝BE＝（80﹣30）cm，进而求出DE的长即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F，则∠BEF＝90°，由题意可知，∠ABC＝60°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝BF，∵AD⊥AB，∴∠A＝90°，∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20cm，∴DF＝2AD＝40cm，∴AF＝＝＝20（cm），∵AB＝160cm，∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20）cm，∴BE＝×（160﹣20）＝（80﹣10）（cm），∴EF＝BE＝（80﹣30）cm，∴DE＝EF+DF＝80﹣30+40＝（80+10）（cm），即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（80+10）cm，故选：D．7．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，当跷跷板的一端B着地时，跷跷板AB与地面MN的夹角为20°，测得AB＝1.6m，则OC的长为（）A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：∵O为跷跷板AB的中点，AB＝1.6m，∴OB＝0.8m，在Rt△OCB中，sinB＝，则OC＝OB•sinB＝0.8sin20°，故选：C．8．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是．【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．9．（2024•平城区一模）数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG＝30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG＝45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在一条直线上，则车辆限高杆AB的高度为米．（结果保留根号）【分析】延长EF，交AB于点H，设HF＝x米，在Rt△AHF中，可得AH＝HF＝x米，在Rt△AHE中，tan30°＝，求出x的值，进而可得出答案．【解答】解：延长EF，交AB于点H，由题意得，HB＝DF＝CE＝1.6米，CD＝FE＝2米，设HF＝x米，则EH＝HF+FE＝（x+2）米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴AH＝HF＝x米，在Rt△