2025年新高考艺术生数学突破讲义专题38圆锥曲线常规解答题

专题38圆锥曲线常规解答题【考点预测】一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的一元二次方程，，即，消去后得（1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行（2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解，方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式，应有，所以是方程的根，由根与系数关系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为，即弦长公式，弦长公式也可以写成关于的形式三、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．四、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．【典型例题】例1．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的范围.【解析】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程，得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，，当直线l的斜率为0时，，当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，，联立，消去，得，易得，则，所以，因为，所以，所以，所以，综上，，即的范围是.例2．（2024·重庆·模拟预测）如图，已知椭圆C：的离心率为，直线恒过右焦点F，交椭圆于，两点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值．【解析】（1）因为直线l：恒过即为右焦点F，∴，又因为离心率为，所以，所以椭圆C的方程为；（2）联立有，则有，易知同理，所以，将带入有，令，则有，所以在是增函数，是减函数，则有，所以，当时，取最小值.例3．（2024·高三·全国·专题练习）已知抛物线C：过点.(1)求过点M的抛物线C的切线方程；(2)若A，B是抛物线C上异于M的两点记直线MA，MB的斜分别为，且，求点M到直线AB距离的最大值.【解析】（1）将M的坐标代入抛物线C的方程中，得，故抛物线C的标准方程为.解法一：由题意知过点M的抛物线的切线的斜率一定存在且不为0，设过点M的抛物线的切线方程为，将其代入，得，由，得，故过点M的抛物线C的切线方程为.解法二：当时，由得，而，所以过点M（1，2）的抛物线C的切线的斜率为1，故过点M的抛物线C的切线方程为，即；（2）设，，则，同理，故，化简得.易知直线AB的斜率不为0，则可设直线AB的方程为，将其代入，得，所以，，所以，即，直线AB的方程为，直线AB过定点.连接MQ，易知当时，点M到直线AB的距离最大，故点M到直线AB距离的最大值为.例4．（2024·广西·二模）已知抛物线，过点作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．(1)证明：P在定直线上；(2)若F为抛物线C的焦点，证明：．【解析】（1）证明：设，，则，直线的方程为，即，又因为直线过点，所以，即，设直线的方程为，与抛物线方程联立，解得或，又因为直线与抛物线相切，所以，即，所以直线的方程为，即，同理直线的方程为，由，解得，即，故点P在直线上．（2）证明：∵，，注意到两角都在内，可知要证．即证.而，，所以，又，所以，同理，即有，故．例5．（2024·河南郑州·模拟预测）已知倾斜角为（）的直线l与抛物线C：（）只有1个公共点A，C的焦点为F，直线AF的倾斜角为．(1)求证：；(2)若，直线l与直线交于点P，直线AF与C的另一个交点为B，求证：．【解析】（1）设，则l的方程为，与联立得，因为直线l与抛物线C只有1个公共点，所以，整理得，所以，又，所以，因为，，所以，，所以．（2）时，C的方程为，把，代入得l的方程为，把代入得，所以，由（1）知，，设，设直线AB方程为，与联立得，t，是该方程的两个根，所以，所以，所以，所以.例6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上．【解析】（1）解法一

设，，则．由点在轴上，得，则，，因为，若，则，点，重合，不合题意；若，则，即．所以曲线的方程是．解法二

在射线上另取一点，使，连接，又，所以点在直线上，易知≌，所以垂直于直线，连接，则，显然点不能在轴上，即，故由抛物线的定义知，曲线的方程是．（2）解法一

设，与联立，消去，得，则，得，设，，则，，设直线，的方程分别为，，，，则，所以点的纵坐标为，故点的坐标为，显然点的坐标满足方程，故点在曲线上.解法二

设，因为直线过点，所以，由，得．设，，直线，的方程分别为，，，，则，是上面关于的方程的两根，即直线，的斜率，是关于的方程的两根，所以，从而，所以点的纵坐标为，故点的坐标为，显然点的坐标满足方程，故点在曲线上．例7．（2024·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于A，B两点，若椭圆上存在C，D两点关于直线l对称．(1)求实数m的取值范围；(2)若O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程．【解析】（1）由题意C，D关于直线l对称，所以设直线的方程为，，，由，消去y得，所以，得，①则，．设的中点为，则，，故．将代入，得，所以，将代入①得，解得．故实数m的取值范围为．（2）由（1）得，坐标原点O到直线的距离，所以，当且仅当，即时取等号，当时，，当时，．故当的面积最大时，直线l的方程为或．例8．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C：过点，且C与双曲线有相同的焦点.(1)求C的方程；(2)直线：不过第四象限，且与C交于A，B两点，P为C上异于A，B的动点，求面积的最大值，并求的最大值.【解析】（1）设椭圆的焦距为，因为双曲线的焦点为，所以，即；因为椭圆过点，所以，解得，所以C的方程为.（2）设，，可得，，因为直线：不过第四象限，所以.，，设直线与椭圆相切，则，得，由得，因为直线：不过第四象限，则三角形面积最大时取；由题意，点为直线与椭圆的切点时，的面积最大，此时的高为，的面积为，即，，令，，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；所以当时，取到最大值，最大值为，所以的最大值为9.【过关测试】1．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且．(1)求的离心率；(2)射线与交于点，且，求的周长．【解析】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，所以，，又，所以，即，即，所以，所以离心率；（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，射线的方程为，联立，整理可得，解得或，则，即，所以，解得，则，所以的周长．2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.【解析】（1）依题意得：，即，解得，解得椭圆的方程为（2）设的中点为，即，如图所示：设，又中点坐标为，所以则又两点在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，①.过点斜率为的直线为.因为在直线上，故，②联立①②，解得所以中点坐标为.3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求和的标准方程；(2)若和交于不同的两点，求的值.【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则，结合表格数据，因为，所以点在抛物线上，且，解得，所以抛物线的标准方程为.将点代入椭圆的标准方程中，得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）根据对称性，可设两点坐标分别为，联立方程组，消得，解得，，因为，所以.所以.4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．(1)求双曲线E的离心率；(2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．【解析】（1）由题意知，且，

，所以双曲线的离心率．（2）由（1）知双曲线方程为，将即代入，得，

不妨设，所以．5．（2024·高二·山东济宁·期末）已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．【解析】（1）由题意知，点M到准线的距离为3，所以，解得．故C的方程为；（2）设，，由得，所以，，，．因为，所以，即，解得或0．又直线l不过原点O，所以．又满足要求，所以．6．（2024·高三·上海静安·期末）已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．【解析】（1）直线的方程为．由方程组得．设,则，．（2）设点，则点的坐标为．，，．因为，所以．7．（2024·高三·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.(1)求椭圆的方程；(2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.【解析】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，所以右焦点坐标为.又椭圆经过点，所以.所以椭圆的方程为.（2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，.②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，由，得，则，.设直线的方程为，同理得，所以，设，则，则，所以时，有最小值.综上，的最小值是.8．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线E：的焦点，是抛物线E上一点，与点F不重合，点F关于点M的对称点为P，且．(1)求抛物线E的标准方程；(2)若过点的直线与抛物线E交于A，B两点，求的最大值．【解析】（1）∵，点N与点F不重合，∴，∴．∵点F关于点M的对称点为P，∴，（中点坐标公式）．∴，得，∴抛物线E的标准方程为．（2）由（1）知，易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入，整理得，，，设，则．∵，∴，当时，取得最大值，为．9．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，且当，时，．(1)求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值．【解析】（1）当，时，直线的解析式为．设，，联立消去并整理得，，，，解得．，，整理得，解得（舍负），抛物线的方程为．（2）由（1）知，，设，，联立消去并整理得，，，，．，，即，整理得．将，，代入上式得．又，，且，解得或．点到直线的距离，，的面积．又或，当时，的面积最小，且最小面积为．10．（2024·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．【解析】（1）点在抛物线上，由抛物线定义可得，解得，故抛物线的标准方程为．（2）设，如下图所示：则，两式相减可得，即，又线段的中点为，可得；则，故直线的斜率为4，所以直线的方程为，即直线的方程为．11．（2024·四川绵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.(1)求椭圆的离心率；(2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.【解析】（1）由题设及，不妨设，所以，，解得或（舍去），从而，直线的方程为，整理得，原点到直线的距离为，将代入整理得，即，所以离心率.（2）由（1）问可设椭圆方程为，则，因为，所以为平行四边形，所以直线过点，则斜率为，则设直线方程为，联立椭圆方程得，显然，则，则，解得（负值舍去），所以，所以椭圆方程为.12．（2024·河南·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.(1)求的方程；(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.【解析】（1）由题意，设的方程为，因为圆经过抛物线的焦点，所以，解得，所以的方程为.（2）如图所示，设，则，联立方程组整理得，所以，且，所以.由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，，所以面积的最小值为.13．（2024·山西·模拟预测）已知椭圆的离心率为为的右焦点，过点作与轴不重合的直线，交于两点，当与轴平行时，.(1)求的方程；(2)为的左顶点，直线分别交直线于两点，求的值.【解析】（1）设，当与轴平行时，直线的方程为，则在椭圆上，代入椭圆方程得，又因为离心率，解得.所以的方程为.（2）设，由椭圆的方程得，当直线斜率不存在时，，直线的方程为，令得，同理.若直线斜率存在时，设直线，联立得，即，，直线的方程为，令得，同理，则.综上，得的值为14．（2024·广西·模拟预测）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．【解析】（1）由，可得，解得，又因为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，，所以椭圆的标准方程为．（2）证明：当与轴重合时，，所以当不与轴重合时，设，直线的方程为，由整理得，则，故圆心到直线的距离为，则，所以，即为定值．15．（2024·河北唐山·二模）已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，(1)求的方程；(2)，，是上的三点，若，求点到直线距离的最大值．【解析】（1）如图所示：由题意可知，因为，，由，，可得，由抛物线的定义可知，，解得．则的方程为.（2）如图所示：在抛物线上，所以，设直线的方程为，，，将代入，得则，，同理整理得，，直线的方程为，所以直线过定点.当时，点到直线距离最大，且最大距离为，经检验符合题意.16．（2024·陕西西安·二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.【解析】（1）由题意得椭圆的半焦距，又，则，，椭圆的方程为.（2）由（1）得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，联立消去得，设，则.四边形是平行四边形，设，则，即，，又，即，解得17．（2024·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，所以，由①得：，将此式代入②得：，所以，所以或当时，，，所以不满足题意；当时，，，所以满足题意．所以椭圆C的方程为.（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为，则联立，消去，整理得：，设，则，，又，则，由可得，所以，同理可得，所以所以为定值．18．（2024·陕西西安·三模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．【解析】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．（2）设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．19．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.【解析】（1）由题知，，，，由的面积为，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）联立得，设，，可得，，由题知，即，即，解得，∴直线的方程为，故直线恒过定点.20．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知椭圆E：的离心率为，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.【解析】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，联立，可得，，，，所以.21．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，因为双曲线的焦点坐标为，所以则，所以椭圆E的方程为.（2）设，联立可得，因为直线与椭圆E交于A、B两点，所以解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，所以当且仅当即时取得等号，所以面积的最大值为，此时直线的方程为.22．（2024·高三·山西·阶段练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．(1)求的方程；(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．【解析】（1）依题意设的方程为，因为经过点，，所以，解得，故的方程为．（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．将代入，得．由题设可知，，，所以，所以，所以．因为，所以，所以，故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．23．（2024·陕西汉中·一模）已知椭圆的焦距为，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，且是顶角为的等腰三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知是椭圆上的两点，以椭圆中心为圆心的圆的半径为，且直线与此圆相切.证明：以为直径的圆过定点.【解析】（1）由题意可知，解得所以椭圆的标准方程.（2）①当直线垂直于轴时，不妨设此时，，故以直径的圆过定点；②当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以到直线的距离，即，由可得，所以，，所以，即.故以为直径的圆过定点，综上所述：以为直径的圆过定点.24．（2024·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点为,直线:与抛物线交于两点,且(为坐标原点).(1)求抛物线的方程;(2)求证:直线恒过定点.【解析】（1）解:由题知抛物线的焦点为,,即,抛物线的方程为:;（2）证明:由(1)知抛物线的方程为:,联立,整理可得,,,,,即,解得,符合，直线的方程为:,故直线恒过定点.25．（2024·河北·模拟预测）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．(1)求抛物线的方程；(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．【解析】（1）设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得，，由于，解得，则拋物线的方程为（2）设，将代入抛物线的方程，整理得所以，同理，则,所以，26．（2024·高二·北京东城·期中）已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.【解析】（1）由抛物线过点，且，得所以抛物