2025年新高考艺术生数学突破讲义专题04基本不等式及其应用

专题04基本不等式及其应用【知识点梳理】1、基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【方法技巧与总结】1、几个重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．特例：（同号）．（3）其他变形：①（沟通两和与两平方和的不等关系式）②（沟通两积与两平方和的不等关系式）③（沟通两积与两和的不等关系式）④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立．【典型例题】例1．（2024·北京大兴·高三统考期末）已知且，则下列结论中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对A：，故A正确；对B：由，则，故，故B正确；对C：由，故，当且仅当时等号成立，由，故等号不成立，即，故C正确；对D：当、时，符合题意，但此时，故D错误.故选：D.例2．（2024·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（

）A．若，则B．若x＞0，y＞0，则C．若x＜0，则D．若x＜0，则【答案】D【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；∵可能为负数，如时，，∴B错误；∵，如时，，∴C错误；∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．故选：D．例3．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知正数，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，则，，即，当且仅当，即时等号成立.故选：C例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．12 D．13【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.例5．（2024·甘肃武威·高三统考期末）若，且，则的最小值为（

）A．6 B．9 C．4 D．8【答案】B【解析】因为，所以，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故选：B.例6．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题可得，，则，所以，当且仅当，即时，取得等号，故选:C.例7．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以，即，当且仅当时等号成立．故选:B．例8．（2024·山西运城·高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【解析】设安排男社员名，女社员名，根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为，则，当且仅当，即时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选：B.例9．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为.【答案】/0.125【解析】由题意知，故，又，所以，故，当且仅当，结合，即时取等号，故的最大值为，故答案为：例10．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为．【答案】【解析】因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：例11．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最小值为．【答案】【解析】,当且仅当，即时取到等号.故答案：.【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，显然有，故A正确；而，所以，故B正确；又，所以，故C正确；不妨令则，故D错误.故选：D.2．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为且，所以或，对A：若，则，若，则，A错误；对B：∵，，∴，B错误；对C：由或，知且，∴，C正确；对D：当时，有，从而当，则且，∴，D错误.故选：C3．（2024·广东·高三学业考试）已知正实数满足，则的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】正实数满足，由基本不等式得，，当且仅当，即时，等号成立.故选：C4．（2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）若，，则的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．8【答案】B【解析】因，，故由，当且仅当时，等号成立.由解得：即当且仅当时，取最小值为4.故选：B.5．（2024·陕西西安·统考一模）已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故选：D6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A：当时，显然最小值不为4，排除；B：由，则，当且仅当时等号成立，满足；C：由题意，而在上递减，故时函数最小值为5，不满足；D：由，当时最小值为3，不满足.故选：B7．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（

）A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件【答案】B【解析】总利润，当且仅当，即时，最大，故总利润最大时的产量为8万件．故选：B．8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则m，n不可能满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，即，即.对于A，成立.对于B，，成立.对于C，，即.故C错误；对于D，成立.故选：C.9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则ab的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，当且仅当即时取等号，即：，当且仅当时取等号，故的最小值为16.故选：C.二、多选题10．（2024·全国·高三专题练习）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】设一楼到五楼的距离为，由题知，A错误；因为，且，所以，所以，所以，又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；对C，因为，所以，又因为，所以，即，C正确；对D，因为，所以，即，D正确；故选:BCD.11．（2024·全国·高三专题练习）已知，若，则（

）A． B．C．的最小值为8 D．的最大值为【答案】ABC【解析】对于A和B中，因为且，可得且，即，所以，且，，所以A、B正确；对于C中，由，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以C正确；对于D中，由，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，所以D错误．故选：ABC.12．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考开学考试）已知，若，则（

）A． B．C．的最大值为 D．的最小值为8【答案】ABD【解析】因为，，则，可得，对于选项AB：因为，所以，，故AB正确；对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8，故D正确；故选：ABD.13．（2024·山东聊城·高三统考期末）下列说法中正确的是（

）A．函数的最小值为4B．若，则的最小值为4C．若，，，则的最大值为1D．若，，且满足，则的最小值为【答案】BCD【解析】对于A：当时，，故A错误；对于B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C：，即，解得，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D:，当且仅当时等号成立，此时，故D正确；故选：BCD.14．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，则，C正确；对于D，由，，得，，D正确.故选：BCD15．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知，若，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为1C．的最小值为8 D．的最小值为【答案】ACD【解析】对于，由，即，当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；对于，因为，当且仅当时，取到最小值，所以B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；对于，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确.故选：ACD.16．（2024·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为4 D．的最小值为2【答案】AB【解析】A选项，∵a，b为正实数，∴，当且仅当时等号成立，又，∴，当且仅当，时等号成立，∴ab的最大值为，A正确；B选项，由基本不等式可得，故，当且仅当时等号成立，又，∴，当且仅当，时等号成立，∴的最小值为，B正确；C选项，∵，当且仅当，时等号成立，∴的最小值为8，C错误；D选项，，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AB.17．（2024·广东湛江·高三统考期末）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为2C．若，则的最大值为2D．若，则【答案】AD【解析】因为，所以，因为，所以，所以，故A正确；因为的等号成立条件不成立，所以B错误；因为，所以，故C错误；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故选：AD18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由且，，即，则，当且仅当取等号，故取不到，所以，A错，B对；，且，所以，C对，D错.故选：BC三、填空题19．（2024·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为．【答案】【解析】正数，满足，依题意，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故答案为：．20．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为．【答案】【解析】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：21．（2024·全国·高三专题练习）函数的最大值为.【答案】/【解析】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.22．（2024·全国·高三专题练习）已知正数x、y满足，求的最小值为；【答案】/【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.故答案为：.23．（2024·江苏无锡·高三江苏省江阴长泾中学校考阶段练习）已知