数学-湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年2025届高三第一（上）学期1月期末考试试题和答案

衡阳县四中2025届高三第一学期期末考试注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。C．将函数y=2cos2x+的图象向右平移(x)的图象B．a2024+a2025=2C．an=an+3第Ⅱ卷（非选择题）12．若函数fx=f'−1x2−2x+1，则f'−1=.(1)求{an}的通项公式；(2)求PB与平面PCD所成角的正弦(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦1817分）已知fx,=ex⋅sinx−x.(1)若gx=0<x<，证明：gx存在唯一零点；(2)当x∈(−∞,π)时，讨论fx零点个数.为椭圆C上异于A,B的动点，△PF1F2的周长为4+23.（ii）设直线PQ:x=ty+n，证明：直线PQ过定点.数学答案【解析】∵A={x|log2(x−1)<2}={x|log2(x−1)<log24}={x|1<x<5}，A⊆B【解析】Z-=Z====1，【解析】依题意，函数f(x)是在(−2,+∞)上的单调函数，由于y=log2(x+2)+b在(−2,0]上单调递增，所以f(x)在(−2,+∞)上单调递增，bx+2,x>0,log2(x+2)+b,−2<x≤bx+2,x>0,log2(x+2)+b,−2<x≤0【解析】由=(1,−1)，得||=2，因为|b|=1,|+2b|=所以(+2)2=2+4⋅+42=2+4⋅+4=2，解得⋅=−1，所以⋅+2=2+2⋅=2−2=0，【解析】由题意可知F1F2=2C=4，则C=2，F1(−2,0)，点Q(2,2)在椭圆C上，则+=1，结合a2−b2=C2=4，解得a2=8,b2=4，故C:+=1，设p(x,y)，则x2=8−2y2,y∈[−2,2]，2=−y2−2y+4=−y++，2当且仅当y=−时，−y++取最大值，种选法.而平均分组共有=10种方式，所以共有10−5=5记△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r，由正弦定理得：r==1.而O为O1O2的中点，所以R2=12+(3)2=4,R=2,则V=πR3=.解法2：设正三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为R,故R>3,此时V=πR3>43π.【解析】由题意可知：圆O:x2+y2=4的圆心为O0,0，半因为∠MON=60°,则OP=Rcos30°=3，可知点P的轨迹是以O0,0为圆心，半径r=3的圆C:x2+y2=3，设AB的中点为E，可得OE<AB−3⇒AB>2OE+23，因为O0,0到直线l:x−y−4=0的距离d==22，可知OE≥d=22，可得AB>2OE+23≥42+23，所以AB>42+23，所以AB的取值范围是42+23,+∞).所以fx=2sin(2x+φ)，又函数过点,2)，即f=2sin+φ)=2，∴fx=2sin2x+，对于B：当x=−时，f−=2sin−2×+=2sin−π=0，所以fx的图象关于点−,0)对称，故B正确；对于C：将函数y=2cos2x+的图象向右平移个单位得到：y=2cos2x−+=2cos2x−)=2sin2x−,故C错误；令≤2x+≤,解得0≤x≤,所以fx在0,上单调递增，令≤2x+≤,解得≤x≤,所以f(x在,上单调递减，又f0=2sin=3，f=2sin=2，f()=2sinπ+=−3，故方程fx=m在0,上有且只有一个实数根时，则m的取值范围是−3,3)∪{2}，【解析】对于A，因为an=(−1)FnFn+1，所以a4=(−1)F4F5，因为F1=F2=1，Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N∗)，所以F3=F2+F1=1+1=2，F4=F3+F2=2+1=3，F5=F4+F3=3+2=5，所以F4F5=3×5=15，所以a4=(−1)15=−1，故A错误；则AP=AD2+DP2=，因此A到点P的最短路程为，对；对于B，建系如图，设M(x,0,Z),P(0,1,),B(1,1,0),H为DA靠近D点的三等分点和AE靠近E点三等分点的连线段，对；2+1+(−Z)2=，整理得x2+(Z−)2=，所以M在侧面ADHE内运动路径是以(0,0,)为圆心，为半径的圆，而点(0,0,)到A(1,0,0)的距离等于1+=<，所以点M在侧面ADHE内运动路径长度为0，错；ME=ME=因为点M在平面ADHE内，所以0≤x,Z≤1，当x=Z=0，即M与D点重合时，三棱锥M−BEP的高最大，又△BEP的面积为定值，所以M与D重合时，三棱锥的体积最大，对.【解析】因为fx=f'−1x2−2x+1，所以f'x=f'−1x−2，得到f'−1=−f'−1−2，解得f'−1=−1，故答案为：−1.【解析】因为关于x的不等式mx2−x+1<0的解集为{xa<x<b}，所以m>0且方程mx2−x+1=0的解为a,b，则a+b=,ab=，所以a+b=ab，则+=1，所以b=1+=>0，所以a−1>0，则+=+4a−1≥24ta−1=4，当且仅当=4a−1，即a=时，取等号，易知PT=PF22−TF22=PF22−(b−C)2，又iPTi的最小值为(a−C可得iPF2i的最小值为a−C2+(b−C)2，根据焦半径公式可得PF2的最小值为a−C，即可知a−C2+b−C2=a−C)2,2=a所以{an}是公差为的等差数列. 2== PB∴AM=AP+PM=(λ,2λ−2,2−2λ)2,y2,Z2)为平面ADM的一个法向量，=2λ−+λ2×2=，∴λ=，∴=.【解析】（1）由题意，gx==(0<x<，则g'x==，进而g'x<0，所以gx在0,上单调递减，π2−−eπ2−−e2sinπ4−π−2e2π22−π−e2 πe2===π2e2−π−e2 πe2===π2e2πe2根据零点存在性定理可知：函数gx在0,上存在唯一零点.根据零点存在性定理可知：函数gx在0,上存在唯一零点.π当x≤−π时，因为ex<e−2，2所以f'x=ex⋅sinx+excosx−1=ex⋅sinx+cosx−1≤2e−−1<2e−1−1<π+=−e−2+1>π+=−e−2+1>0，π2π2此时fx单调递减，f−−所以fx在−∞,−上没有零点，当−<x≤时，令ℎx=ex⋅sinx+excosx−1,−<x≤0)，则ℎ'(x)=2excosx≥0，所以f'x在−,上单调递增，又f'0=0，故当−<x<0时，f'x<0，则fx在−,0)上单调递减，又f0=0，当0<x≤时，f'x)>0，故fx在0,上单调递增，因此，当−<x≤时，f(x)只有一个零点，即x=0，当≤x<π时，ℎ'(x)=2excosx<0，所以f'x在,π)上单调递减，又f'(π)=−eπ−1<0，f'π2π故∃x0∈,π)，使得f'x0=0，且当x∈,x0)时，f'x>0，fx单调递增，当x∈x0,π时，x∈x0,π,f'x<0，fx单调递减，π2而f=e−>e−>0，fπ=−π<0，π2而f所以当≤x<x0时，f(x)>0，此时fx无零点，当x∈x0,π时，fx只有一个零点，综上可知：x∈(−∞,π)时，fx有2个零点.【解析】（1）依题意可设椭圆c:+=1(a>b>0)，且C=