第7章　锐角三角函数　单元测试题

第7章锐角三角函数一、选择题(每小题4分,共28分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为 ()A.513 B.1213 C.512 2.若∠A是锐角,且sinA=32,则∠A的度数为(A.15° B.30° C.45° D.60°3.在Rt△ABC中,若∠C=90°,cosA=725,则sinA的值为 (A.2425 B.724 C.725 4.若菱形的周长为20cm,其中较小角的余弦值为45,则该菱形的面积为 (A.15cm2 B.20cm2 C.25cm2 D.30cm25.如图1,网格图中小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是()图1A.31010 B.12 C.136.如图2,要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和点D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD=10m,则AB的长约为(参考数据sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7,tan45°=1)()图2A.15m B.30m C.35m D.40m7.将一副学生常用的三角尺如图3所示摆放在一起,组成一个四边形ABCD,连接AC,则tan∠ACD的值为 ()图3A.3 B.3+1 C.3-1 D.23二、填空题(每小题5分,共30分)8.若锐角α满足12<cosα<22,则α的范围为9.已知锐角α,且sinα=cos35°,则α=度.

10.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=8,则AB=11.2022年在北京将举办第24届冬季奥运会,很多学校都开展了冰雪项目学习.如图4,滑雪轨道由AB,BC两部分组成,AB,BC的长度都为200米,一位同学乘滑雪板沿此轨道由点A滑到了点C,若AB与水平面的夹角α为30°,BC与水平面的夹角β为45°,则他下降的高度为米(结果保留根号).

图4图512.如图5所示,将矩形ABCD沿CE折叠,点B恰好落在边AD上的点F处,如果ABBC=23,那么tan∠DCF的值是13.如图6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinA=45,点C关于直线AB的对称点为D,E为边AC上不与点A,C重合的动点,过点D作BE的垂线交BC于点F,则DFBE的值为图6三、解答题(共42分)14.(8分)计算:tan230°+2sin60°+tan45°-tan60°+cos230°.15.(10分)如图7,已知在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34(1)求边AC的长;(2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求ADBD的值图716如图,在△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC=45,BF为AD边上的中线.(1)求AC的长;(2)求tan∠FBD的值.17.(10分)如图8,在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B,C.一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方向航行至D处,在B,C处分别测得∠ABD=45°,∠C=37°.求轮船航行的距离AD.(参考数据:sin26°≈0.44,cos26°≈0.90,tan26°≈0.49,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图818]如图,点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上,AC=10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°,他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时,观测树顶B的仰角为45°,此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H,B,D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m,求建筑物CD的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:2≈1.41,3≈1.73)19.(14分)问题呈现如图9①,在边长为1的正方形网格中,连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.通过观察我们发现问题中的∠CPN不在直角三角形中,则常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.问题解决(1)直接写出图①中tan∠CPN的值为;

(2)如图②,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值;思维拓展(3)如图③,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到点N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求∠CPN的度数.图9

答案1.B2.D3.A4.A5.D6.B7.B8.45°<α<60°9.5510.1011.(100+1002).12.5213.242514.解:原式=332+2×32+1-3+322=13+3+1-3+=251215.解:(1)过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=34,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中,根据勾股定理,得AC=32+1(2)连接CD,设BC的垂直平分线与BC的交点为F.∵DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=52∵tan∠DBF=DFBF=3∴DF=158在Rt△BFD中,根据勾股定理,得BD=(52)∴AD=5-258=15∴ADBD=316.解:(1)∵AC⊥BD,∴∠ACB=90°,∴cos∠ABC=BCAB=4∵BC=8,∴AB=10.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AC=AB2-BC2=(2)如图,连接CF,过点F作FE⊥BD,垂足为E.在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD=AC2+CD2∵BF为AD边上的中线,即F为AD的中点,∴CF=12AD=FD=13又∵FE⊥CD,∴CE=12CD=2在Rt△EFC中,FE=CF2-CE2=(13)2-22=3,17.解:如图,过点D作DH⊥AC于点H.在Rt△DCH中,∠C=37°,∴CH=DHtan37在Rt△DBH中,∠DBH=45°,∴BH=DHtan45∵BC=CH-BH,∴DHtan37°-DH解得DH=18(km).在Rt△DAH中,∠ADH=26°,∴AD=DHcos26°答:轮船航行的距离AD约为20km.18.解:如图,延长FH,交CD于点M,交AB于点N.∵∠BHN=45°,BA⊥MH,∴∠BHN=∠HBN,则BN=NH.设BN=NH=x.∵HF=6,∠BFN=30°,∴tan∠BFN=BNNF=BN即tan30°=xx+6,解得x=8.易知∠DMH=90°,∠DHM=45°,∴∠MDH=∠DHM,∴DM=MH=MN+NH.∵MN=AC=10,∴DM=MH=MN+NH≈10+8.19=18.19,∴CD=DM+MC=DM+EF≈18.19+1.6≈19.8(m).答:建筑物CD的高度约为19.8m.19.解:(1)2(2)如图①,取格点D,连接CD,DM.∵CD∥AN,∴∠CPN=∠DCM.∵DM=CM=5,CD=10,∴DM2+CM2=CD2,∴△DCM是等腰直角三角形,∴∠DCM=45°,∴cos∠CPN=cos∠DCM=22(3)如图②,取格点Q,连接AQ,QN.设小正方形的边长为1.∵PC∥AQ,∴∠CPN=∠QAN.∵A