福建省南平市新光中学高二数学理上学期期末试卷含解析

福建省南平市新光中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a<b”是“”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n个图案中有白色地面砖(

)A．

4n－2块B．

4n＋2块C．

3n+3块D．

3n－3块参考答案：B略3.如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③参考答案：C【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选

C．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．4.已知复数，若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（

）A．

B．5

C.10

D．25参考答案：B5.设a=，b=﹣，c=﹣，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a参考答案：B【考点】不等式比较大小．【分析】利用有理化因式和不等式的性质即可得出．【解答】解：=，．∵，∴，∴b＜c．∵=4，∴．即c＜a．综上可得：b＜c＜a．故选：B．6.若（

）A、第一、二象限B、第一、三象限C、第一、四象限D、第二、四象限参考答案：B7.已知l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是()A．l∥α，l∥β

B．α⊥γ，β⊥γ

C．m?α，l?α，m∥β，l∥β

D．l⊥α，m⊥β，l∥m参考答案：D略8.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）参考答案：C略9.设在内单调递增；.则是的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C10.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有A.个

B.个

C.个

D.个参考答案：解析：铺第一列(两块地砖)有

种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺

色．若铺

色，则有

种铺法；若不铺

色，则有

种方法.于是第二列上共有

种铺法.同理，若前一列铺好，则其后一列都有

种铺法．因此，共有

种铺法．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知若有最小值，则实数a的取值范围是_____参考答案：【分析】讨论＞1，0＜＜1，结合指数函数的单调性，绝对值函数的单调性和最值的求法，可得的范围．【详解】当＞1时，x≤1时，f（x）＝+在上递增，则f（x）∈（，2]，x＞1时，f（x）＝|x﹣|+1≥1，当x＝时取得最小值1，则f（x）的值域为[1，+∞），可得＞1时f（x）取得最小值1；当0＜＜1时，x≤1时，f（x）＝+在上递减，则f（x）∈[2，+∞）；x＞1时，f（x）＝|x﹣|+1＝x﹣+1递增，可得f（x）＞2﹣，若f（x）存在最小值，可得2﹣≥2，即≤，可得0＜≤．综上可得＞1或0＜≤．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的运用，考查分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性和含绝对值的函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．12.若直线过圆的圆心，则a的值为_____________参考答案：13.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为

．参考答案：10【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故答案为10．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．14.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.参考答案：【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【详解】在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P，故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型的概率和组合数的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.双曲线的焦点到渐近线的距离为

．参考答案：1略16.焦点在（﹣2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由焦点的坐标分析可得其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：+=1，将点（2，3）坐标代入椭圆方程计算可得a2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点坐标为（﹣2，0）和（2，0），则其焦点在x轴上，且c=2，设其标准方程为：+=1，又由其经过点（2，3），则有﹣=1，解可得a2=16，则其标准方程为：；故答案为：．17.用“秦九韶算法”计算多项式，当x=2时的值的过程中，要经过

次乘法运算和

次加法运算。参考答案：5,5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽QH为0.05km，通过测量可知，与的正切值之比为1:3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示L；（2）试确定的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．参考答案：（1），；（2）当时，符合建桥要求.【分析】（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.【详解】（1）与的正切值之比为

则，

，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且当时，，；当时，，函数在上单调递减；在上单调递增；时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求【点睛】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.19.如图，边长为2的正方形ABCD中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点。（1）求证：．（2）求三棱锥的体积参考答案：（2）略20.（本小题满分16分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，

，，，且当或时，

因此，随机变量的最大值为．有放回抽两张卡片的所有情况有种，

．答：随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为．

（Ⅱ）的所有取值为．时，只有这一种情况，

时，