2025年春新北师大版数学七年级下册课件 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识

北师版七年级数学下册3乘法公式第1课时

平方差公式的认识问题导入老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何?”老王一听觉得没有吃亏就答应了。你觉得老王吃亏了吗?新课探究（1）(x+2)(x–2)（2）(1+3a)(1–3a)（3）(x+5y)(1–5y)（4）(2y+z)(2y–z)=x2–2x+2x–4=x2–4=1–3a+3a–9a2=1–9a2=x2–5xy+5xy–25y2=x2–25y2=4y2–2yz+2yz–z2=4y2–z2用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：两数的___两数的___中间项抵消了两数_____的___和差差平方你发现了什么?两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗?

(a+b)(a-b)=a2

-

b2（1）(3m+1)(3m

-1);（2）(x2+y)(x2

-

y).=9m2

-3m+3m-1=9m2

–1。=x4

-

x2y+yx2

-

y2=x4

-

y2。（1）(3m+1)(3m

-1)（2）(x2+y)(x2

-

y)你能用字母表示你发现的规律吗?两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。平方差公式：平方差公式是多项式乘方(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。相反项

相同项注意用谁减谁相同项2-相反项2例1利用平方差公式计算：（1）(5+6x)(5–6x)；（2）(x–2y)(x+2y)；（3）(–m+n)(–m–n)。解：（1）(5+6x)(5–6x

)=52–(6x)2=25–36x2

；（2）(x–2y)(x+2y

)=x2–

(2y)2=x2–4y2；（3）(–m+n)(–m–n)=(–m)2–n2=m2–n2。ab总结:关键是先确定相同项“a”和相反项“b”。（1）(a

+2)(

a

–2)

；

（2）(3a+2b)(3a–2b)。解:（1）

(a

+2)(

a

–2)

（2）(3a+2b)(3a–2b)=

a2

–22=(3a)2

–(2b)2=

a2

–4=9a2

–4b2计算：

随堂练习

例2利用平方差公式计算

（2）(ab+8)(ab–8)。

（2）(ab+8)(ab–8)=(ab)2

–82=a2b2

–64。如何计算(a–b)(–a–b)?你是怎样做的?

(a–b)(–a–b)=–(a–b)(a+b)=–(a2–b2)=b2–a2尝试·思考注意:对于不能直接应用公式的，

可能要经过变形才可以应用。（1）(–

x

–1)(1–x)

；

（2）(–4k+3)(–4k–3)。解:（1）

(–

x

–1)(1–x)

（2）(–4k+3)(–4k–3)=(–

x)2

–12=(–4k)2

–32=

x2

–1计算：=16k2

–9

随堂练习（1）(an+b)(an–b)解（1）(an+b)(an–b)

=(an)2–b2

=a2n–b2（2）(a+1)(a–1)(a2+1)（2）(a+1)(a–1)(a2+1)

=(a2–1)(a2+1)

=(a2)2–1

=

a4–1

随堂拓展随堂演练1.下列式子能用平方差公式计算吗?①(–3x+2)(3x–2)

②(b+2a)(2a–b)③(–x+2y)(–x–2y)

④(–x+y)(x–y)

不能不能

能，4a2–b2

能，x2–4y22.下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（）A.(2a–3b)(–2a+3b)B.(–3a+4b)(–4b–3a)C.(a–b)(b–a) D.(a–b–c)(–a+b+c)B解析：(–3a+4b)(–4b–3a)=(–3a+4b)(–3a–4b)=9a2–16b23.下列计算结果正确的是()A.(x+2)(x–2)=x2–2 B.(x+2)(3x–2)=3x2–4C.(ab–c)(ab+c)=a2b2–c2

D.(–x–y)(x+y)=x2–y2Cx2–43x2+4x–4–x2–y2–2xy4.计算（1）(–3x–7y)(3x–7y)；

（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)；

（3）(mn–3n)(mn+3n)；

（4）(–2x+3y)(–2x–3y)。解：（1）(–3x–7y)(3x–7y)=(–7y)2–(3x)2=49y

2–9x2（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)=(0.2x)2

–(0.3)2=0.04x2

–0.094.计算（1）(–3x–7y)(3x–7y)；

（2）(0.2x–0.3)(0.2x+0.3)；

（3）(mn–3n)(mn+3n)；

（4）(–2x+3y)(–2x–3y)。（3）(mn–3n)(mn+3n)=(mn)2

–(3n)2（4）(–2x+3y)(–2x–3y)=

m2n2

–9n2=(–2x)2–(3y)2=4x