2025年沪教版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学下册月考试卷604考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、将正整数按如图所示的规律排列下去，且用表示位于从上到下第行，从左到右列的数，比如若则有（）A.B.C.D.2、已知角α是第二象限角；则π-α是（）

A.第一象限角。

B.第二象限角。

C.第三象限角。

D.第四象限角。

3、【题文】对于空间的两条直线和一个平面下列命题中的真命题是（）A.若则B.若则C.若则D.若则4、【题文】满足｛a｝M｛a,b,c,d｝的集合M共有（）A.6个B.7个C.8个D.15个5、【题文】已知集合则实数的取值范围是（）A.B.C.[—1，2]D.6、【题文】集合____。A.B.C.D.（0，+∞）7、已知12sinα﹣5cosα=13，则tanα=（）A.-B.-C.D.8、已知向量a鈫�b鈫�

满足a鈫�隆脥b鈫�|a鈫�|=1|b鈫�|=2

则|2a鈫�鈭�b鈫�|=(

)

A.0

B.22

C.4

D.8

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、已知则等于____．10、【题文】给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作即在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

①的定义域是值域是

②点是的图像的对称中心，其中

③函数的最小正周期为

④函数在上是增函数．

则上述命题中真命题的序号是____．11、【题文】函数f(x)＝(x2－2x－3)的单调递增区间是__________．12、【题文】集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．若A∩B＝则实数a的取值范围是______13、已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=____．14、已知-5sin2α+sin2β=3sinα，则y=sin2α+sin2β函数的最小值为______．15、若向量与的夹角θ的正弦值为则θ=______．16、用辗转相除法求242与154的最大公约为______．17、脪脩脰陋sin娄脕=13,sin娄脗=12,脭貌sin(娄脕+娄脗)sin(娄脕鈭�娄脗)=

______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)18、（本题14分）设（1）若求实数的值；（2）若且求实数的值；（3）若实数的值.19、、已知函数（其中）的图象如图所示，函数（1）求函数图像的对称轴方程；（2）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（3）若方程在区间上只有一个实数根，求实数的取值集合.20、【题文】三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=3，AB=2VC=7，画出二面角V-AB-C的平面角，并求它的余弦值。21、【题文】如图，四棱锥P－ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥平面ABCD，E为PC的中点．(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值．(2)求点D到平面PAB的距离．22、【题文】设M={x|}；

N={x|}，求M∩N≠时a的取值范围．23、已知函数

（1）判断函数f（x）在区间[2；5]上的单调性．

（2）求函数f（x）在区间[2，5]上的最大值与最小值．24、已知半径为10的圆O中；弦AB的长为10．

（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．25、已知函数y=Asin(娄脴x+娄脮)(A>0,娄脴>0,|娄脮|<娄脨)

的一段图象如图所示．

(1)

求此函数的解析式；

(2)

求此函数的递增区间．评卷人得分四、作图题(共2题，共4分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、综合题(共4题，共16分)28、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．29、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？30、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．31、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】【解析】试题分析：前m-1行共用去1+2+3++（m-1）=个数，由有正整数解，得，m=63，第m－1行最后一个数是1953，所以，2013－1953=60，即n=60，故选A。考点：等差数列的求和公式【解析】【答案】A2、A【分析】

不妨令α=则=为第一象限角；

故选A．

【解析】【答案】利用特殊值判断，令α=则=得出结论．

3、D【分析】【解析】

试题分析：对于A选项里面的可能相交，也可能异面；对于B选项可能是异面直线；对于C选项可能相交；也可能异面；选项D根据直线和平面垂直的性质定理可知正确.

考点：1、直线和平面垂直的性质和判定；2、直线和平面平行的性质及判定.【解析】【答案】D4、B【分析】【解析】解：M的个数就是{b,c,d}的子集，但不含{b,c,d}，所以有个，选B。【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C6、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D7、B【分析】【解答】由12sinα﹣5cosα=13；

得sinα﹣cosα=1；

设cosθ=则sinθ=则tanθ==

则方程等价为sin（α﹣θ）=1；

则α﹣θ=+2kπ；

即α=θ++2kπ，则tanα=tan（θ++2kπ）=tan（θ+）==-

故选B

【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，得到α=θ++2kπ，利用三角函数的诱导公式进行化简求值即可。8、B【分析】解：由已知向量a鈫�b鈫�

满足a鈫�隆脥b鈫�|a鈫�|=1|b鈫�|=2

则|2a鈫�鈭�b鈫�|2=4a鈫�2+b鈫�2鈭�4a鈫�鈰�b鈫�=4+4=8

所以|2a鈫�鈭�b鈫�|=8=22

故选B．

利用平面向量的数量积的意义；将所求平方展开求值，然后开方求模长．

本题考查了平面向量的模长的计算；利用向量的平方与其模长的平方相等解答；属于基础题．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

∵

∴||===1

∴=1；

∴||===

故答案为：

【解析】【答案】根据所给的向量的模长和两个向量的差的模长；从两个向量差的模长入手，得到两个向量的数量积，把要求的向量的模长平方，代入已知和已求得条件，得到结果．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：时，时，时，.作出的图象如图所示，由图可知①③正确.对②，点在函数图象上，而关于原点对称的点不在函数图象上；故错.由图可知，④错.

考点：1、新定义；2、函数的图象及性质.【解析】【答案】①③11、略

【分析】【解析】由所以定义域为由复。

合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(2,3)13、﹣【分析】【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．

故答案为﹣．

【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．14、略

【分析】解：由-5sin2α+sin2β=3sinα，可得sin2β=5sin2α+3sinα∈[0；1]；

可得sinα∈[]∪[0，]

那么y=sin2α+sin2β=6sin2α+3sinα=6（sinα+）2

当sinα=0时；y取得最小值为0．

故答案为0．

由-5sin2α+sin2β=3sinα，可得sin2β=5sin2α+3sinα≥0；可得sinα∈[0，1]，转化为二次函数求解最小值即可．

本题主要考查了同角三角函数关系式和三角函数的有界性的应用，属于基本知识的考查．【解析】015、略

【分析】解：∵向量与的夹角θ的正弦值为

∴sinθ=

∵0≤θ≤π；

∴θ=或

故答案为：或

根据向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值即可求出。

本题考查了向量的夹角的范围和特殊角的三角函数值，属于基础题．【解析】或16、略

【分析】解：242=154×1+88；

154=88×1+66；

88=66×1+22．

66=22×3．

故242与154的最大公约数是22．

利用辗转相除法即可得出．

本题考查了辗转相除法，属于基础题．【解析】2217、略

【分析】解：由已知。

sin(娄脕+娄脗)sin(娄脕鈭�娄脗)

=(sin娄脕cos娄脗+cos娄脕sin娄脗)(sin娄脕cos娄脗鈭�cos娄脕sin娄脗)

=sin2娄脕cos2娄脗鈭�cos2娄脕sin2娄脗

=sin2娄脕(1鈭�sin2娄脗)鈭�(1鈭�sin2娄脕)sin2娄脗

=19隆脕34鈭�89隆脕14

=鈭�536

故应填鈭�536

．

因为已知条件相当简练；故此题要从结论入手，对要求值的三角表达式变形化简，用两角和与差的正弦公式展开，将其表示成娄脕娄脗

两角的正弦的函数，代入两角的正弦值求值即可．

考查三角函数的两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的平方关系，本题充分体现了三角公式变换的灵活性．【解析】鈭�536

三、解答题(共8题，共16分)18、略

【分析】试题分析：（1）从得从而知是方程的两个根，由根与系数的关系得实数的值；（2）从且得进而得实数的值，但需检验；（3）从确定进而得实数的值，但也需检验.试题解析：由题可得（1）∴是方程的两个根即（2）且即或此时还需检验当时，有则（舍去）当时，有则且符合题意，即（3）即或当时，有则（舍去），当时，有则符合题意，考点：一元二次方程的解法及其集合的运算和之间的关系.【解析】【答案】（1）（2）（3）19、略

【分析】

（1）所以又有所以于是所以由得对称轴方程（2）当时，最大值为此时最小值为此时（3）在区间上是减函数，在上是增函数，所以当或时，方程在区间上只有一个实数根。于是满足条件的实数的取值集合是或【解析】略【解析】【答案】20、略

【分析】【解析】本试题主要考查了二面角的平面较大求解；利用定义，作出二面角是关键。

解：取AB的中点D，连接VD，CD。VDAB，CDAB；所以。

VDC为所求角。经计算VD=CD=cosVDC=

考核二面角平面角的画法与求法，中难度的题。【解析】【答案】cosVDC=21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解如图取DC的中点O；连结PO；

∵△PDC为正三角形；∴PO⊥DC

又∵面PDC⊥面ABCD

∴PO⊥面ABCD

∴以O为坐标原点OC；OP所在直线为y轴；z轴建立如图所示直角坐标系；

则P(0,0，a)，A(a，0)，B(a，0)，C(0，0)；

D(0，0)．

22、略

【分析】【解析】由不等式得：

解得：-2<-1或4<7

所以，M={x|-2<-1或4<7}5分。

由不等式

解得x<9a，所以，N={x|x<9a}7分。

要使M∩N≠Ø，结合数轴可以得到：9a>-2

即：10分【解析】【答案】23、略

【分析】

（1）定义法：设x1，x2∈[2，5]且x1＜x2，通过作差比较出f（x1）与f（x2）的大小；根据单调性的定义即可判断其单调性；

（2）由（1）知f（x）在[2；5]上的单调性，根据单调性即可求得f（x）在[2，5]上的最值；

本题考查函数的单调性及其应用，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．【解析】解：（1）f（x）在[2；5]上单调递减．

设x1，x2∈[2，5]且x1＜x2；

则==

∵2≤x1＜x2≤5，∴x2-x1＞0，（x1-1）（x2-1）＞0；

所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

所以函数在区间[2；5]上为减函数；

（2）由（1）知；f（x）在区间[2，5]上单调递减；

所以f（x）在[2，5]上的最大值是：f（x）在区间[2，5]上的最小值是：．24、略

【分析】

（1）通过三角形的形状判断圆心角的大小；即可求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）直接利用弧长公式求出α所在的扇形的弧长l；利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积S．

本题考查扇形弧长公式，以及扇形面积公式的求法，考查计算能力．【解析】解：（1）由⊙O的半径r=10=AB；知△AOB是等边三角形；

∴α=∠AOB=60°=．

（2）由（1）可知α=r=10，∴弧长l=α•r=×10=

∴S扇形=lr=××10=

而S△AOB=•AB•=×10×=

∴S=S扇形-S△AOB=50．25、略

【分析】

(1)

根据三角函数的图象求出A娄脴娄脮

即可确定函数的解析式；

(2)

根据函数的表达式；利用正弦函数的性质即可求函数f(x)

的单调递增区间；

本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．【解析】解：(1)

由题图可知，其振幅为A=23

由于T2=6鈭�(鈭�2)=8

所以周期为T=16

所以娄脴=2娄脨T=2娄脨16=娄脨8

此时解析式为y=23sin(娄脨8x+娄脮)

．

因为点(2,鈭�23)

在函数y=23sin(娄脨8x+娄脮)

的图象上；

所以娄脨8隆脕2+娄脮=2k娄脨鈭�娄脨2(k隆脢Z)

所以娄脮=2k娄脨鈭�3娄脨4(k隆脢Z)

．

又|娄脮|<娄脨

所以娄脮=鈭�3娄脨4

．

故所求函数的解析式为y=23sin(娄脨8x鈭�3娄脨4).

(2)

由2k娄脨鈭�娄脨2鈮�娄脨8x鈭�3娄脨4鈮�2k娄脨+娄脨2(k隆脢Z)

得16k+2鈮�x鈮�16k+10(k隆脢Z)

所以函数y=23sin(娄脨8x鈭�3娄脨4)

的递增区间是[16k+2,16k+10](k隆脢Z)

．四、作图题(共2题，共4分)26、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．27、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、综合题(共4题，共16分)28、略

【分析】【分析】（1）连接BO1，DO2，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，根据切线长定理求出AB的长，设O1B为r，根据勾股定理得到方程（4r）2-（2r）2=42；求出方程的解即可；

（2）求出∠CMO=∠NO1O2=30°，求出OM，设AB的解析式是y=kx+b；把C；M的坐标代入得到方程组，求出方程组的解即可；

（3）①∠MO2P=30°，过B作BQ⊥OM于Q，求出MQ，BQ，过P'作P'W⊥X轴于W，根据相似三角形的性质求出PW即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可；②∠MO2P=120°，过P作PZ⊥X轴于Z，根据含30度角的直角三角形性质求出PZ，即可得到P的坐标，根据相似三角形的性质求出k即可．【解析】【解答】解：（1）连接BO1，O2A作O1N⊥O2A于N，连接OA，

∵直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A；交y轴于点C（0，2）；

∴CA=CB；CA=CO（切线长定理）；

∴CA=CB=CO；

∴AB=2OC=4；

设O1B为r，由O1O22-O2N2=O1N2得（4r）2-（2r）2=42；

解得，3r=2；

答：⊙O2的半径的长为．

（2）∵O2N=3r-r=2r，O1O2=r+3r=4r；

∴∠NO1O2=30°；

∴∠CMO=∠NO1O2=30°；

∵OM==2；

M（-2；0）；

设线段AB的解析式是y=kx+b；

把C、M的坐标代入得：；

解得：k=，b=2；

∴线段AB的解析式为y=x+2（-≤x≤）；

（3）△MOB是顶角为120°的等腰三角形，其底边的长为2，

假设满足条件的点P存在；

①∠MO2P=30°；

过B作BQ⊥OM于Q；

∵OB=MB；

∴MQ=OQ=；

∵∠BMO=30°；

∴BQ=1；BM=2；

过P'作P'W⊥X轴于W；

∴P'W∥BQ；

∴==；

∴P'W=2；

即P'与C重合；

P'（0；2）；

∴k==4；

②∠MO2P=120°；

过P作PZ⊥X轴于Z；

PO2=O2M=4，∠PO2Z=60°；

∴O2Z=2；

由勾股定理得：PZ=6；

∴P（4；6）；

∴k==12；

答在直线AB上存在点P，使△MO2P与△MOB相似，点P的坐标是（0，2）或（4，6），k的值是4或12．29、略

【分析】【分析】（1）设二次函数的解析式是y=ax2；把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；

（2）求出B；O的坐标；求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0）；

把A（-4；4）代入得：4=16a；

a=；

∴y=x2；

把A（-4；4）代入y=kx+1得：4=-4k+1；

∴k=-；

∴y=-x+1；

答：一次函数与二次函数的解析式分别为y=-x+1，y=x2．

（2）答：以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

证明：得：，；

∴B（1，）；

AB的中点O的坐标是（-，）；

OA==；

O到直线y=-1的距离是+1==0B；

∴以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分线；△FMN外接圆的圆心O在直线上；

由于平移后的抛物线对称轴为x=2；对称轴交x轴于D；

F（0，1）平移后二次函数的解析式是y=（x-2）2-t，即y=x2-x+1-t；

当y=0时，x2-x+1-t=0；

设M（e；0），N（f，0），N在M的右边；

则e+f=-=4，e•f==4-4t；

∴MN=f-e==4；

MD=2；

设圆心坐标（2；y），根据OF=ON；

∴=；

y=-2t；

r==；

当t=时；半径有最小值2，圆面积最小为4π；

答：当t为时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是4π．30、略

【分析】【分