2025届高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十一提升点立体几何中的截面及动态问题

专题强化练（十一）提升点立体几何中的截面及动态问题[小题标准练]1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点，PE⊥A1C于点E，且PA＝PE，则点P的轨迹是(A)A．线段 B．圆弧C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分解析：由题意知，△A1AP≌△A1EP，则点P在线段AE的中垂面上运动，从而与底面ABCD的交线为线段．2．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点，若△APC1的面积S＝eq\f(1,2)，则动点P的轨迹是(D)A．圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分解析：设点P到AC1的距离为h，因为S△APC1＝eq\f(1,2)·AC1·h＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×h＝eq\f(1,2)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，则点P在空间中的轨迹为一个圆柱面．由题意知点P的轨迹是该圆柱被底面ABCD斜截得到的图形，则点P的轨迹为椭圆的一部分．3．(2024·佛山质量检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝AA1＝2，E为棱AA1上的动点，平面BED1交棱CC1于点F，则四边形BED1F的周长的最小值为(B)A．4eq\r(3) B．2eq\r(13)C．2(eq\r(2)＋eq\r(5)) D．2＋4eq\r(2)解析：作出长方体如图1，将侧面展开，如图2所示，当点E为BD1与AA1的交点，点F为BD′1与CC1的交点时，截面四边形BED1F的周长最小，最小值为2BD1＝2×eq\r(22＋（1＋2）2)＝2eq\r(13).故选B.4．如图，圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形，D，E分别是AA1和BB1的中点，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，则经过点C，D，E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是(B)A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\f(\r(6),2)解析：设正方形ABB1A1的边长为2，设C1是eq\o(B1A1,\s\up10(︵))的中点且点C1与点C不在平面ABB1A1同侧，则点C1与点C关于圆柱的中心对称，由题意可知，所求曲线为椭圆．椭圆的短轴长为2，长轴长C1C＝2eq\r(2)，所以长半轴长a＝eq\r(2)，短半轴长b＝1，故半焦距c＝eq\r(a2－b2)＝1，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).5．在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为B1C1的中点，过点D作平面α使α⊥BM，则平面α截正方体所得截面的面积为(C)A．4eq\r(2) B．4eq\r(5)C．8eq\r(5) D．16eq\r(2)解析：分别取AA1，BB1的中点E，N，连接DE，CN，EN，则EN∥DC，EN＝DC，所以四边形ENCD是平行四边形，由正方体的性质可知，DC⊥平面BCC1B1，又CN，BM⊂平面BCC1B1，所以DC⊥CN，DC⊥BM，所以四边形ENCD是矩形，由于△B1BM≌△BCN，所以∠MBB1＋∠BNC＝90°，所以BM⊥CN，又因为DC⊥BM，DC∩CN＝C，DC，CN⊂平面ENCD，所以BM⊥平面ENCD，所以平面ENCD即为平面α，又CN＝2eq\r(5)，所以截面的面积为2eq\r(5)×4＝8eq\r(5).6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是截面A1ACC1上的一个动点(不包含边界)，若A1M⊥AB1，则AM的最小值为(C)A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(2),4)解析：连接A1B，若A1M⊥AB1，则A1M在平面ABB1A1上的射影在A1B上，所以点M的轨迹为A1C，AM的最小值为点A到A1C的距离，连接A1C，过点A作AM⊥A1C于点M，因为AA1⊥AC，且AC＝eq\r(2)，A1C＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋AC2)＝eq\r(3)，所以AM＝eq\f(AA1·AC,A1C)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故AM的最小值为eq\f(\r(6),3).故选C.7．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，∠APD＝∠CPB，则点P在平面α内的轨迹是(A)A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分解析：由条件易得AD∥BC，且∠APD＝∠CPB，AD＝4，BC＝8，可得tan∠APD＝eq\f(AD,PA)＝eq\f(BC,PB)＝tan∠CPB，即eq\f(PB,PA)＝eq\f(BC,AD)＝2，在平面PAB内，取AB的中点O为坐标原点，以eq\o(OB,\s\up10(→))的方向为x轴的正方向，过点O在平面α内作AB的中垂线，以其为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3，0)，B(3，0)，设P(x，y)，y≠0，则有eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(（x－3）2＋y2),\r(（x＋3）2＋y2))＝2，整理可得x2＋y2＋10x＋9＝0(y≠0).由于点P不在直线AB上，故点P在平面α内的轨迹为圆的一部分，故选A.8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是侧面ADD1A1内的动点，且B1E∥平面BDC1，则直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),3) C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)解析：如图建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，设E(a，0，c)，0≤a≤1，0≤c≤1，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A(1，0，0)，B1E＝(a－1，－1，c－1)，eq\o(DB,\s\up10(→))＝(1，1，0)，eq\o(DC1,\s\up10(→))＝(0，1，1).设平面BDC1的法向量n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up10(→))＝0，,n·\o(DC1,\s\up10(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋z＝0，))取x＝1，得n＝(1，－1，1)，因为B1E∥平面BDC1，所以eq\o(B1E,\s\up10(→))·n＝a－1＋1＋c－1＝0，解得a＋c＝1，所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝1－2ac，ac≤(eq\f(a＋c,2))2＝eq\f(1,4).设直线B1E与直线AB所成的角为θ，因为eq\o(AB,\s\up10(→))＝(0，1，0)，所以cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up10(→))·\o(B1E,\s\up10(→))|,|\o(AB,\s\up10(→))||\o(B1E,\s\up10(→))|)＝eq\f(1,\r(（a－1）2＋1＋（c－1）2))，因为ac≤(eq\f(a＋c,2))2＝eq\f(1,4)，所以2－2ac≥eq\f(3,2)，所以eq\f(1,2－2ac)≤eq\f(2,3)，所以sinθ＝eq\r(1－\f(1,（a－1）2＋1＋（c－1）2))＝eq\r(1－\f(1,a2＋c2－2（a＋c）＋3))＝eq\r(1－\f(1,a2＋c2＋1))＝eq\r(1－\f(1,2－2ac))≥eq\r(1－\f(2,3))＝eq\f(\r(3),3)，当且仅当a＝c＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以直线B1E与直线AB所成角的正弦值的最小值是eq\f(\r(3),3).9．(多选)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列说法中正确的是(ACD)A．AC⊥BDB．AC＝BDC．AC∥截面PQMND．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，QM∥PN，则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，所以PQ∥AC，QM∥BD，由PQ⊥QM，可得AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC，可得AC∥截面PQMN，故C正确；因为QM∥PN，QM∥BD，所以BD∥PN，所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；由以上可知BD∥PN，MN∥AC，所以eq\f(PN,BD)＝eq\f(AN,AD)，eq\f(MN,AC)＝eq\f(DN,AD)，只有当AN＝DN时，AC＝BD，B错误．10．(多选)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是(BCD)A.四边形BFD1E有可能是梯形B．四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形C．四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD．四边形BFD1E面积的最小值为eq\f(\r(6),2)解析：对于选项A，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，同理D1E∥BF.故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；对于选项D，当点F到线段BD1的距离最小时，平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E，F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(6),2)，因此D正确．故选BCD.11．(多选)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则(BC)A．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形状为四边形B．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为eq\f(7\r(3),2)C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．点A1到平面α的距离与点B到平面α的距离之比为1∶3解析：如图，延长EF分别与DA，DC的延长线交于点P，Q，连接D1P，交AA1于点M，连接D1Q，交CC1于点N，连接ME，NF，则平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形D1MEFN，故A错误；由平行线分线段成比例可得，AP＝BF＝1，故DP＝DD1＝3，则△DD1P为等腰直角三角形，由题易知△AMP∽△DD1P，所以AM＝AP＝1，故A1M＝2，则D1M＝D1N＝2eq\r(2)，ME＝EF＝FN＝eq\r(2)，连接MN，易知MN＝2eq\r(2)，因此五边形D1MEFN可以分成等边三角形D1MN和等腰梯形MEFN，等腰梯形MEFN的高h＝eq\r(（\r(2)）2－（\f(2\r(2)－\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(6),2)，则等腰梯形MEFN的面积为eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(3\r(3),2).又S△D1MN＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以五边形D1MEFN的面积为2eq\r(3)＋eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(7\r(3),2)，故B正确；记平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积分别为V1，V2，则V2＝V三棱锥D1-DPQ－V三棱锥M-PAE－V三棱锥N-CFQ＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×3－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(25,6)，所以V1＝V四棱柱ABCD-A1B1C1D1－V2＝12－eq\f(25,6)＝eq\f(47,6)，则V1∶V2＝47∶25，故C正确；因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等，由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍，故D错误．故选BC.12．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，所以CD∥平面SAB，又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD⊂平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以eq\f(MN,AB)＝eq\f(SM,SA)＝eq\f(1,3)，所以MN＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)13．(2024·广州模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面ADD1A1上的动点，且PC1∥平面AEF，则点P的轨迹长度为________．解析：如图，连接AD1，D1F，易证AD1∥EF，从而A，E，F，D1四点共面，即PC1∥平面AEFD1.记AA1，A1D1的中点分别为M，N，连接MN，NC1，MC1，可得MN∥AD1，MC1∥AF，因为MN⊄平面AEFD1，AD1⊂平面AEFD1，所以MN∥平面AEFD1.同理可得MC1∥平面AEFD1，又MN∩MC1＝M，MN，MC1⊂平面MNC1，所以平面MNC1∥平面AEFD1.故点P的轨迹是线段MN，其长为eq\f(1,2)AD1＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为________．解析：平面ACD1是边长为eq\r(2)的正三角形，且球O与以点D为公共点的三个面的切点恰为△ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，如图所示，△ACD1内切圆的半径是eq\f(\r(2),2)×tan30°＝eq\f(\r(6),6)，则所求的截面圆的面积是π×eq\f(\r(6),6)×eq\f(\r(6),6)＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)[小题提升练]15．(多选)如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为A1D1的中点，F为CC1上的一个动点，设由点A，E，F构成的平面为α，则(BCD)A．平面α截正方体的截面可能是三角形B．当点F与点C1重合时，平面α截正方体的截面面积为2eq\r(6)C．点D到平面α的距离的最大值为eq\f(2\r(6),3)D．当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形解析：如图，延长AE与DD1所在的直线交于点P，连接PF并延长与DC的延长线交于点M，连接AM，则平面α由平面AEF扩展为平面APM.由此模型可知A错误；当点F与点C1重合时，截面是一个边长为eq\r(5)的菱形，该菱形的两条对角线长度分别为AC1＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3)和eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，则此时截面的面积为eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(2)＝2eq\r(6)，B正确；当F为CC1的中点时，平面α截正方体的截面为五边形，D正确；以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，4)，设点M的坐标为(0，t，0)(t∈[2，4])，eq\o(DA,\s\up10(→))＝(2，0，0)，eq\o(AM,\s\up10(→))＝(－2，t，0)，eq\o(PA,\s\up10(→))＝(2，0，－4)，则可知点P到直线AM的距离为d＝eq\r(|\o(PA,\s\up10(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s