2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十五提升点概率统计中的交汇创新

专题强化练（十五）提升点概率统计中的交汇创新1．甲、乙两个学校分别有n＋1位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是eq\f(1,2)，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲校成功次数比乙校成功次数多一次”，事件B＝“甲校成功次数等于乙校成功次数”．(1)若n＝3，求在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；(2)证明：P(A)＝P(B).解：(1)解：由题设知甲、乙学校分别有4位、3位同学参加活动，P(A)＝Ceq\o\al(1,4)(1－eq\f(1,2))3·eq\f(1,2)·Ceq\o\al(0,3)(1－eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(2,4)(1－eq\f(1,2))2(eq\f(1,2))2·Ceq\o\al(1,3)(1－eq\f(1,2))2·eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(3,4)(1－eq\f(1,2))(eq\f(1,2))3·Ceq\o\al(2,3)(1－eq\f(1,2))(eq\f(1,2))2＋Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,2))3＝Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(0,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,2))3＋Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,2))3＝eq\f(35,27)，而甲校成功次数比乙校成功次数多一次且有5位同学成功的概率为P＝Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))4·Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,2))3＝eq\f(12,27)，所以在事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率为eq\f(P,P（A）)＝eq\f(12,35).(2)证明：由题设知，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n＋1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n＋1)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)Ceq\o\al(n,n),22n＋1)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(0,n＋1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n＋1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n＋1)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)Ceq\o\al(n,n),22n＋1)，因为Ceq\o\al(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n＋1)Ceq\o\al(n－k,n)，k＝0，1，2，…，n，所以P(A)＝P(B).2．一个袋子中有a个白球和b个黑球，从中任取1个球．若取出白球，则把它放回袋子中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补1个白球到袋子中．在重复n次这样的操作后，记袋子中白球的个数为xn.(1)求x1的均值E(x1)；(2)求证：xn＋1的均值E(xn＋1)＝(1－eq\f(1,a＋b))E(xn)＋1.解：(1)解：当n＝1时，袋子中白球的个数可能是a个(即取出的是白球)，概率为eq\f(a,a＋b)；也可能是a＋1个(即取出的是黑球)，概率为eq\f(b,a＋b).故E(x1)＝a·eq\f(a,a＋b)＋(a＋1)·eq\f(b,a＋b)＝eq\f(a2＋ab＋b,a＋b).(2)证明：第n＋1次取球后白球的个数xn＋1分为两类：①若第n＋1次取出来的是白球，由于白球和黑球的总个数是a＋b，这种情况发生的概率是eq\f(E（xn）,a＋b)，此时白球的个数变为E(xn).②若第n＋1次取出来的是黑球，这种情况发生的概率是eq\f(a＋b－E（xn）,a＋b)，此时白球的个数变为E(xn)＋1.故E(xn＋1)＝eq\f(E（xn）,a＋b)E(xn)＋eq\f(a＋b－E（xn）,a＋b)(E(xn)＋1)＝eq\f(（E（xn））2,a＋b)＋(1－eq\f(E（xn）,a＋b))(E(xn)＋1)＝eq\f(（E（xn））2,a＋b)＋E(xn)－eq\f(（E（xn））2,a＋b)＋1－eq\f(E（xn）,a＋b)＝(1－eq\f(1,a＋b))E(xn)＋1.3．(2024·安康模拟)某课题实验小组共有来自三个不同班级的45名学生，这45名学生中，A，B，C三个班级的人数比为4∶3∶2.(1)某次实验活动需从这45人中用分层随机抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为ξ，求ξ的分布列和均值；(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流．记发言的小组来自研发实验的概率为p(0<p<1)，若共有5组进行发言，用g(p)表示恰有3组来自研发实验的概率，证明：g(p)的最大值不会超过eq\f(2,5).解：(1)解：抽取的9人中来自B班级的人数为eq\f(3,4＋3＋2)×9＝3，ξ可能的取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(5,21)eq\f(15,28)eq\f(3,14)eq\f(1,84)E(ξ)＝0×eq\f(5,21)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(3,14)＋3×eq\f(1,84)＝1.(2)证明：依题意，g(p)＝Ceq\o\al(3,5)p3(1－p)2＝10p3(1－p)2，0<p<1，求导得g′(p)＝10[3p2(1－p)2＋p3·2(1－p)·(－1)]＝10p2(1－p)(3－5p)，当0<p<eq\f(3,5)时，g′(p)>0，当eq\f(3,5)<p＜1时，g′(p)<0，因此函数g(p)在(0，eq\f(3,5))上单调递增，在(eq\f(3,5)，1)上单调递减，g(p)max＝g(eq\f(3,5))＝10×(eq\f(3,5))3×(eq\f(2,5))2＝eq\f(108,125)×eq\f(2,5)<eq\f(2,5)，即g(p)的最大值不会超过eq\f(2,5).4．(2024·枣庄一模)有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外其余完全相同．某人做摸球答题游戏，规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为eq\f(1,2).当甲罐内无球时，游戏结束．假设开始时乙罐无球．(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；(2)设第n(n∈N*，n≥5)次答题后游戏结束的概率为an.①求an；②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由．解：(1)记M＝“此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各一个”，Ai＝“第i次摸出红球，并且答题正确”，i＝1，2，3；Bj＝“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j＝1，2，3；Ck＝“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”，k＝1，2，3，所以M＝A1B2C3＋B1A2C3＋A1C2B3＋B1C2A3＋C1A2B3＋C1B2A3.又P(A1)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(B2|A1)＝eq\f(2,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(C3|A1B2)＝1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以P(A1B2C3)＝P(A1B2)P(C3|A1B2)＝P(A1)P(B2|A1)P(C3|A1B2)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,80).同理，P(B1A2C3)＝P(A1C2B3)＝P(B1C2A3)＝P(C1A2B3)＝P(C1B2A3)＝eq\f(3,80)，所以P(M)＝eq\f(3,80)×6＝eq\f(9,40).(2)①第n(n∈N*，n≥5)次答题后游戏结束的情况是：前n－1次答题正确恰好为4次，答题错误n－5次，且第n次摸出最后一球时答题正确．所以an＝Ceq\o\al(4,n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－5)×eq\f(1,2)＝Ceq\o\al(4,n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，n∈N*，n≥5.②由①知an＝Ceq\o\al(4,n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(Ceq\o\al(4,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n＋1),Ceq\o\al(4,n－1)\b\lc\(\