2024年数学高考一轮复习基本不等式试卷

2.2基本不等式（精讲）一．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．二．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.三．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．基本不等式求最值满足条件利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正二定三相等”.(1)“一正”就是各项必须为正数.(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值.(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值.二．利用基本不等式求最值常见形式与方法（1）配凑法①形如f(②配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.（2）常值代换法已知形如或可化为x+y=t(t为常数),求ax+by的最值以及形如或可化为ax+by=t,求cx+dy(cd≠0)型的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将ax+by看作是(ax+b（3）消元法对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度三”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.三．恒（能）成立含参数的问题①分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解分离参数法分离参数法利用基本不等式求解实际问题(1)根据题意将待求最大值或最小值的变量定义为函数后,将实际问题抽象出函数的解析后,再将函数解析式变形利用基本不等式求得函数的最值.(2)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.考法一直接法求最值【例1-1】（2023广西）函数的最小值为（

）A． B．2 C．2 D．4【答案】D【解析】∵，则，∴，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值为4.故选：D.【例1-2】（2022·北京大兴）当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B【例1-3】（2023·安徽滁州·统考二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【解析】，因为a，b，c均为正数，所以有，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：C【一隅三反】1．（2022·广东茂名）若a，b都为正实数且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D2．（2023云南）若,那么的最小值是（

）A．64 B．128 C． D．【答案】A【解析】(当且仅当时,取等号).故选A3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：A.4．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）若，，，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由已知可得.因为，，由基本不等式知，当且仅当时，等号成立.所以，所以，所以，所以的最小值为2.故选：D.考法二配凑法求最值【例2-1】（2023内蒙古）已知x＞1，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．12 D．10【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为10.故选：D【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（

）A．10 B．12 C．13 D．14【答案】A【解析】令，，当且仅当，即时取等号.故选：A【一隅三反】1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．选：D．2．（2023·云南）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A3．（2022·江苏）当时，函数的最小值为（

）A． B．C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故选：B．4．（2023北京）函数的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由题意，函数又由，当且仅当，即时等号成立，所以，所以即函数的最大值是.故选：C.考法三常数替代求最值【例3-1】（2022·安徽）已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C【例3-2】（2023春·湖南）已知正实数a，b满足，则的最小值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以.又，.当且仅当，即，时，等号成立.所以，的最小值是.故选：C.【例3-3】．（2022·贵州毕节）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．5【答案】C【解析】由于，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C．【例3-4】（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知，则的最小值是______．【答案】【解析】，，，当且仅当，即时等号成立，的最小值是.故答案为：.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且，则的最小值为__________．【答案】/【解析】因为都是正数，且，则,则,当且仅当，结合，即，时取等号，故答案为：2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】，，，当且仅当时，取等号.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可得，所以，因为，，则，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：A.考法四消元法求最值【例4】（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若，，且，则的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16【答案】C【解析】由题意，，得，故，由于，故，当且仅当即时取等号，即，故的最小值是13，故选：C【一隅三反】1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】已知，且xy+2x+y=6，y=2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号，故2x+y的最小值为4.故选:A2．（2022·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当时取等号，∴有最小值故选：D.3．（2022·辽宁丹东）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】因为，所以，则，因为，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B.考法五基本不等式解成立问题【例5-1】（2023·河南）若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得，当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．故选：B【例5-2】（2023·山西）已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（

）A．（∞，1）∪（9，+∞） B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，因为有解，所以，即，解得或，故选：A【一隅三反】1．（2023·四川南充）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【解析】因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立．因不等式恒成立，只需，因此，故实数的最大值为25．故选：D2.（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当，时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为．所以，即．3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以由可得，因为，所以，所以，所以，当且仅当，时取等号，故选：B．考法六基本不等式解实际问题【例6】（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由题意可得：该设备年平均费用，∵，则，当且仅当，即时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9.故选：C.【一隅三反】1．（2023·北京）设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【解析】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，∴，即，解得，∴．∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．∴车厢容积的最大值为．选B．2．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（

）A．40万件 B．50万件 C．60万件 D．80万件【答案】D【解析】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时，利润；当产量不小于50万件时，利润．所以利润因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则．当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元．故选:D．3．（2023·甘肃武威·统考一模）随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（

）A．1500万元 B．2100万元 C．2200万元 D．3800万元【答案】C【解析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，，即，当时，的对称轴，则；当时，，当且仅当时，取得最大值2200.综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.故选：C.考法七基本不等式与其他知识综合【例7-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【解析】由题意，当且仅当时等号成立，所以，即，故最大值为.故选：C【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号．故选：D．【一隅三反】1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】各项均为正数的等比数列中，由，则，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为8．故选：B．2．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是______.【答案】【解析】函数且的图象过定点，则，所以，由，得，则令，则，则，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：.3．（2023·全国·高三专题