福建省南平市洋后中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析

福建省南平市洋后中学2020-2021学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.是,的平均数,是,,,的平均数,是,,的平均数，则下列各式正确的是（） A．

B.

C.

D.参考答案：A略2.已知集合，，若,则实数a的取值范围是A．(－∞,4]

B．[4,+∞)

C．(－∞,4)

D．(4,+∞)参考答案：A，，因为，所以即.故选A.

3.已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为

参考答案：B4.若幂函数的图像不过原点,且关于原点对称,则的取值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）参考答案：B【考点】正弦定理的应用．【分析】设三个角分别为﹣A，，+A，由正弦定理可得m==，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，可设三个角分别为﹣A，，+A．故m====．又＜A＜，∴＜tanA＜．令t=tanA，且＜t＜，则m=在[，]上是增函数，∴+∞＞m＞2，故选B．6.函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，x0∈（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（5，6）参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】分别求出f（2）和f（3）并判断符号，再由函数的单调性判断出函数唯一零点所在的区间．【解答】解：∵f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3＞0，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在零点x0∈（2，3）．∵f（x）=lnx+2x﹣6在定义域（0，+∞）上单调递增，∴f（x）=lnx+2x﹣6的存在唯一的零点x0∈（2，3）．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，要判断个数需要判断函数的单调性，属于基础题．7.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：A．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．B．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．C．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．D．中存在部分x都，有另个y与x对应，不满足函数的对应的唯一性，不是函数关系．故选：D．8.设，则（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：D9.甲船在B岛的正南方向A处，AB=10千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60°的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是（

）A．2小时

B．小时

C.

小时

D．小时参考答案：C假设经过小时两船相距最近，甲乙分别行至如图所示，可知，，由二次函数的性质可得，当小时距离最小，故选C.

10.集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则等于

（

）A.{x|x>1}

B.{x|x≥1} C.{x|1<x≤2}

D.{x|1≤x≤2}参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知与为互相垂直的单位向量＝－2，＝＋λ且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．参考答案：12.已知函数为[－1,1]上的增函数，则满足的实数的取值范围为_

_．参考答案：．13.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC=

参考答案：略14.△ABC中，AC=2，∠B=45°，若△ABC有2解，则边长BC长的范围是．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】根据题意画出图象，由图象列出三角形有两个解的条件，求出x的取值范围．【解答】解：∵在△ABC中，BC=x，AC=2，B=45°，且三角形有两解，∴如图：xsin45°＜2＜x，解得2＜x＜2，∴x的取值范围是．故答案为：．15.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________参考答案：9【分析】平分圆的直线过圆心，由此求得的等量关系式，进而利用基本不等式求得最小值.【详解】由于直线始终平分圆的周长，故直线过圆的圆心，即，所以.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.16.如图15，是一次函数y=kx+b与反比例函数的图像，则关于x的方程kx+b=的解为

。参考答案：x1=1，x2=-217.已知幂函数的图象经过点（9，），则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.本小题满分12分）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．A1C1和B1D1相交于点O.A1C1=2a,BB1=B1C1=a,(Ⅰ)求证：EF∥平面CB1D1；(Ⅱ)求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．参考答案：证明:（Ⅰ）连结BD.在长方体中，对角线.又∵

E、F为棱AD、AB的中点，

∴

∴

……………3′

又∵B1D1平面，平面，∴EF∥平面CB1D1.………………6′（Ⅱ）∵在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而AA1平面ACC1A1，∴

平面ACC1A1⊥平面A1B1C1D1，且平面ACC1A1∩平面A1B1C1D1=A1C1∵在RT⊿A1B1C1中，A1C1=2a=2B1C1，易知，⊿OB1C1是等边三角形.……………8′取OC1中点M,连结B1M,则有B1M⊥A1C1，∴B1M⊥平面ACC1A1连结MC,则∠B1CM即为直线B1C与平面ACC1A1所成角……………10′在RT⊿B1MC中，B1M=，B1C=∴

sin∠B1CM=………12′

19.已知函数f（x）是区间D?[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A?[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．（1）（i）问函数y=sinx+cosx是否是区间上的“偏增函数”？并说明理由；（ii）证明函数y=sinx是区间上的“偏增函数”．（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．参考答案：（1）解：（i）y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．记f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，显然f1（x）=sinx在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），又在上单调递增，故y=sinx+cosx是区间上的“偏增函数”．（ii）证明：，记，显然在上单调递增，f2（x）=cosx在上单调递减，且f2（x）=cosx∈（，1）?[0，+∞），又y=f（x）=f1（x）+f2（x）=sinx在上单调递增，故y=sinx是区间上的“偏增函数”．（2）证明：①当b＞0时，令f1（x）=（k+1）x，f2（x）=﹣x+b，D=（0，b），显然D=（0，b）?[0，+∞），∵k＞0，∴f（x）=kx+b在（0，b）上单调递增，f1（x）=（k+1）x在（0，b）上单调递增，f2（x）=﹣x+b在（0，b）上单调递减，且对任意的x∈（0，b），b＞f2（x）＞f2（b）=0，因此b＞0时，必存在一个区间（0，b），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数．②当b≤0时，取c＞0，且满足c+b＞0，令f1（x）=（k+1）x﹣c，f2（x）=﹣x+b+c，D=（0，b+c）?[0，+∞），显然，f（x）=kx+b在（0，b+c）上单调递增，f1（x）=（k+1）x﹣c在（0，b+c）上单调递增，f2（x）=﹣x+b+c在（0，b+c）上单调递减，且对任意的（0，b+c），b+c＞f2（x）＞f2（b+c）=0，因此b≤0时，必存在一个区间（0，b+c），使f（x）=kx+b（k＞0）为D上的“偏增函数”．综上，对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D?[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”．略20.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量（单位：kg），分别记录抽查数据如下：甲：102，1