第08讲-正余弦定理与解三角形(学生版)

第08讲正余弦定理与解三角形（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第17题,10分正弦定理解三角形三角形面积公式及其应用用和、差角的正弦公式化简、求值2023年新Ⅱ卷，第17题,10分三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形数量积的运算律2022年新I卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18题,12分正弦定理解三角形三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形无2021年新I卷，第19题,12分正弦定理边角互化的应用几何图形中的计算2021年新Ⅱ卷，第18题,12分正弦定理边角互化的应用三角形面积公式及其应用余弦定理解三角形无2020年新I卷，第17题,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形无2020年新Ⅱ卷，第17题,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为10-12分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。知识讲解正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形三角形中三个内角的关系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面积公式考点一、正弦定理边角互化与解三角形1．（2023·全国·统考高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．2．（辽宁·高考真题）在中，内角的对边分别为.若，且，则A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在中，角的对边分别是，且，求角1．（2023·福建莆田·统考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求A2．（2023·江苏·统考二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.求A3．（2023·浙江·统考二模）记的内角的对边分别为，已知．求B考点二、利用正弦定理判断三角形解的个数1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）根据下列条件，判断三角形解的情况，下列结论中正确的是（

）（1），，，有一个解.（2），，，有两个解（3），，，无解（4），，，有一解A．（1）（2） B．（2）（4）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）2．（2022·江西·校联考二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023·贵州·统考模拟预测）中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．1．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，c＝3．且该三角形有两解，则a的值可以为（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·江苏南通·统考模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．考点三、余弦定理求值1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．33．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知．求1．（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（

）A． B． C． D．2．（2023·广西·校联考模拟预测）在中，若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·四川南充·统考三模）在中，角的对边分别是，若，则（

）A． B． C． D．考点四、利用正余弦定理判断三角形的形状1．（2023春·重庆长寿·高三统考）在已知分别为的三个内角的对边，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考）设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能3．（2023春·广东珠海·高三校考）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（

）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（2023春·新疆阿克苏·高三校考）在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形1．（2023·全国·高三专题练习）若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形3．（2023春·山东临沂·高三山东省临沂第一中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的形状为（

）A．等腰或直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足，则的形状是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形考点五、三角形面积的应用1．（2023·全国·统考高考真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.2．（2023·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．1．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.(1)若，求；(2)若，求的面积.3．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.(1)求的值；(2)若，求的面积.考点六、外接圆、内切圆半径问题1．（上海·高考真题）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于．2．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知在中，其角、、所对边分别为、、，且满足．(1)若，求的外接圆半径；(2)若，且，求的内切圆半径3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．若，则的外接圆半径为．2．（2023·河南郑州·统考一模）已知的角对边分别为，满足，.(1)求；(2)求外接圆的半径.3．（2023·河北·校联考二模）在中，角的对边分别为，已知，且.(1)求的外接圆半径；(2)求内切圆半径的取值范围.考点七、双正弦及双余弦模型1．（2023·山东烟台·统考三模）在中，为中点，．(1)若，求的面积；(2)若，求的长．2．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，点D在BC上，满足AD＝BC，．(1)求证：AB，AD，AC成等比数列；(2)若，求．3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．(1)求证：；(2)若，求．1．（2023·上海·高三专题练习）如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.2．（2023春·全国·高三专题练习）如图，中，若角所对的边分别是.(1)证明：；(2)若，求的面积.3．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若为边的中点，且，求的面积.【基础过关】一、单选题1．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记的内角的对边分别为，，，若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（

）A．4 B．6 C． D．3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（

）A． B．C． D．4．（2023·重庆·统考模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A． B． C． D．15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（

）A． B． C．8 D．4二、多选题6．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（

）A． B． C． D．7．（2023·山东聊城·统考一模）在中，若，则（

）A． B．C． D．三、填空题8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则外接圆的面积为.四、解答题9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC边上高的长.10．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求的大小；(2)当，时，求的面积．【能力提升】一、单选题1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）中，三边之比，则（

）A． B．4 C． D．2．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则的值可为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2023·山西阳泉·统考三模）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题4．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知的面积S满足，则角A的值为．四、解答题5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）在中，角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)若，且的面积为，求．6．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.7．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）中，是上的点，平分面积是面积的3倍.(1)求；(2)若，求和的长.8．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在中，．(1)若，求；(2)设是边上一点，若，，求．9．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记的内角的对边分别为.已知.(1)求；(2)证明：.10．（2023·江苏南通·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，证明：；(2)若，证明：.【真题感知】一、填空题1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积．2．（2023·全国·统考高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则．二、解答题3．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：4．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.5．（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．6．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．