胡不归-阿氏圆问题-5.31

胡不归-阿氏圆问题问题概述问题概述已知定点A、B，要求找一点P，使aPA+PB值最小(a为大于0且不为1的常数)；点P在直线上运动型称为“胡不归”问题，点P在圆周上运动型称为“阿氏圆”问题.方法原理方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.垂线段最短；解题思路解题思路构造出新的线段，使其等于aPA；构造方法：1.作∠α，使sinα=a；一般a=、和时，作相应30°、45°和60°角，构造出特殊直角三角形；2.构造三角形与已知三角形相似，借助相似比将aPA转化；注意：一般系数a满足0＜a＜1时直接构造；a＞1时需要先提取系数，如PA+2PB=2（PA+PB），PA+PB=（PA+PB）.一．胡不归问题1.构造含特殊角的直角三角形，将“aPA”转化已知：如图，A为直线l上一点，B为直线外一点；要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB最小.【分析】利用sin30°=构造出PH=PA，当B、P和H共线时，PH+PB取得最小值BH，又当BH⊥AH时，BH取得最小值【解答】过点A作射线AM，使∠A=30°（B、M位于l异侧），过点B作BH⊥AM于H，交直线l于点P，则点P即为所求，此时PA+PB最小，最小值即为线段BH的长.【小结】1.构造方法可总结为：一作角，二作垂线；2.系数a为、时，作45°和60°角.典型例题1-1（1）如图1，直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上一动点，连接PB，当P点坐标为_________时，PA+PB取得最小值，最小值为__________；（2）如图2，直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为y轴上一动点，连接PA，当P点坐标为________时，2PA+2PB取得最小值，最小值为_________.图1图2【分析】（1）根据模型构造出PA找出P点，借助含30°角的直角三角形解出OP长和BH长，从而求出P点坐标和PA+PB的最小值；（2）2PA+2PB=2（PA+PB），与（1）类似的方法求解.【解答】（1）如图，过点A作射线AC，与y轴正半轴交于点使∠OAC=30°，过点B作BH⊥AC于H，交x轴于P，则PH=PA，此时12PA+PB取得最小值，即为BH长；已知∠OBP=30°，∴OP==,则P（，0）又OC==，∴BC=3+，∴BH=BC=，即12PA+PB的最小值为；（2）如图，过点B作射线BC，与x轴的正半轴交于点C，使∠OBC=45°，过点A作AH⊥BC于H，交y轴于点P，此时2PA+2PB取得最小值，∵∠BCO=45°，∴AH=22AC=2∴2PA+2PB=2AH=42，时，2PA+2PB取得最小值4.【小结】1.作角时，以定点、定边向“异侧”作射线；2.（2）中提取系数2之后，答案的最小值不要忘记乘2.典型例题1-2如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为（）A．＋B．＋C．4D．3【分析】由于AP=CP，AP＋BP＋CP=2AP+BP=2（PA+PB），从而转化为胡不归模型，结合特殊直角三角形和等面积法可解出该最小值.【解答】∵正方形ABCD为轴对称图形，∴AP=PC，∴AP+BP+CP=2AP+BP=2（PA+PB），∴即求PA+PB的最小值，连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AF⊥BE，垂足为F，在Rt△PBF中，∵∠PBF=30°，∴PF=PB，∴PA+PB的最小值即为AF长，易得∠PAO=30°，∴OP==，AP=2OP=，BP=OB-OP=-，∴PF=BP=-，∴AP+PF=，AP+BP+CP的最小值为＋，故选B.【小结】1.求解AF也可放到△ABE中，用等面积法计算；2.点P为△ABC的“费马点”，感兴趣的读者可查阅相关资料.变式训练1-1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经小时可到达居民点B.(消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)变式训练1-2如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为___________2.构造相似三角形，借助相似比将“aPA”转化典型例题2-1如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为线段AD、DC，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______【分析】设CD上速度为v，AD上速度为3v，则全程时间t==，当AD+CD最小时，总时间最少；分析条件知CO=AC，过点D作DH⊥AC于H，构造△ADH和△ACO相似，则DH=AD，又CD=BD，则需DH+BD最小，此时B、D、H共线且BH⊥AC，借助相似易得点D坐标.【解答】如图，作DH⊥AC于点H，交AO于D，此时整个运动时间最少，易证△BOD∽△AOC，则=，∴OD=OC=，∴D（0，）【小结】1.首先表示出时间和各段路程的关系；2.找出图中含有两边之比等于系数a的三角形；3.构造相似三角形求解.变式训练2-1如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，当△DQB面积最大时，在x轴上找一点E，使QE+EB的值最小，求E的坐标和最小值．二．阿氏圆问题一般构造“子母”型相似三角形，借助相似比将“aPA”转化典型例题3-1如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D为直角边AC上一点，且CD=2，将CD绕着点C顺时针旋转α（0＜α＜90°），D'为点D的对应点，连接AD'和BD'，则AD'+BD'的最小值是________.【分析】D'在以C为圆心，半径为2的圆弧上运动，△CD'B中，CD'=BC，据此在CB上截取CF=CD'=1，构造△CFD'∽△CD'B，将BD'转化为D'F，即求AD'+D'F的最小值，A、D'、F共线时其值最小，由勾股定理易求该值.【解答】在线段CB上截取CF=CD'=1，∴，又∵∠FCD'=∠D'CB，∴△CFD'∽△CD'B，∴,即D'F=BD'，要使AD'+BD'最小，则需AD'+D'F最小，此时A、D'、F三点共线，AD'+D'F的最小值即为AF长，在Rt△ACF中，AF===，即AD'+BD'的最小值是.变式训练3-1如图1，抛物线y=ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值．（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，求出Q点坐标．②求BE′+AE′的最小值.变式训练3-2在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），C（0，4），D（3，2），P是△AOC外部的第一象限内一动点，且∠CPA﹦135°，则2PD﹢PB的最小值是．中考真题中考真题1.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是s．2.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-）、C（2，0），其对称轴与x轴交于点D。求二次函数的表达式及其顶点坐标；P为y轴上的一动点，连接PD，的最小值为_____，此时P点坐标为_____M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。平面内存在点N，使A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N有个；3.如图，在△ACE中，CA=CE，CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。（1）试说明CE是⊙O的切线。（2）若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。4.如图，抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？5.如图1，平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=35S△ABC（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒536.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？7.如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的値；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋EQ\F(2,3)E′B的最小值．图1图2图1图2胡不归--阿氏圆问题变式训练1-112+5380.提示：求180180PA+140PB=140变式训练1-262.提示：PA+PB+PD=PA+2PB=2(12变式训练2-1解：（1）当y=0时，-x2+x+3=0，解得x1=6，x2=﹣1，∴A（﹣1，0）、B（6，0），当x=0时，y=3，则C（0，3）．∵点D与点C关于x轴对称，∴点D为（0，﹣3）．设直线BD的解析式为y=kx+b，将D（0，﹣3）和B（6，0）分别代入得，解得：k=，b=﹣3，∴直线BD的解析式为y=x﹣3．（2）设P（m，0），则Q（m，-m2+m+3）M（m，m﹣3）．△QBD的面积=QM•QB=×6（-m2+m+3﹣m+3）=﹣（m﹣2）2+24，∴当m=2时，△QBD的面积有最大值，此时Q（2，6）．如图1所示：过点E作EF⊥BD，垂足为F．在Rt△OBD中，OB=6，OD=3，则BD=3，∴tan∠EBF=tan∠OBD=．∴EF=BE．∴QE+EB=QE+EF．∴当点Q、E、F在一条直线上时，QE+EB有最小值．过点Q作QF′⊥BC，垂足为F′，QF′交OB与点E′．设QF′的解析式为y=﹣2x+b，将点Q的坐标代入得：﹣4+b=6，解得b=10，∴QF′的解析式为y=﹣2x+10．与y=x﹣3联立解得F（，-），当y=0时，x=5，∴点E′的坐标为（5，0）．即点E的坐标为（5，0）时QE+EB有最小值．最小值=QF=．变式训练3-1解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6=0，∴a=﹣，∴y=﹣x2+x+6与y轴交点，令x=0，得y=6，∴B（0，6）．设AB为y=kx+b，将A（8，0），B（0，6）代入得，∴，解得：，∴直线AB的解析式为y=﹣x+6，（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴，∴，解得：AN=，∵PM⊥AB，∴∠PMN=∠NEA=90°．又∵∠PNM=∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵，∴，∴PM=AN==12﹣m．又∵PM=﹣m2+m+6﹣6+m=﹣m2+3m，∴12﹣m=﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32=0，解得：m=4或m=8．∵0＜m＜8∴m=4.（3）①在（2）的条件下，m=4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′=OE=4，若△OQE′∽△OE′A．则．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴，解得：d=2，∴Q（2，0）.②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为，∴AE′=QE′，∴BE′+AE′=BE′+QE′，∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ=，∴BE′+AE′的最小值为2．变式训练3-24.提示：2PD﹢PB=2（PD+PB），即求PD+PB的最小值；如图，由∠CPA﹦135°知，点P在以O为圆心，OA长为半径的劣弧AC上运动，取OA的中点M，易知△OMP∽△OPB，则PM=PB，则PD+PB=PD+PM，当点P为DM与弧AC的交点时，PD+PM取得最小值，即为DM长，由两点之间距离公式易得DM=2.中考真题1.2.解：当DO⊥AB时，2OD+CD有最小值，即t有最小值，∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=30°，AB=8cm，∴AC=4cm，在Rt△AOD中，AD=2OD，∴t=，即t的最小值是2s．2.解：（1）由题意,解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，∴顶点（，﹣）（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA=1，OB=，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°∴PH=12PB，∴12PB+PD=PH+PD=DH，∴此时12PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，∴sin60°=，∴DH=，∴PB+PD的最小值为；（3）以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．3.（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h．在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin60°=32∴OC=2h3=233(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=12∠AOC=1∴由对称性得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=12∴12DH+FD（即12此时FH=OF•sin∠FOH=32则OF=43，AB=2OF=83．∴当12CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为834.解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b=0，解得b=，∴直线BD解析式为：y=﹣x+．当x=﹣5时，y=3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，∴k=．∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4），即y=x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，∴C（0，﹣k），OC=k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：=，∴y=x+k，∴P（x，x+k），代入抛物线解析式得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴=，即=，k=；②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，，∴y=x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得：x=6或x=﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，ABAP=CBAB，解得k=±，∵k＞0，∴k=，综上，k=或k=．（3）方法一：如图3，D（﹣5，3）过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA==，∴∠DBA=30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，∴y=﹣×（﹣2）+=2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少，方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA=30°，∴∠BDH=30°，∴FH=DF×sin30°=FD2，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t==AF+FH，∵lBD：y=﹣x+，∴FX=AX=﹣2，∴F（﹣2，）．5.解：（1）∵C（0，3），∴OC=3，∵4CN=5ON，∴ON=43，∵∠OAN=∠NCM，∴△AON∽△COB，∴OAOC=ONOB，即OA3=434，解得OA=1，∴A（﹣1，0）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•1•（﹣4）=3，解得a=﹣34，∴抛物线解析式为y=﹣34（x+1）（x﹣4）=﹣（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，把C（0，3），B（4，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣34x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，﹣34x2+94x+3），则Q（x，﹣34x+3），DQ=﹣34x2+94x+3﹣（﹣34x+3）=﹣34x2+3x，∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=12×4×（﹣34x2+3x）=﹣32x2+6x，∵S△BCD=35S△ABC，∴﹣32x2+6x=35×12×（4+1）×（3）点P在整个运动过程中所用的最少时间为3秒，此时点F的坐标为（2，32）．提示：即使得EF+35CF最小，过点C作CG∥AB，过点E作EH⊥CG于H，交BC于点F，此时△CFH∽△BCO，FH=6.解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y=﹣3x+b经过点A，∴b=﹣33，∴y=﹣3x﹣33，当x=2时，y=﹣53，则点D的坐标为（2，﹣53），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）=﹣53，解得，a=﹣3，则抛物线的解析式为y=﹣3（x+3）（x﹣1）=﹣3x2﹣23x+33；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，33）∴直线AC的解析式为：y=3x+33，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y=﹣33x+m，把C（0，33）代入得m=33，∴直线CP的解析式为：y=﹣33x+33，解得或（不合题意，舍去），∴P（﹣53，3239）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y=﹣33x+n，把A（﹣3，0）代入得n=﹣3，∴直线AP的解析式为：y=