第四节 极限的应用

第四节极限的应用一、函数的连续性二、连续函数的运算三、初等函数的连续性四、函数的间断点五、闭区间上连续函数的性质一.函数的连续性函数f(x)满足：则称函数f(x)在x0处连续，并称x0为函数差值u2-u1称为变量u在u1处的增量,记成定义1f(x)的连续点.增量 变量u从初值u1变化到终值u2,则Δu,即Δu=u2-u1．变量u的增量可以是正数、负数或零．当自变量x在点x0处的增量Δx(=x-x0)趋于零时,函数的相应增量Δy无限逼近零,定义1′

函数f(x)在x0的某一邻域内有定义,即则称函数f(x)在点x0处连续.例1

讨论函数在x=0处的连续性．解

因为所以f(x)在x=0处连续．例2

证明n次多项式函数Pn(x)在R上连续．证明

任意x0∈R,由前面的例题知,所以Pn(x)在R上连续．定义2若函数f(x)在x0处,有f(x0+)=f(x0)(或f(x0-)=f(x0))，则称函数f(x)在x0处右(左)连续.函数f(x)在x0处连续的充要条件是f(x)在x0处左连续且右连续.如果函数f(x)在开区间(a,b)内的每定义3一点都连续,则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续.

如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在a点右连续、在b点左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.

函数f(x)在它的定义域内的每一点都连续,则称f(x)为连续函数.

从几何直观上看，区间上的连续函数的图象是一条不间断的曲线.例3

讨论函数在x=处的连续性．

解

由于g(x)在x=的左、右表达式不同,所以先讨论函数g(x)在处的左、右连续性.由于所以g(x)在x=处左、右连续.从而在x=处连续.二、初等函数的连续性1.连续函数的和差积商的运算若函数f(x)、g(x)都在x0处连续,则定理1函数f(x)±g(x)、f(x)·g(x)也在x0处连续.若函数f(x)、g(x)都在x0处连续，定理2g(x0)≠0,则在x0处函数f(x)/g(x)也连续. 例4

证明三角函数是连续函数．证我们只证cotx的连续性:任意x0∈R,x0≠kπ(k∈Z),由cosx、sinx都在x0连续，且sinx0≠0，据定理2,在x0处连续，从而cotx为连续函数．2.复合函数的连续性设函数u=φ(x)在x0处连续且定理3函数y=f(u)在u0处连续,则复合函数y=f[φ(x)]在x0处连续.u0=φ(x0),即极限符号“lim”与连续的函数符号“f”可以交换次序.函数y=f(u)在u0连续,推论1设则:例5

求解因为,y=sinu在u=处连续,由定理4的推论得例6

求解因为

y=cosu在u=π处连续,由定理4的推论得=cosπ=-13.初等函数的连续性

由基本初等函数的连续性，常值函数在任一区间内的连续性，以及本节定理1、定理2和定理3得到以下重要结论:一切初等函数在其定义区间内连续．因此求初等函数f(x)在其定义区间内的点x0处的极限直接可用来求．基本初等函数在其定义域内都连续.例7

求解

由于x→0时，此极限是“设法约去分子、分母的公共零因式,”型，因此要可用有理化分子的办法．因为注意上式右端,x=0是初等函数的定义区间内的点,所以4.闭区间上连续函数的性质定理5

闭区间上的连续函数必能取到最大值和最小值．注：定理中的“闭区间”和“连续”的条件不具备时，结论可能不成立．既无最大值也无最小值.例如函数y=x在开区间(0,1)内连续,但它又如:

闭区间上的连续函数必有界.推论1定理6最大值和最小值之间的一切值.闭区间上的连续函数必能取到介于有一个零值点.推论3函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,而且f(a)与f(b)异号,则函数f(